浅谈数理方程中线性边界条件的分类

浅谈数理方程中线性边界条件的分类

摘要： 数学物理方程中有定解离不开初始条件和边界条件，其反映了具体问题所处的

环境和背景。本文针对线性边界条件的分类进行归纳。

关键词： 数学物理方程 线性边界条件 分类

一、 引言

物理课程中所研究论述的物理规律是物理量在空间和时间中变化的规律。物理规律用数学表达是：物理量u 在各个地点和各个时刻所取值之间的联系。通过这种联系，我们就可以由边界条件和初始条件推算出物理量在任意地点和任意时刻的u(x,y,z,t)。同时它也是解决问题的依据。为了解算具体问题，应该考虑到所研究的区域所处的环境。边界条件和初始条件就是反映具体问题所处的环境和背景。

二、 线性边界条件的分类

物理规律反映的是物理量在时间和空间上的联系，与特定的周围环境和历史有关。物理中的联系总是要通过中介，周围环境的影响是通过边界传给其研究对象，所以，周围环境的影响体现于边界所处的物理状况，即边界条件。而不同的物理过程，因其具体的条件不同，结果也不一样。下面，将对线性边界条件进行简单的归纳。

1、第一类边界条件

这类边界条件直接规定了所研究的物理量在边界上的数值。

()(),,,U x y z t 00000边界x ,y ,z 0,=f t,x ,y ,z ，又称狄利克雷()Dirichlet 边界条件。首先以弦振动为例：取一根长为L 的弦，把它的两端0X =和X L =固定起来，然后让它振动。边界条件0X =和X L =既然是固定的，那位移U 当然始终为零。

()0,0

x U x t ==

()()()

()

()000000,,000,,,,,,0,0

,,,0

x x t

x x a

x l

x y z x a U x t N U x t N f z t u x t u

u

f t x y z n

kUn ρϕ=========∂=∂=边界(),0x t U x t ==

对于细杆导热问题，如果杆的某一端点x=a 的温度U 按已知的规律f (t)变化，则该点的边界条件是：()

(),x a

U x t f t ==

特别是如果该端点恒温u 0 ,则边界条件成为()()0,x a

U x t f u ==

再如，半导体扩散工艺的“恒定表面浓度扩散”中，硅片周围环境是携带着充足杂质的氮气，杂质通过硅片表面向内部扩散，而硅片表面的杂质浓度保持一定。硅片的边界就是它的表面0X =和X L =，边界上的物理则是杂质浓度U 保持为常数N 0，

()()

000

,,x x t

U x t N U x t N ====

例1：设有一半径为a 高为h 的圆柱体，其底面和侧面保持恒温u0,而顶端温度按已知规律(),,f t ρϕ变化，试写出其导热问题的边界条件。 解：设杆的温度为(),,,f z t ρϕ，则其边界条件为

()0

00,,,,z z h

a

u

u u

t u

u ρρϕ======

例2:考虑长为L 的均匀杆的导热问题

若（1）杆的两端温度保持零度 （2）杆的两端均绝热

（3）杆的一端为恒温零度，另一端绝热；试写出该导热问题在以上三种情况下的边界条件。

解：设杆的温度为(),U x t ，则 （1）0

0,0x x l

u

u

====

（2）因为当沿杆长方向有热量流动时，有

()

x u q k

x =∂=-∂-

x l

u q k

x

=∂=-∂

其中，q 为热流强度，而杆的两端绝热，就意味着杆的两端与外界没有热交换，亦即没有热量的流动（q=0）故有0

0,0x x x

x l

u u ====

（3），此时有0

0,0x x l

u

u

====

2 第二类边界条件

这类边界条件规定了所研究的物理量在边界外法线方向上的导数的值()000,,000,,,x y z u

f t x y z n

∂=∂边界 又称诺伊曼（Neumamm ）边界条件。

例如作纵振动的杆的某个端点x=a 受有沿端点外法线方向的外力f(t)，根据胡克定律，该端点的张应力n

x a

Yu =与外力的关系为

()n

x a

Yu S f t ==

其中S 为杆的横截面积。如该端点是自由的，f(t)=0,则0x x a

u ==。当f(t)≠0时，

对x=L 端点，()x L

u f t x

=∂=∂，对x=0端点，0

()x u

f t YS x

=∂=-∂。

又如细杆导热问题，若杆的某个端点x=a 有热流f(t)沿该端点外法线方向流出，则根据热传导定律，边界条件为()n x a

Ku f t =-=；如热流f(t)是流入，则边界条件

为()n

x a

Ku f t =-=-。如果端点绝热。则0n

x a

u ==。

该端点的热流强度为零，而沿x 方向的热流强度等于热传导系数 K 温度UX 的乘积变号因此：(),0x x a u x t ==

再如，半导体扩散工艺的“限定源扩散”中没有外来的杂质通过硅片表面进入硅片，只是硅片表层已有的杂质向硅片深部扩散。从“限度源”这个条件并不能推断在硅片表面的浓度u 的值。但是，限定源意味着通过硅片表面x=0和x=L 的扩散流强度为零，而沿x 方向的扩散流强度对于扩散系数D 与浓度梯度