高中数学选修课《悖论》课件

数学上的三次危机与悖论
第一次危机是古希腊时代关于无理数的争论 毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，即“宇宙一彻现象都能归结 为整数或整数之比” 希伯索斯在研究边长为1的正方形时，发现对角线与边长是不可 通约的，即不能用整数之比表示这个数。 无理数的发现与” 可通约“的信条想矛盾公开化，人们将这个矛 盾称为毕达哥拉斯悖论，它引起了第一次数学危机。 它促使人们进一步认识无理数，扩大了数域，为实数理论的创建 和发展作了奠基工作。 希腊人开始重视几何学的演绎推理，一门新的学科欧氏几何学诞 生，欧几里得《几何原本》的出现，标志着第一次数学危机的结束， 从此，几何学公理化与数理逻辑成为数学界关注的问题。
诉 讼 悖 论
从前一个老律师立了一个规矩：跟他学习法律的 学生可以先不交纳学费。学成毕业后，徒弟如果打 赢了第一场官司就得支付学费，否则就可以免付学 费。数年后，他的一名弟子满师后的第一件事就是 和老律师打一场官司。 徒弟所打的主意是：如果我赢了，按照法官的判 决，我可以不付学费；如果我输了，那么按照老师的 规矩，我也可以不付学费。老律师也积极应诉，他打 的算盘是：如果我赢了，按法官的判决收回学费；反 之，如果我输了，那按我的规矩学生还是得付钱。
数学上的三次危机与悖论
第二次危机是17-18世纪关于无穷小的争论
从17世纪微积分诞生以来，它的理论主要建立在无穷小分析的 基础上，无穷小量在实际应用过程中要求既是0，又不是0。从形式 逻辑角度，这无疑是一个矛盾。 1734年英国大主教贝克莱出于他的政治目的对微积分进行了激 烈的攻击：无穷小量不是0，然后又让它等于0，这是违背规律的。 关于“无穷小量究竟是否为0”的问题，人们称着贝克莱悖论，它 反映出当时微积分理论没有一个巩固的基础，产生了第二次数学危机。 法国数学家柯西把微积分理论的基础完全建立在“极限”理论上， 德国数学家魏尔斯特拉斯使用排除无穷小量的方法解决了贝克莱悖论， 20世纪60年代，美国逻辑学家罗宾逊建立了非标准分析，进一步彻 底解决了贝克莱悖论。 第二次数学危机促使了分析基础的完善和集合论的创立。
悖 论 举 例
一般认为，最早的悖论是公元前六世纪古希腊 的“说谎者悖论”。《新约全书· 提多书》是这样 记述的： 克里特人中的一个本地先知伊壁孟尼德说： “克里特人都是撒谎者，乃是恶兽，又馋又懒。” 公元前4世纪希腊哲学家欧几里德将“说谎 者悖论”改进为：“我正在说的这句话是谎话。”
麦 堆 悖 论
生 活 中 存 在 的 悖 论
思 考 ：
理发师悖论
西班牙的塞维利亚村只有一个理发 师，自夸无人可比。他给自己的小店立 了一条店规：“我给且只给村里不给自 己刮胡子的人刮胡子。” 有人问理发师：“你给不给自己 刮胡子呢？ ”
B.Russell,1872-1970
（1918年有人用“理发师悖论”对“罗素集合悖论”进行了通俗的解 释。）
高中数学选修课
趣话 悖 论
就 是 我 一 无 所 知 。
苏 格 拉 底
我 现 在 唯 一 知 道 的 事 ，
什么是悖论
悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意 思是“多想一想”。悖论其字面意思为“荒谬的理 论或自相矛盾的话”，实际上它是一个逻辑术语， 指一种导致矛盾的命题。
《数学百科辞典》关于悖论辞条是这样说的：能 由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进 够导出与一般判断相反的结论，而要推翻它又很难 行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾 给出正当的根据时，这种论证称为悖论。特别是， 命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得 如果一个命题及其否定均可用逻辑上等效的推理加 B。那么命题B就是一个悖论。 以证明，而其推导又无法明确指出错误时，这种矛 盾，便称为悖论。
数学上的三次危机与悖论
第三次危机是19-20世纪关于集合论的争论 十九世纪七十年代德国数学家康托尔创立了集合论，它是现 代数学的基础，也是产生危机的直接来源。 1902年6月英国逻辑学家罗素利用康托尔集合论的最基本概念： 集合、属于、元 素，发现了罗素悖论 “所有不属于自身的集合 的集合” ，现在就有一个问题： “所有不属于自身的集合的集 合”属于自身还是不属于自身？ 罗素悖论导致集合论出现了矛盾，使数学基础发生了动摇。 罗素集合悖论引起数学界的争论，称为第三次数学危机。 罗素悖论震动数学界，引起了数学家和逻辑学家的重视。1908 年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理 系统。原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避 免了悖论的出现。 在二十世纪初，一门崭新的领域产生了，这就是数学基础，开 始形成三个主要学派：逻辑主义学派（罗素），直觉主义学派（布
小说《唐· 吉诃德》里描写过一个残酷 的国王，在他所统治的国家有一条奇怪的 法律：每一个旅游者都要回答一个问题： “ 你来这里干什么？” 如果旅游者回答对 了，一切都好办；如果回答错了，旅游者 立刻会被绞死。 有一天，有个旅游者来到这个国家， 他答道：“我来这里是要被绞死。 ”这时， 卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，旅 游者就说错了，就得受绞刑。可是，如果 他们绞死旅游者，他就说对了，就不应该 绞死他。 为了做出决断，旅游者被送到国王那 里。国王苦苦想了好久，才说：“不管我 做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。 我们还是宽大为怀算了，让这个人自由 吧。”
一粒麦子构不成 麦堆，两粒也不行， 三粒也不行……所以 无论多少麦子都不是 麦堆。
芝诺悖论 之
阿基里斯悖论
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阿基里斯是希腊神话中善 跑的英雄。古希腊数学家芝诺 讲：奔跑中的阿基里斯永远也 无法超过在他前面慢慢爬行的 乌龟。因为他必须首先到达乌 龟的出发点，而当他到达那一 点时，乌龟又向前爬了。因而 乌龟必定总是跑在前头。
劳威），形式主义学派（希尔伯特）。
有人把悖论分为两类。一类 是逻辑和数学型悖论，是由 逻辑和数学中的概念构成的。 另一类是语文学悖论，是由 命名和真、假等概念构成的。 在数学研究中更注重第一类 悖论。这类悖论的通常形式 是：如果承认某命题正确， 就会推出它是错误的；如果 认为不正确，就会推出它是 正确的。