任意角及其三角函数(讲义)

任意角及其三角函数（讲义）

➢ 知识点睛

一、任意角及象限角 1. 任意角

⎧⎪

⎨⎪⎩

正角：逆时针旋转任意角负角：顺时针旋转

零角：一条射线没有作任何旋转 2. 象限角

定义：角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在

第几象限，就称之为第几象限角．

若角的终边在坐标轴上，则认为这个角不属于任何一个象限． 3. 终边相同的角的集合

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合

{|2}S k k ββα==+π∈Z ，．

二、弧度制

1. 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读

作弧度． 2. 任意角的弧度数

如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α

的弧度数的绝对

值是l

r

α=．

注：角α的正负由角α的终边的旋转方向决定． 3. 弧度制和角度制的换算关系：180rad ︒=π ．

三、任意角的三角函数

1. 单位圆：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆．

2. 如图，α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，定义：

①y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y α=； ②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x α=；

③y

x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=．

四、同角三角函数的基本关系

和：22sin cos 1+=αα

商：sin tan cos =α

αα

r O B A

r 1 rad

B 旋转量=∠AOB 旋转方向：逆时针

始边

终边

0)A (1，αy )

P (x ，O

x

y y

x

O

五、三角函数的诱导公式

把α看作是第一象限角，

口诀：奇变偶不变，符号看象限

➢ 精讲精练

1. 判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． （1）小于90°的角都是锐角； （ ） （2）第一象限角都是锐角；

（ ）

（3）第二象限角比第一象限角大； （ ） （4）三角形的内角是第一象限角或第二象限角． （ ）

2. 若β是第四象限角，则πβ-是（ ）

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第三象限角

D ．第四象限角

3. 若α是第三象限角，则

2

α

是（ ） A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第一或第三象限角

D ．第二或第四象限角

4. 用弧度表示：

（1）终边在直线y x =上的角的集合

（2）终边在直线y x =-上的角的集合

（3）终边在坐标轴上的角的集合

5. 已知点(tan cos )P αα，在第三象限，则角α的终边在（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

6. 若tan α>0，则（ ）

A ．sin α>0

B ．cos α>0

C ．sin 2α>0

D ．cos 2α>0

7. 已知角α的终边经过点(-4，3)，则cos α的值为（ ）

A ．45

B ．35

C ．35-

D ．45-

8. 已知点(5)P m ，在角α的终边上，且cos 013

m

m α=≠（），则sin cos αα+

的

值为（ ）

A ．7

13-

B ．1713-

C ．1713或713-

D ．713或1713

-

10. 已知α是第四象限角，且5

tan 12=-

α，则sin α的值为（ ） A ．1213

B ．1213

-

C ．513

D ．513

-

11. 若2sin()3απ-=-，且(0)2

απ

∈-，

，则cos()απ+的值为 （ ）

A B ．-

C ．±

D ．以上都不对

12. 若tan 2α=-，则

sin(π)+cos(π)

sin(π)cos(π)αααα-+=+-+（ ）

A ．3

B ．1

3 C ．1 D ．1-

13. 已知函数()cos 2

x

f x =，则下列等式恒成立的是（ ）

A ．(2)()f x f x π-=

B ．(2)()f x f x π+=

C ．()()f x f x -=-

D ．()()f x f x -=

14. 计算：

（1）2425313sin sin cos cos()3624

ππππ-++-；

（2）cos()sin(2)sin()cos(3)22

ααααπ3π

-⋅-π++⋅π-．

15. 已知1

sin()3

απ+=-，计算：

（1）sin(5)π-α ； （2）sin()2

π

+α；

（3）3

cos()2

-πα； （4）tan(3)απ+．

【参考答案】

➢ 精讲精练 1. ×××× 2. C 3. D

4. （1）{|}4Z π

=

+π∈，k k αα （2）{|}4

Z 3

=π+π∈，k k αα