含参导数问题常见的分类讨论

含参导数问题常见的分类讨论

学生

1.求导后,需要判断导数等于零是否有实根,从而引发讨论:

例1.(11全国Ⅱ文21)已知函数f(x)=x 3+3ax 2+(3-6a)x+12a-4 (a ∈R).

(1)证明:曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2):

(2)若f(x)在x=x 0处取得极小值,x 0∈(1,3),求a 的取值范围.

2.求导后,需要比较导数等于零的不同实根的大小,从而引发讨论:

例2.(09辽理)已知函数f(x)=0.5x 2-ax+(a-1)lnx,a>1.(1)讨论函数f(x)的单调性;

（2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有

1212

()()1f x f x x x ->--。 解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，211(1)[(1)]()a x ax a x x a f x x a x x x

--+----'=-+==--------------2分 （i ）若11a -=，即a=2，则2

(1)()x f x x

-'=，故()f x 在(0,)+∞上单调增加。 （ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，()0f x '<；

当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，()0f x '>。

故()f x 在(1,1)a -上单调减少，在(0,1)a -，(1,)+∞上单调增加。

（iii ）若11a ->，即2a >， 同理可得()f x 在(1,1)a -上单调减少，在(0,1)a -，(1,)+∞上单调增加。 -----------------6分

（2）考虑函数21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=

-+-+，

则21()(1)(1)11)a g x x a a x -'=--+≥-=-， 由于15a <<，故()0g x '>，即()g x 在(0,)+∞上单调增加，从而当210x x <<时， 有12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故1212

()()1f x f x x x ->--； 当120x x <<时，有12211221

()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---。----------------12分

3.求导后,对于导数大于或小于零的不等式,两边同除一个代数式,需考虑代数式的正负,从而引发讨论:

例3.(10辽文21)已知函数f(x)=(a+1)ln x+ax2+1.

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)设a≤-2,证明:对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|

4.求导后,导函数等于零有实根,需要判断实根是否在定义域内,从而引发讨论:

例4.(10天津文20)已知函数f(x)=ax3-32x2+1 (x∈R),其中a>0.

(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程:

(2)若在区间11

[,]

-上f(x)>0,恒成立,求a的取值范围.

22