全相位FFT频谱分析
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本文指出常用的ＦＦＴ功率谱分析只考虑到分割输人信号的Ⅳ个抽样信号的一种情况，若 将全部可能分割都计人，可明显改善滤波器的性能．
嚣 罄 ｒ一一一—ｆ———，———１———。ｉ。
嗡Ｅ迷丑∈Ｉ 习ＦＦＴ
（ｃ）全相位ＦＦＴ
（ｄ）全相应ＦＦＴ＋Ｗｉｎｄｏｗ
图１各种ＦＦＴ频谱分析框图
无窗全相位ＦＦＴ频谱分析如图１ｃ所示，图１ｃ是从全相位频域滤波器推出，详见ｕ。ｏ。它
全相位ＦＦＴ频谱分析
王兆华 候正信 苏飞
…本甄摊篡篓嚣篡纛性黼卜…
比原ＦＦｒ法改善１倍，比加窗ＦＦｒ改善２０ｄｂ７；畦蟛他毳ｉ邈谶翻雪哆
关键词：全相位频谱分析；功率谱：ＦＦＴ
‘
常用的ＦＦＴ功率谱分析如图ｌａ所示，输入信号的Ｊｖ个抽样经ＦＦＴ变换，取振幅平方后输出． 由於有限ＦＦＴ变换会产生泄漏，可加窗函数来减少泄漏，加窗ＦＦＦ如图Ｉｂ所示．
，Ｉ ∑。』： ．｜１ ．∑么 ．』
１２５｝ｔ’）
圈 亚～Ⅵ』∞
Ｕ
１０
２０
３０
图４信号的功率谱分析
ｃｏｓ（１．３７５十ｔ’） ５＊ｔ’）
·９４５·
参考文献 …王兆华：计算机图像处理方法，宇航出版社，１９９３ ６
【２】王兆华，候正信，苏飞：全相位数字滤波，信号处理Ｖ０１．１９，增刊，ｐ１．４，２００３ 【３】候正信．王兆华，杨喜：全相位ＤＦｒ数字滤波器的设计和实现．电子学报，Ｖｏｌ ３１，Ｎ０４，ｐ５３９—５４３，２００３ 【４】王兆华：一种频域自适应滤波器，实用新型发明专利，ＺＬ０２２０５８１８ ４，２００２年２月２６日申请，２００３年１
以日ｒ０Ｊ为中心，平移相加，即加权后的口ｆ－＂Ｊ和ａ（Ｎ－ｎ）相加，组成一个新的Ⅳ阶序列，
ｄｆｏｋ．，（Ｎ－Ｉｎｌ）’口ｆ。ｎＪ＋（Ｎ－ｌｆⅣ－ｎ｜Ｊ）‘ａ（Ｎ－ｎ）…，
ｎ＝１一．，Ｎ－１
对其作ＦＦＴ变换，取振幅平方后输出功率谱。 图ｌｃ是不加窗的全相位频谱分析框图，若加窗函数，图中三角窗改为Ⅳ阶窗函数ｗｉｎｄｏｗ
这５条频谱第１条３／１２８是周期整数倍，后面４条分别偏离０．１２５，ｏ ２５，ｏ ３７５，ｏ ５个周期 第１和２条整数倍和接近整数倍时图２ａ为Ｉ条频线，加窗后（图２ｂ）变成３条，但其它３种偏 离情况都是加窗后明显改善。而图２ｃ全相位时全部改善。笫１和２条整数倍和接近整数倍时 图２ｃ仍为１条频线，其它３种偏离情况也显改善，是一种性能良好的方法。而图２ｄ加Ｈａｍｍｉｎｇ 窗全相位ＦＦｒ也全部改善。
和Ⅳ阶矩形窗（Ｒｅｃ）卷积产生的一个２Ｎ－１阶窗函数，如图ｌｄ所示。
·９４３·
如余弦信号
ｃｏｓ（３／１２８·２８ｔ）＋ｃｏｓ（１５ １２５／１２８ ２０ｔ）＋ｃｏｓ（２８．２５／１２８·２８ｔ）＋ｃｏｓ（４２．３７５／１２８ ２８ｔ‘）＋ｃｏｓ（５６．５／ｔ２８·２（３
ｒ）在Ｎ＝１２８的振幅谱如图２所示．图２ａ是原有ＦＦＴ，图２ｂ是原ＦＦＴ加Ｈａｍｍｉｎｇ窗，图２ｃ是 全相位ＦＦＴ，图２ｄ是全相位ＦＦｒ加Ｈａｍｍｉｎｇ窗。
·９４４·
（ａ）ＦＦＴ
（ｂ）ＦＦＴ＋Ｈａｍｍｉｎｇ
．５０
（ｃ）全相位ＦＦｒ
．１００ ０
．５０
（ｄ）全相位ＦＦＴ＋Ｈａｍｍｌｎｇ
—１口０
０
１０
２口 ３口
４Ｄ ５Ｄ
６Ｄ ，
图３信号的功率谱分析
圈函圈 （ａ）ＦＦＴ（ｂ）ＦＰＴ＋Ｈａｕｍｌｎｇ
（ｄ）ａｐＦＦＴ＋Ｈ缸Ⅲｄｎｇ
１阿—１厂——］
一殴区匦囫 ４＼ ，，’７｛卜＼ ，一—１
原来的ＦＦＴ法（图３ａ）功率谱泄漏约在．２０ｄｂ，加窗Ｆｒ（图３ｂ）在－４０ｄｂ，提高了一倍，全
相位法图３ｃ在．５０ｄｂ以上，比图３ａ提高了１倍，比图３ｂ提高了１０ｄｂ。图３ｄ全相位ＦＦＴ＋Ｈａｍｍｉｎｇ 窗在一７０ｄｂ以上，但谱线略宽。
全相位频域滤波器和频谱分析的数学证明及性能可参见［－１—５］。 图４是Ｎ＝３２时５种偏离整数倍余弦信号的波形图，图４ａ是原有ＦＦＴ，图４ｂ是原ＦＦｒｒ
月８日公告 ［５１王兆华，候正信：带时间窗的频域数字滤波器，实用新型发明专利，ＺＬ０２２０５８１８．４，２００３年４月１１日申
请
·９４６·
全相位FFT频谱分析
作者： 作者单位：
王兆华， 候正信， 苏飞 天津大学电信学院(天津)
本文链接：/Conference_4300905.aspx
…ｌ¨ （ａ）ＦＦＴ
．．卜Ｉ （Ｃ）垒相位ＦＦＴ ｒ。
１｜｜Ｉ｜ｊ （ｄ）全相位ＦＦＴ＋Ｈａｍｍ
６０
７
图２信号的振幅谱分析
图３是Ｎ＝１２８时信号的功率谱，图３ａ是原有ＦＦＴ，图３ｂ是原ＦＦｒ加Ｈａｍｍｉｎｇ窗。图 ３ｃ是全相位ＦＦＴ，图３ｄ是全相位ＦＦｒ＋Ｈａｍｍｉｎｇ窗，图３ｅ是全相位ＦＦｒ＋Ｋａｉｓｅｒ窗（３ ５）。
加Ｈａｍｍｉｎｇ窗。图４ｃ是全相位ＦＦｒ，图４ｄ是全相位ＦＦｒ＋Ｈａｍｍｉｎｇ窗。 原来的ＦＦｒ法（图４ａ），在整数倍和接近整数倍时，波形首尾相同，偏离整数倍时，波形
首尾有突变，引起泄漏。在ＦＦｒ加Ｈａｍｍｉｎｇ窗（图４ｂ）中，５种信号的波形首尾相同，泄漏少， 但在整数倍和接近整数倍时，波形失真，偏离余弦信号，引起１条频线变成３条。全相位（图 ４ｃ—４ｄ）中，波形首尾相同，泄漏少，在整数倍和接近整数倍时，波形不失真，仍为１条频线。
将全部Ⅳ种可能分割都计入，相位互相补倘，明显改善滤波器或频谱分析的性能。
若作Ⅳ阶ＦＦｒ分析，在输入序列口ｆｎＪ中，取２Ｎ－１个样点
ａ（ｎ）
ｎ＝·ｆⅣ－１＾…，ｏ，…，Ｎ－Ｉ
乘以三角窗函数（这是全相位引入的，相当乘一个三角窗函数‘２１），得序列
ｒⅣ－ｋｌＪ口ｍＪ
ｎ＝一（Ｎ－ｌＪ，．．．，０’…，Ｎ－１
嚣 罄 ｒ一一一—ｆ———，———１———。ｉ。
嗡Ｅ迷丑∈Ｉ 习ＦＦＴ
（ｃ）全相位ＦＦＴ
（ｄ）全相应ＦＦＴ＋Ｗｉｎｄｏｗ
图１各种ＦＦＴ频谱分析框图
无窗全相位ＦＦＴ频谱分析如图１ｃ所示，图１ｃ是从全相位频域滤波器推出，详见ｕ。ｏ。它
全相位ＦＦＴ频谱分析
王兆华 候正信 苏飞
…本甄摊篡篓嚣篡纛性黼卜…
比原ＦＦｒ法改善１倍，比加窗ＦＦｒ改善２０ｄｂ７；畦蟛他毳ｉ邈谶翻雪哆
关键词：全相位频谱分析；功率谱：ＦＦＴ
‘
常用的ＦＦＴ功率谱分析如图ｌａ所示，输入信号的Ｊｖ个抽样经ＦＦＴ变换，取振幅平方后输出． 由於有限ＦＦＴ变换会产生泄漏，可加窗函数来减少泄漏，加窗ＦＦＦ如图Ｉｂ所示．
，Ｉ ∑。』： ．｜１ ．∑么 ．』
１２５｝ｔ’）
圈 亚～Ⅵ』∞
Ｕ
１０
２０
３０
图４信号的功率谱分析
ｃｏｓ（１．３７５十ｔ’） ５＊ｔ’）
·９４５·
参考文献 …王兆华：计算机图像处理方法，宇航出版社，１９９３ ６
【２】王兆华，候正信，苏飞：全相位数字滤波，信号处理Ｖ０１．１９，增刊，ｐ１．４，２００３ 【３】候正信．王兆华，杨喜：全相位ＤＦｒ数字滤波器的设计和实现．电子学报，Ｖｏｌ ３１，Ｎ０４，ｐ５３９—５４３，２００３ 【４】王兆华：一种频域自适应滤波器，实用新型发明专利，ＺＬ０２２０５８１８ ４，２００２年２月２６日申请，２００３年１
以日ｒ０Ｊ为中心，平移相加，即加权后的口ｆ－＂Ｊ和ａ（Ｎ－ｎ）相加，组成一个新的Ⅳ阶序列，
ｄｆｏｋ．，（Ｎ－Ｉｎｌ）’口ｆ。ｎＪ＋（Ｎ－ｌｆⅣ－ｎ｜Ｊ）‘ａ（Ｎ－ｎ）…，
ｎ＝１一．，Ｎ－１
对其作ＦＦＴ变换，取振幅平方后输出功率谱。 图ｌｃ是不加窗的全相位频谱分析框图，若加窗函数，图中三角窗改为Ⅳ阶窗函数ｗｉｎｄｏｗ
这５条频谱第１条３／１２８是周期整数倍，后面４条分别偏离０．１２５，ｏ ２５，ｏ ３７５，ｏ ５个周期 第１和２条整数倍和接近整数倍时图２ａ为Ｉ条频线，加窗后（图２ｂ）变成３条，但其它３种偏 离情况都是加窗后明显改善。而图２ｃ全相位时全部改善。笫１和２条整数倍和接近整数倍时 图２ｃ仍为１条频线，其它３种偏离情况也显改善，是一种性能良好的方法。而图２ｄ加Ｈａｍｍｉｎｇ 窗全相位ＦＦｒ也全部改善。
和Ⅳ阶矩形窗（Ｒｅｃ）卷积产生的一个２Ｎ－１阶窗函数，如图ｌｄ所示。
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如余弦信号
ｃｏｓ（３／１２８·２８ｔ）＋ｃｏｓ（１５ １２５／１２８ ２０ｔ）＋ｃｏｓ（２８．２５／１２８·２８ｔ）＋ｃｏｓ（４２．３７５／１２８ ２８ｔ‘）＋ｃｏｓ（５６．５／ｔ２８·２（３
ｒ）在Ｎ＝１２８的振幅谱如图２所示．图２ａ是原有ＦＦＴ，图２ｂ是原ＦＦＴ加Ｈａｍｍｉｎｇ窗，图２ｃ是 全相位ＦＦＴ，图２ｄ是全相位ＦＦｒ加Ｈａｍｍｉｎｇ窗。
·９４４·
（ａ）ＦＦＴ
（ｂ）ＦＦＴ＋Ｈａｍｍｉｎｇ
．５０
（ｃ）全相位ＦＦｒ
．１００ ０
．５０
（ｄ）全相位ＦＦＴ＋Ｈａｍｍｌｎｇ
—１口０
０
１０
２口 ３口
４Ｄ ５Ｄ
６Ｄ ，
图３信号的功率谱分析
圈函圈 （ａ）ＦＦＴ（ｂ）ＦＰＴ＋Ｈａｕｍｌｎｇ
（ｄ）ａｐＦＦＴ＋Ｈ缸Ⅲｄｎｇ
１阿—１厂——］
一殴区匦囫 ４＼ ，，’７｛卜＼ ，一—１
原来的ＦＦＴ法（图３ａ）功率谱泄漏约在．２０ｄｂ，加窗Ｆｒ（图３ｂ）在－４０ｄｂ，提高了一倍，全
相位法图３ｃ在．５０ｄｂ以上，比图３ａ提高了１倍，比图３ｂ提高了１０ｄｂ。图３ｄ全相位ＦＦＴ＋Ｈａｍｍｉｎｇ 窗在一７０ｄｂ以上，但谱线略宽。
全相位频域滤波器和频谱分析的数学证明及性能可参见［－１—５］。 图４是Ｎ＝３２时５种偏离整数倍余弦信号的波形图，图４ａ是原有ＦＦＴ，图４ｂ是原ＦＦｒｒ
月８日公告 ［５１王兆华，候正信：带时间窗的频域数字滤波器，实用新型发明专利，ＺＬ０２２０５８１８．４，２００３年４月１１日申
请
·９４６·
全相位FFT频谱分析
作者： 作者单位：
王兆华， 候正信， 苏飞 天津大学电信学院(天津)
本文链接：/Conference_4300905.aspx
…ｌ¨ （ａ）ＦＦＴ
．．卜Ｉ （Ｃ）垒相位ＦＦＴ ｒ。
１｜｜Ｉ｜ｊ （ｄ）全相位ＦＦＴ＋Ｈａｍｍ
６０
７
图２信号的振幅谱分析
图３是Ｎ＝１２８时信号的功率谱，图３ａ是原有ＦＦＴ，图３ｂ是原ＦＦｒ加Ｈａｍｍｉｎｇ窗。图 ３ｃ是全相位ＦＦＴ，图３ｄ是全相位ＦＦｒ＋Ｈａｍｍｉｎｇ窗，图３ｅ是全相位ＦＦｒ＋Ｋａｉｓｅｒ窗（３ ５）。
加Ｈａｍｍｉｎｇ窗。图４ｃ是全相位ＦＦｒ，图４ｄ是全相位ＦＦｒ＋Ｈａｍｍｉｎｇ窗。 原来的ＦＦｒ法（图４ａ），在整数倍和接近整数倍时，波形首尾相同，偏离整数倍时，波形
首尾有突变，引起泄漏。在ＦＦｒ加Ｈａｍｍｉｎｇ窗（图４ｂ）中，５种信号的波形首尾相同，泄漏少， 但在整数倍和接近整数倍时，波形失真，偏离余弦信号，引起１条频线变成３条。全相位（图 ４ｃ—４ｄ）中，波形首尾相同，泄漏少，在整数倍和接近整数倍时，波形不失真，仍为１条频线。
将全部Ⅳ种可能分割都计入，相位互相补倘，明显改善滤波器或频谱分析的性能。
若作Ⅳ阶ＦＦｒ分析，在输入序列口ｆｎＪ中，取２Ｎ－１个样点
ａ（ｎ）
ｎ＝·ｆⅣ－１＾…，ｏ，…，Ｎ－Ｉ
乘以三角窗函数（这是全相位引入的，相当乘一个三角窗函数‘２１），得序列
ｒⅣ－ｋｌＪ口ｍＪ
ｎ＝一（Ｎ－ｌＪ，．．．，０’…，Ｎ－１