插值法(lagrange插值,牛顿插值).

| x1 x0 |
很小时
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也可表示为如下对称形式：
L1(x) y0l0 ( x) y1l1 ( x)
其中，
a x0 x1 x2 xn b
上的函数值 yi f ( xi ),
i 0,1,2,, n
能否存在一个性能优良、便于计算的函数
比如多项式函数P( x), 满足
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P( xi ) yi
i 0,1,2 ,, n
并且用P( x)近似代替f ( x)
--------(4)
上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式
1 x0 V
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2 n x0 x0 2 x1
1 x1 1 xn

n x1

2 n xn xn
( x j xi ) 0
i 0 j i 1
8
n 1
n
xi x j
sinxµ IJ å Öµ
1
yy
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
0.5
1
1.5 1.5
2 2
2.5 2.5
3 3
3.5 3.5
x x x
对于被插函数 f ( x)和插值函数 P( x) 在节点xi处的函数值必然相等 但在节点外 P( x)的值可能就会偏离 f ( x) 因此P( x)近似代替 f ( x)必然存在着误差
• 这就是所谓的拉格朗日（Lagrange）插值。
li(x)(i=0,1,…,n)的构造。
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§ 2.2.1
线性插值与抛物插值
一、线性插值—点斜式 问题 已知函数y=f(x)在点x0,x1上的值为y0,y1，求 作一次式 L1 ( x)，使满足条件
L1 ( x0 ) y0 , L1 ( x1 ) y1
由Cramer法则,线性方程组(4)有唯一解 定理1. 若插值节点 xi x j (i j ),
Pn ( xi ) yi i 0,1,2 ,, n
则满足插值条件
--------(3) --------(2)
的插值多项式 2 n P ( x ) a a x a x a x n 0 1 2 n 存在且唯一.
其几何意义，就是通过两点 A( x0 , y0 ), B( x1 , y1 ) 的 一条直线。
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L1
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由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为
y1 y0 y y0 ( x x0 ) L1 ( x) x1 x0
称为线性插值(n=1的情况)，分为内插与外推。 适用情况：
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整体误差的大小反映了插值函数的好坏
为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函 数都使用代数多项式和有理函数 本章讨论的就是代数插值多项式
二、代数插值多项式的存在唯一性
设函数 y f ( x) 在区间 [a, b]上的代数插值多项式为
2 n P ( x ) a a x a x a x n 0 1 2 n
Pn ( xi ) yi
i 0,1,2 ,, n
其中 a i为实数，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法 称为多项式插值；若P(x)为分段的多项式，就称为分段 插值；若P(x)为三角多项式，就称为三角插值。
本章只讨论多项式插值与分段插值
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§ 2.2
拉格朗日插值
拉格朗日（ Lagrange ）插值公式 ( 以下统称 • 此插值问题可表述为如下： n 多项式 Lagrange 插值公式 ) 的基本思想是，把 Ln ( x) ，使满足条件 • 为 问题 求作次数 Ln xi yi , (i 0,1,, n) pn(x) 的构造问题转化为 n+1 个插值基函数
虽然线性方程组(4)推出的插值多项式存在且唯一
但通过解线性方程组(4)求插值多项式却不是好方法
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三、插值法的类型
设函数 y f ( x) 在区间 [a, b]上的代数插值多项式为
2 n P ( x ) a a x a x a x n 0 1 2 n
且满足
第二章 插值法
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第二章 插值法
§ 2.1 引言 § 2.2 拉格朗日插值 § 2.3 差商与牛顿插值公式 § 2.4 差分与等距节点插值 § 2.5 埃尔米特插值 § 2.6 分段低次插值 § 2.7 三次样条插值
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本章要点 用简单的函数(如多项式函数)作为一个 复杂函数的近似,最简单实用的方法就是 插值.
--------(2) --------(3)
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且满足
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Pn ( xi ) yi
i 0,1,2 ,, n
即多项式Pn ( x)的系数a0 , a1 , a2 ,, an满足线性方程组
2 n a a x a x a x y 0 1 0 2 0 n 0 0 2 n a0 a1 x1 a2 x1 an x1 y1 a a x a x2 a xn y 0 1 n 2 n n n n
本章主要介绍有关插值法的一些基本概念， 及多项式插值的基础理论和几个常用的插 值方法：拉格朗日插值、分段线性插值、 牛顿插值、埃尔米特插值和三次样条插值.
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§ 2.1 引言
一、插值问题
对函数f ( x),其函数形式可能很复杂 , 且不利于在计算机上
运算, 假如可以通过实验或测 量, 可以获得f ( x)在区间 [ a , b] 上的一组n 1个不同的点
这就是插值问题，上式为插值条件
称函数P( x)为函数f ( x)的插值函数 如果P( x)为多项式函数 , 则称之为插值多项式
点 xi , i 0,1,2,, n, 称为插值节点
区间 [a, b]称为插值区间 如函数y sin x, 若给定 [0, ]上5个等分点
其插值函数的图象如下图
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