圆的切线证明PPT课件
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切割线定理课件
切割线定理的应用场景
解题应用
切割线定理在几何题目中应用广泛，特别是在涉及圆和圆外 一点的问题中，可以利用切割线定理来求解线段长度或角度 等问题。
实际应用
在现实生活中，切割线定理也有很多应用场景，比如建筑设 计、机械制造等领域，可以通过应用切割线定理来优化设计 或提高制造精度。
02
切割线定理的证明
切割线定理ppt课件
contents
目录
• 切割线定理的概述 • 切割线定理的证明 • 切割线定理的推论 • 切割线定理的应用实例 • 总结与思考
01
切割线定理的概述
切割线定理的定义
切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长与割线长度的比等于圆外 一点与圆心连线的线段长度与圆 半径的比。
几何意义
03
切割线定理的推论
推论一：切线长定理
总结词
切线长定理描述了切线与割线的长度关系。
详细描述
切线长定理指出，对于圆上的任意一点P，过点P作圆的切线，则切线与割线（即 过点P的割线）的长度相等。这个定理是切割线定理的一个重要推论，它揭示了 切线和割线之间的长度关系。
推论二：切线与半径的关系
总结词
切线与半径的关系揭示了切线与半径之间的垂直关系。
。
THANKS
感谢观看
切割线定理揭示了圆外一点与圆 上两点形成的线段之间的长度关 系，是平面几何中一个重要的定 理。
切割线定理的证明
证明方法
通过相似三角形性质和勾股定理进行 证明，证明过程需要用到基本的几何 知识。
证明过程
通过构造辅助线，将问题转化为相似 三角形问题，再利用相似三角形的性 质和勾股定理推导出切割线定理。
证明的思路
《切线的判定》课件
切线与过切点的半径所在的直 线相互垂直。
02
切线的判定方法
利用定义判定切线
总结词：直接验证
详细描述：根据切线的定义，如果直线与圆只有一个公共点，则该直线为圆的切 线。因此，可以通过验证直线与圆的交点数量来判断是否为切线。
利用切线的性质判定切线
总结词：半径垂直
详细描述：切线与过切点的半径垂直，因此，如果已知过切点的半径，可以通过验证直线与半径的夹角是否为直角来判断是 否为切线。
切线判定定理的变种
切线判定定理的变种
除了标准的切线判定定理，还存在一些变种，如利用切线的 性质来判断是否为切线，或者利用已知点和切线的性质来判 断未知点是否在曲线上。
切线判定定理的应用
切线判定定理在几何证明题中有着广泛的应用，如证明某直 线为圆的切线，或者判断某点是否在曲线上。这些应用都需 要熟练掌握切线判定定理及其变种。
04
切线判定定理的证明
定理的证明过程
第一步
根据题目已知条件，画 出图形，标出已知点和
未知点。
第二步
根据切线的定义，连接 已知点和未知点，并作
出过这两点的割线。
第三步
根据切线和割线的性质 ，证明割线与圆只有一 个交点，即证明割线是
圆的切线。
第四步
根据切线的判定定理， 如果一条割线满足上述 性质，则这条割线是圆
切线判定定理在其他领域的应用
物理学中的应用
在物理学中，切线判定定理可以应用于研究曲线运动和力的分析。例如，在分析物体在曲线轨道上的 运动时，可以利用切线判定定理来判断物体的运动轨迹是否与轨道相切。
工程学中的应用
在工程学中，切线判定定理可以应用于机械设计和流体力学等领域。例如，在机械设计中，可以利用 切线判定定理来判断曲轴是否与轴承相切，从而避免轴承的损坏。在流体力学中，可以利用切线判定 定理来判断流体是否沿着流线流动。
切线长定理课件
切线长定理的再一个推论
总结词
切线长定理的再一个推论是，若两圆在 同一直线上相切，则它们的切线互相平 行。
VS
详细描述
这个推论是切线长定理的进一步应用。当 两圆在同一直线上相切时，它们的切线不 仅长度相等，而且平行。这个推论在解决 涉及直线和圆的问题时非常有用，特别是 在几何证明和解析几何中。通过掌握这个 推论，学生可以更好地理解几何图形的性 质和关系，提高解决几何问题的能力。
切线长定理的另一个推论
总结词
切线长定理的另一个推论是，若两圆相切于同一点，则该点的切线与两圆心的连线垂直 。
详细描述
这个推论说明了当两圆在同一点相切时，该点的切线与两圆心的连线之间此，该点的切
线与两圆心的连线互相垂直。这个推论在证明几何定理和解决几何问题时非常有用。
切线长定理在数学、物理、工程等领 域有着广泛的应用，通过学习和掌握 这个定理，我们可以更好地理解和应 用相关领域的知识。
通过本次课件的学习，我们深入了解 了切线长定理的证明过程和实际应用 ，掌握了利用切线长定理解决实际问 题的技巧和方法。
展望
随着数学和其他学科的发展，切线长定理的应用范围将会更加广泛，我 们可以通过不断学习和探索，深入了解这个定理的更多应用和推广。
切线长定理的证明方法二
利用三角形的全等定理进行证明。首先，作辅助线连接圆心和切点，将切线分为两段。然后，根据三角形的全等定理，证明三 角形全等，从而得到切线长的平方等于半径的平方和。
切线长定理的证明方法三
利用向量进行证明。首先，根据向量的数量积公式，向量的数 量积等于两向量的模长乘以其夹角的余弦值。然后，利用切线 的性质，切线和半径垂直，从而夹角为90度。结合数量积公式 ，可以证明切线长的平方等于半径的平方和。
圆的切线证明ppt课件
A
o
E
C
D
B
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
例4
7
如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙o交BC与D，交AC 于E，⊙o的切线BF交OD延长线于F，连结EF，求证：EF与⊙o 相切。
A
E
A
o
C E
B
D F
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
例2
4
如图，AB是⊙o的弦，点C是⊙o外一点，OC交AB于D， OA⊥OC，CD=CB.求证：CB是⊙o的切线。
A
oD
C
B
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
A o
P
2
切线 垂直 半径
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
例1
3
如图，⊙o中，AB是圆的一条直径，CD是⊙o的一条弦交AB于 点E，且AB垂直于CD，过点B做BF∥CD交AD延长线与F，求证： BF是⊙o的切线。
9
不知道直线与圆是否有公共点
做垂直 证半径
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
例5
10
如图，已知△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点， ⊙o与腰 AB相切与点D，求证： AC与⊙o相切。
《切线的判定》课件
在求解切点弦问题中的应用
切点弦方程
通过切点可以求出过该点的弦的方程，进而求出弦长或与弦 有关的量。
切点弦与切线的关系
利用切点弦与切线的关系，可以求解与切点弦有关的问题。
04 切线定理的证明
切线的判定定理的证明
切线的判定定理
如果一条直线与圆只有一个交点，则 这条直线是圆的切线。
证明方法
反证法。假设直线与圆有两个交点， 则直线与圆相交而非相切，与题目条 件矛盾。
利用切线的性质判定
切线的性质
切线与半径垂直，因此可以利用 这一性质判定切线。
判定方法
若直线与圆的半径垂直，则该直 线为圆的切线。
利用辅助线判定
辅助线的作法
在圆上任取一点，连接这点与圆心， 将连线与待判断的直线相交于一点， 然后过该点作直线的垂线，与圆相交 于另一点，连接圆心与该点。
判定方法
若所作的辅助线与待判断的直线重合 ，则该直线为圆的切线。
切线的判定定理
若直线与圆有交点，且连接交点和圆心的线段垂直于交点所连的直线，则该直线为圆的 切线。
证明过程
利用反证法，假设直线不是切线，则它与圆有两个交点，形成两个弦，由垂径定理可知 ，过圆心作弦的垂线，则这条垂线平分弦，但由题意知这条垂线同时也是连接圆心和切
点的线段，因此弦也被这条线平分，这与题意矛盾，因此假设不成立，直线为切线。
在三角函数中，切线定理可以用来求 解三角函数的值，或者用来证明某个 三角函数表达式等于零。
切线定理也可以用来求解三角函数的 单调性、周期性和最值等问题。
感谢您的观看
THANKS
如果一条直线与圆相交于两点，且 这两点与圆心构成的角平分线与该 直线垂直，则该直线是圆的切线。
切线定理在解析几何中的应用
圆的切线(复习课)课件
研究曲线的性质
在解析几何中，切线与曲线的交点是 曲线的重要性质之一，通过切线可以 研究曲线的增减性、极值点和拐点等 。
在实际问题中的应用
机械制造中的圆加工
在机械制造中，切线被广泛应用于圆形的加工和制造，如车削、铣削和磨削等 。
物理学中的圆周运动
在物理学中，切线是描述圆周运动轨迹的重要工具，如卫星轨道、物体旋转等 。
当一条直线与圆心的距离为零时，该直线被称为圆的切线。
切线的性质
切线与半径垂直
切线与半径的交点是切点
通过切点作半径垂直于切线，证明切 线与半径垂直。
切线与半径的交点是切点，这是切线 的定义决定的。
切线长度有限
切线的长度是有限的，等于圆的半径 。
切线的判定定理
01
02
03
判定定理一
如果一条直线通过圆上的 一点，并且该直线与圆的 半径垂直，则该直线是圆 的切线。
提高题目解析
知识应用能力的提升
提高题目要求学生在掌握基础知识的前提下，能够灵活运用 圆的切线性质解决实际问题，如求切线的长度、判断某直线 是否为圆的切线等。
竞赛题目解析
思维能力和创新能力的挑战
竞赛题目难度较大，不仅要求学生熟练掌握基础知识，还 要求他们具备严密的逻辑推理能力和创新能力，能够解决 一些较为复杂的圆的切线问题，如切线与圆的综合问题、 切线与其他几何图形的综合问题等。
切线和半径之间的距离是固定的
切线与半径之间的距离是固定 的，这个距离等于圆的半径。
切线到圆心的距离等于圆的半 径。
切线与经过切点的半径的夹角 为90度。
切线长定理
01
切线长定理：从圆外一点引出的 两条切线，它们的切线长相等。
02
这个定理可以用于证明一些几何 问题，例如角平分线的性质等。
在解析几何中，切线与曲线的交点是 曲线的重要性质之一，通过切线可以 研究曲线的增减性、极值点和拐点等 。
在实际问题中的应用
机械制造中的圆加工
在机械制造中，切线被广泛应用于圆形的加工和制造，如车削、铣削和磨削等 。
物理学中的圆周运动
在物理学中，切线是描述圆周运动轨迹的重要工具，如卫星轨道、物体旋转等 。
当一条直线与圆心的距离为零时，该直线被称为圆的切线。
切线的性质
切线与半径垂直
切线与半径的交点是切点
通过切点作半径垂直于切线，证明切 线与半径垂直。
切线与半径的交点是切点，这是切线 的定义决定的。
切线长度有限
切线的长度是有限的，等于圆的半径 。
切线的判定定理
01
02
03
判定定理一
如果一条直线通过圆上的 一点，并且该直线与圆的 半径垂直，则该直线是圆 的切线。
提高题目解析
知识应用能力的提升
提高题目要求学生在掌握基础知识的前提下，能够灵活运用 圆的切线性质解决实际问题，如求切线的长度、判断某直线 是否为圆的切线等。
竞赛题目解析
思维能力和创新能力的挑战
竞赛题目难度较大，不仅要求学生熟练掌握基础知识，还 要求他们具备严密的逻辑推理能力和创新能力，能够解决 一些较为复杂的圆的切线问题，如切线与圆的综合问题、 切线与其他几何图形的综合问题等。
切线和半径之间的距离是固定的
切线与半径之间的距离是固定 的，这个距离等于圆的半径。
切线到圆心的距离等于圆的半 径。
切线与经过切点的半径的夹角 为90度。
切线长定理
01
切线长定理：从圆外一点引出的 两条切线，它们的切线长相等。
02
这个定理可以用于证明一些几何 问题，例如角平分线的性质等。
《切线的判定方法》课件
的切线。
02
如果一条直线经过半径 的外端并且与半径之间 的夹角为90度，那么 这条直线就是圆的切线
。
03
如果一条直线经过圆的 某个点，并且与经过该 点的半径垂直，那么这 条直线就是圆的切线。
02
切线的判定方法
圆心到直线的距离
圆心到直线的距离为0
如果圆心到直线的距离为0，径的交点叫做切点，切点是圆上的一 点。
切线的性质
1 2
3
切线与半径垂直
切线与半径之间的夹角为90度。
切线与圆只有一个交点
切线与圆只有一个公共点，即切点。
切线与半径的交点是切点
切点是圆上的一点，也是切线与半径的交点。
切线的判定条件
01
切线的判定条件是：经 过半径的外端并且垂直 于这条半径的直线是圆
《切线的判定方法》ppt课件
$number {01}
目录
• 切线的定义 • 切线的判定方法 • 切线定理的应用 • 切线定理的证明 • 切线定理的拓展
01
切线的定义
切线的几何定义
01
切线是一条与圆只有一个交点的直线，这个交 点叫做切点。
02
切线与半径垂直，即切线与半径之间的夹角为 90度。
03
切线的判定定理
经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线
如果经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线。
经过直径的外端且垂直于直径的直线是圆的切线
如果经过直径的外端且垂直于直径的直线是圆的切线。
经过圆上一点且垂直于该点与圆心的连线的直线是圆的切线
如果经过圆上一点且垂直于该点与圆心的连线的直线是圆的切线。
切线定理在其他领域的应用
数学物理方法
切线定理在数学物理方法中有着广泛 的应用。例如，在求解偏微分方程时 ，可以利用切线定理来分析解的性质 和变化趋势。
02
如果一条直线经过半径 的外端并且与半径之间 的夹角为90度，那么 这条直线就是圆的切线
。
03
如果一条直线经过圆的 某个点，并且与经过该 点的半径垂直，那么这 条直线就是圆的切线。
02
切线的判定方法
圆心到直线的距离
圆心到直线的距离为0
如果圆心到直线的距离为0，径的交点叫做切点，切点是圆上的一 点。
切线的性质
1 2
3
切线与半径垂直
切线与半径之间的夹角为90度。
切线与圆只有一个交点
切线与圆只有一个公共点，即切点。
切线与半径的交点是切点
切点是圆上的一点，也是切线与半径的交点。
切线的判定条件
01
切线的判定条件是：经 过半径的外端并且垂直 于这条半径的直线是圆
《切线的判定方法》ppt课件
$number {01}
目录
• 切线的定义 • 切线的判定方法 • 切线定理的应用 • 切线定理的证明 • 切线定理的拓展
01
切线的定义
切线的几何定义
01
切线是一条与圆只有一个交点的直线，这个交 点叫做切点。
02
切线与半径垂直，即切线与半径之间的夹角为 90度。
03
切线的判定定理
经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线
如果经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线。
经过直径的外端且垂直于直径的直线是圆的切线
如果经过直径的外端且垂直于直径的直线是圆的切线。
经过圆上一点且垂直于该点与圆心的连线的直线是圆的切线
如果经过圆上一点且垂直于该点与圆心的连线的直线是圆的切线。
切线定理在其他领域的应用
数学物理方法
切线定理在数学物理方法中有着广泛 的应用。例如，在求解偏微分方程时 ，可以利用切线定理来分析解的性质 和变化趋势。
圆的切线课件
通过圆上一点作切线
总结词
通过圆上一点作切线需要利用半径垂直于切线的性质。
详细描述
选取圆上任意一点，然后通过这一点作一条直线与圆相切，即为切线。这种方法 需要利用圆的性质，即半径垂直于切线。
通过圆外一点作切线
总结词
通过圆外一点作切线需要利用垂径定 理和切线的性质。
详细描述
选取圆外任意一点，然后通过这一点 作一条直线与圆相切，即为切线。这 种方法需要利用垂径定理和切线的性 质，即半径与切线垂直且半径长度等 于圆心到切点的距离。
判定方法三
利用圆的性质，通过观察 圆心到直线的距离是否等 于半径来判断是否为切线 。
02 圆的切线的性质定理
切线与半径垂直
切线与经过切点的半径垂直， 这是切线的基本性质。
在几何学中，这一性质用于证 明切线的其他性质和定理。
在实际应用中，这一性质可用 于确定某直线是否为圆的切线 。
切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。 这一性质在几何作图和证明中非常有用，特别是在解决与圆和切线相关的问题时。
05 圆的切线的相关定理和推论
切线与半径之间的夹角定理
总结词
切线与半径之间的夹角定理描述了切线与半径之间的角度关系。
详细描述
切线与半径之间的夹角是直角，即切线与半径垂直。这个定理是圆的基本性质之一，是证明其他切线定理的基础 。
切线长定理的推论
总结词
切线长定理的推论给出了切线长度与半径之间的关系。
圆的切线ppt课件
目录
Contents
• 圆的切线的基本概念 • 圆的切线的性质定理 • 圆的切线的应用 • 圆的切线的作法 • 圆的切线的相关定理和推论
01 圆的切线的基本概念
圆的切线长定理 ppt课件
切线，A、B为切点，BC是直径。
求证：AC∥OP
CA
OD
P
B
13
探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP
交于⊙O于点D、E，交AB于C。
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（2）写出图中与∠OAC相等的角？图中有几组相等的线段?
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC，
A
OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.
（3）写出图中所有的全等三角形
E O CD
P
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC，
△ACP≌ △BCP
B
（4）写出图中所有的等腰三角形
△ABP △AOB
14
思考:
如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面
截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽
可能大呢？
D 8cm
11
牛刀小试
（1）若PA=4、PM=2，求圆O的半径OA OA=3
（2）已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APB= 60°
A
（3）若∠APB=70°，则∠AOB= 110° ⌒⌒
（4）OP交⊙O于M，则 ＡＭ＝ＢＭ，
O P
M
ＡＢ ⊥ ＯＰ
CB
12
例题讲解
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的
么?
6
证一证
请证明你所发现的结论。
B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
P
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
圆的切线的性质及判定定理 课件
【答案】 D
【例2】 如下图①所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙ O的切线，切点为B，OC平行于弦AD.求证：DC是⊙O的切 线．
【分析】 证明DC是⊙O的切线，连接OD，只要证明OD ⊥DC即可．
依题意，观察图形，可证△OCD∽△COB.
【证明】 如图②所示，连接OD. ∵OC∥AD，∴∠3＝∠1，∠4＝∠2. ∵OD＝OA，∴∠1＝∠2，∴∠4＝∠3. ∵OD＝OB，OC＝OC，∴△DOC≌△BOC. ∴∠CDO＝∠CBO. ∵AB是直径，BC是切线， ∴∠CBO＝90°，∴∠CDO＝90°. ∴DC是圆O的切线．
设圆的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有： d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．
2．圆的切线的性质 圆的切线的性质定理及它的两个推论可以用一个定理表述 为：如果圆和一条直线满足以下三个条件中任意两条，那么就 一定满足第三条．它们是：(1)经过圆心；(2)经过切点；(3)垂 直于切线． 另外圆的切线还有两条性质：一是切线和圆只有一个公共 点；二是切线和圆心的距离等于圆的半径．在许多实际问题 中，也常用它们来解决．
圆的切线的性质及判定定理
1.直线与圆的位置关系 直线与圆有两个公共点，称直线与圆__________； 直线与圆只有一个公共点，称直线与圆________； 直线与圆没有公共点，称直线与圆__________．
2．切线的性质定理及推论 定理：圆的切线__________经过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于__________直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过 __________． 3．切线的判定定理 经过半径的__________并且垂直于这条半径的直线是圆的 __________.
【例1】 下列说法正确的是( ) A．过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线 B．若直线与圆不相切，则它与圆相交 C．若直线与圆有公共点，则它和圆相交 D．若直线与圆有唯一公共点，则公共点是切点
【例2】 如下图①所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙ O的切线，切点为B，OC平行于弦AD.求证：DC是⊙O的切 线．
【分析】 证明DC是⊙O的切线，连接OD，只要证明OD ⊥DC即可．
依题意，观察图形，可证△OCD∽△COB.
【证明】 如图②所示，连接OD. ∵OC∥AD，∴∠3＝∠1，∠4＝∠2. ∵OD＝OA，∴∠1＝∠2，∴∠4＝∠3. ∵OD＝OB，OC＝OC，∴△DOC≌△BOC. ∴∠CDO＝∠CBO. ∵AB是直径，BC是切线， ∴∠CBO＝90°，∴∠CDO＝90°. ∴DC是圆O的切线．
设圆的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有： d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．
2．圆的切线的性质 圆的切线的性质定理及它的两个推论可以用一个定理表述 为：如果圆和一条直线满足以下三个条件中任意两条，那么就 一定满足第三条．它们是：(1)经过圆心；(2)经过切点；(3)垂 直于切线． 另外圆的切线还有两条性质：一是切线和圆只有一个公共 点；二是切线和圆心的距离等于圆的半径．在许多实际问题 中，也常用它们来解决．
圆的切线的性质及判定定理
1.直线与圆的位置关系 直线与圆有两个公共点，称直线与圆__________； 直线与圆只有一个公共点，称直线与圆________； 直线与圆没有公共点，称直线与圆__________．
2．切线的性质定理及推论 定理：圆的切线__________经过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于__________直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过 __________． 3．切线的判定定理 经过半径的__________并且垂直于这条半径的直线是圆的 __________.
【例1】 下列说法正确的是( ) A．过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线 B．若直线与圆不相切，则它与圆相交 C．若直线与圆有公共点，则它和圆相交 D．若直线与圆有唯一公共点，则公共点是切点
切线的判定与性质课件
学习目标
1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作 圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点） 3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. （难点）
切线的判定与性质
1
导入新课
情境引入
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是 否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.
可以通过解直角三角形求出半径OA的长.
切线的判定与性质
19
(1)求证：△ACB≌△APO；
(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点， A
∴∠OAP＝90°.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，C
O
又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
B
P
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°. 在△ACB和△APO中，
则PA与☉O的位置关系是相切 .
A
D C
P
O
PA O
B
第2题
第3题
3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，
∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，
则∠ADP的度数为（ C ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
切线的判定与性质
23
4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
证明：连接OC(如图).
∵ OA＝OB,CA＝CB,
A
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.
∴ AB⊥OC.
∵ OC是⊙O的半径,
∴ AB是⊙O的切线.
切线的判定与性质
O
C
B
8
例3 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点， ⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线．
1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作 圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点） 3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. （难点）
切线的判定与性质
1
导入新课
情境引入
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是 否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.
可以通过解直角三角形求出半径OA的长.
切线的判定与性质
19
(1)求证：△ACB≌△APO；
(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点， A
∴∠OAP＝90°.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，C
O
又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
B
P
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°. 在△ACB和△APO中，
则PA与☉O的位置关系是相切 .
A
D C
P
O
PA O
B
第2题
第3题
3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，
∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，
则∠ADP的度数为（ C ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
切线的判定与性质
23
4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
证明：连接OC(如图).
∵ OA＝OB,CA＝CB,
A
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.
∴ AB⊥OC.
∵ OC是⊙O的半径,
∴ AB是⊙O的切线.
切线的判定与性质
O
C
B
8
例3 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点， ⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线．
人教版数学九年级上册24.2.2切线的判定与性质课件(共24张PPT)
知识回顾
直线与圆相切的判定： 1.利用定义判定：直线和圆只有一
个公共点时，直线与圆相切. 2.利用直线与圆心距离判定：当圆
心与直线的距离等于该圆的半径时，直 线与圆相切.
O
l
O d=r
l
新知探究
知识点1 切线的判定
思考：如图，在⊙O中，经过半径OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA. （1）圆心O到直线 l 的距离是多少？
l
∴OA⊥l
ห้องสมุดไป่ตู้ 反证法证明切线的性质
如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA
与直线CD垂直.
证明：（1）假设AB与CD不垂直，过
B
点O作一条直线垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的
O
距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O
相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相 C 矛盾；
A MD
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
B
A D
1
O
E C
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线. 方法总结：无交点，作垂直，证半径.
随堂练习
1.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，
d l
A
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于
O
这条半径的直线是圆的切线.
l
A
已 知 ： 直 线 AB 经 过 ⊙ O 上 的 点 C ， 并 且 OA=OB ，
CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连接OC.
圆的切线的性质及判定定理 课件
所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2. 由正圆锥的对称性，知Q1Q2的长度等于两圆S1，S2所在平 行平面间的母线段的长度，而与P的位置无关，由此我们可知 在β>α时，平面π与圆锥的交线为一个椭圆．
平面与圆柱面的截线
[例2] 如图，在圆柱O1O2内嵌入双球，使它们 与圆柱面相切，切线分别为⊙O1和⊙O2，并且和圆柱 的斜截面相切，切点分别为F1，F2.
求证：斜截面与圆柱面的截线是以F1，F2为焦点 的椭圆．
[思路点拨] 证明曲线的形状是椭圆，利用椭圆的定义 (平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹)来证明．
[证明] 如图，设点P为曲线上任一点，连接 PF1，PF2，则PF1，PF2分别是两个球面的切线，切点 为F1，F2，过P作母线，与两球面分别相交于K1， K2，则PK1，PK2分别是两球面的切线，切点为K1，K2.
根据切线长定理的空间推广 ， 知PF1＝PK1，PF2＝PK2， 所以PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝K1K2. 由于K1K2为定值，故点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆．
平面与圆锥面的截线
[例3] 证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆锥的交 线为椭圆．
[思路点拨] 本题直接证明，难度较大，故可仿照定理1的 方法证明，即Dandelin双球法．
[证明] 如图，在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于 平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均 相切．
做这个图形的平行射影．
3．正射影与平行射影的联系与区别 正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的．因 此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂 直．而平行射影的投影光线与投影面斜交．平面图形的正射影 与原投影面积大小相等．而一般平行射影的面积要小于原投影 图形的面积．
平面与圆柱面的截线
[例2] 如图，在圆柱O1O2内嵌入双球，使它们 与圆柱面相切，切线分别为⊙O1和⊙O2，并且和圆柱 的斜截面相切，切点分别为F1，F2.
求证：斜截面与圆柱面的截线是以F1，F2为焦点 的椭圆．
[思路点拨] 证明曲线的形状是椭圆，利用椭圆的定义 (平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹)来证明．
[证明] 如图，设点P为曲线上任一点，连接 PF1，PF2，则PF1，PF2分别是两个球面的切线，切点 为F1，F2，过P作母线，与两球面分别相交于K1， K2，则PK1，PK2分别是两球面的切线，切点为K1，K2.
根据切线长定理的空间推广 ， 知PF1＝PK1，PF2＝PK2， 所以PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝K1K2. 由于K1K2为定值，故点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆．
平面与圆锥面的截线
[例3] 证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆锥的交 线为椭圆．
[思路点拨] 本题直接证明，难度较大，故可仿照定理1的 方法证明，即Dandelin双球法．
[证明] 如图，在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于 平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均 相切．
做这个图形的平行射影．
3．正射影与平行射影的联系与区别 正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的．因 此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂 直．而平行射影的投影光线与投影面斜交．平面图形的正射影 与原投影面积大小相等．而一般平行射影的面积要小于原投影 图形的面积．
圆单元复习之切线证明的常用方法 课件(共15张PPT)(2024)人教版初中数学九年级上册
求证：CD与⊙O相切.
••针课针对堂对训小训练结练
切线证 明的常 用方法
有交点,连半径,证垂直 无交点,作垂直,证半径
• 能力提升
体验中考1：如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆 的切线，过半圆上的点C作CD//AB交AF于点D，连接BC. （1）连接DO，若BC//OD,求证：CD是半圆的切线； （2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC， 判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论.
演练2:如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DC⊥AC
于C，求证：DC是⊙O的切线
证明：连接OD ∵ AD平分∠BAC ∴ ∠BAD=∠CAD
又∵OA=OB ∴ ∠BAD=∠ODA
又∵AC⊥DC ∴OD⊥DC
又∵ OD是半径 ∴ DC为⊙O的切线。
∴ ∠CAD=∠ODA ∴ OD∥AC
能力提升
体验中考2：如图,在△ABC中,O为AC上一点，以O为圆心，OC为半径
作圆，与BC相切于点C,过点A作AD⟂BO交BO的延长线于点D,且
∠AOD=∠BAD.
求证：AB为⊙O的切线.
A
E
B
D O C
求证：PB是⊙O的切线；
类型一：有交点，连半径，证垂直
证明：连接OB
∵OB=OC ∴∠OBC=∠C ∵∠PBA=∠C ∴∠PBA=∠OBC ∵AC是⊙O的直径
∴∠ABC=90° ∴∠ABO+∠OBC=90° ∴∠PBA+∠OBA=90°即OB⊥PB ∴PB是⊙O的切线
演练1:如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE
证切线时辅助线的添加方法：
方法一： 条件：直线与圆的交点标明字母 方法：有交点，连半径，证垂直
••针课针对堂对训小训练结练
切线证 明的常 用方法
有交点,连半径,证垂直 无交点,作垂直,证半径
• 能力提升
体验中考1：如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆 的切线，过半圆上的点C作CD//AB交AF于点D，连接BC. （1）连接DO，若BC//OD,求证：CD是半圆的切线； （2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC， 判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论.
演练2:如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DC⊥AC
于C，求证：DC是⊙O的切线
证明：连接OD ∵ AD平分∠BAC ∴ ∠BAD=∠CAD
又∵OA=OB ∴ ∠BAD=∠ODA
又∵AC⊥DC ∴OD⊥DC
又∵ OD是半径 ∴ DC为⊙O的切线。
∴ ∠CAD=∠ODA ∴ OD∥AC
能力提升
体验中考2：如图,在△ABC中,O为AC上一点，以O为圆心，OC为半径
作圆，与BC相切于点C,过点A作AD⟂BO交BO的延长线于点D,且
∠AOD=∠BAD.
求证：AB为⊙O的切线.
A
E
B
D O C
求证：PB是⊙O的切线；
类型一：有交点，连半径，证垂直
证明：连接OB
∵OB=OC ∴∠OBC=∠C ∵∠PBA=∠C ∴∠PBA=∠OBC ∵AC是⊙O的直径
∴∠ABC=90° ∴∠ABO+∠OBC=90° ∴∠PBA+∠OBA=90°即OB⊥PB ∴PB是⊙O的切线
演练1:如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE
证切线时辅助线的添加方法：
方法一： 条件：直线与圆的交点标明字母 方法：有交点，连半径，证垂直
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1
圆的切线证明
.
.
圆的切线的性质
2
圆的切线垂直于过切点的半径
A
o P
A
o P
3
切线 垂直 半径
.
例1
4
.
如图，⊙o中，AB是圆的一条直径，CD是⊙o的一条弦交AB于 点E，且AB垂直于CD，过点B做BF∥CD交AD延长线与F，求证： BF是⊙o的切线。
A
o
C E
B
D F
.
例2
5
如图，AB是⊙o的弦，点C是⊙o外一点，OC交AB于D， OA⊥OC，CD=CB.求证：CB是⊙o的切线。
A
E
o
C D
B
F
9
.
第二类解题思路
10
.
不知道直线与圆是否有公共点
做垂直
证半径
例5
11
.
如图，已知△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点， ⊙o与腰 AB相切与点D，求证： AC与⊙o相切。
A
D
E
B
o
C
B
A
oD
C
B
第一类解题思路
6
已知直线过圆上一点（切点）
.
连半径
证垂直
.
例3
7
如图，AB是⊙o的直径，BD是⊙o的弦，延长BD到点C，使 DC=BD,连结AC，过点D做DE⊥AC，垂足为E. 求证：（1）AB=AC；（2）DE为⊙o的切线。
A
o
E
C
D
B
例4
8
.
如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙o交BC与D，交AC 于E，⊙o的切线BF交OD延长线于F，连结EF，求证：EF与⊙o 相切。
圆的切线证明
.
.
圆的切线的性质
2
圆的切线垂直于过切点的半径
A
o P
A
o P
3
切线 垂直 半径
.
例1
4
.
如图，⊙o中，AB是圆的一条直径，CD是⊙o的一条弦交AB于 点E，且AB垂直于CD，过点B做BF∥CD交AD延长线与F，求证： BF是⊙o的切线。
A
o
C E
B
D F
.
例2
5
如图，AB是⊙o的弦，点C是⊙o外一点，OC交AB于D， OA⊥OC，CD=CB.求证：CB是⊙o的切线。
A
E
o
C D
B
F
9
.
第二类解题思路
10
.
不知道直线与圆是否有公共点
做垂直
证半径
例5
11
.
如图，已知△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点， ⊙o与腰 AB相切与点D，求证： AC与⊙o相切。
A
D
E
B
o
C
B
A
oD
C
B
第一类解题思路
6
已知直线过圆上一点（切点）
.
连半径
证垂直
.
例3
7
如图，AB是⊙o的直径，BD是⊙o的弦，延长BD到点C，使 DC=BD,连结AC，过点D做DE⊥AC，垂足为E. 求证：（1）AB=AC；（2）DE为⊙o的切线。
A
o
E
C
D
B
例4
8
.
如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙o交BC与D，交AC 于E，⊙o的切线BF交OD延长线于F，连结EF，求证：EF与⊙o 相切。