制图第二篇2章详解

第二篇画法几何

第二章点、直线和平面

§2-2-1 点的投影（一）

教学目的掌握点的投影的形成、投影规律、点的投影与坐标间的关系。

重点难点掌握点的投影规律、点的三面投影的形成过程、点的投影与坐标间的关系。

教学方法讲授为主

导入新课（5分钟）；

讲授新课（70分钟）；

小结（3分钟）作业布置（2分钟）。

教学课时2课时

教学过程

Ⅰ复习提问

1.投影规律（三等关系）是什么？

Ⅱ导入新课

点、线（直线或曲线）、面（平面或曲面）是构成形体的基本几何元素。而点又是构

成线、面的最基本元素，所以首先从点开始介绍。

Ⅲ讲授新课

一、点的三面投影

1.投影的形成

图3-1 点的三面投影

a）立体图；b）投影图；c）去边框后的投影图

在三面投影体系中，有一个空间点A，由A分别向三个投影面V、H和W引垂线，垂足a’、a和a’即为A点的三面投影。如图3-1a)所示。

点的投影符号规定：空间点用大写字母表示，如A、B、C等；H面用相应的小写字母表示，如a、b、c等；V面用相应的小写字母加“’”表示，如a’、b’、c’等；W面用相应的小写字母加“’’”表示，如a’’、b’’、c’’等；

2.投影规律

（1）点的V面投影和H面投影的连线垂直于OX轴；点的V面投影和W面投影的连线垂直于OZ轴。即两投影的连线必垂直于相应的投影轴。

如图3-1a)所示，由投射线Aa’、Aa所构成的投射平面P(Aa’axa)与OX轴相交于ax点，因P⊥V、P⊥H，即P、V、H三面投影互相垂直，由立体几何可知，此三平面的交线必互

相垂直，即a’xa⊥OX，aax⊥OX，a’ax⊥aax，故P面为矩形。

当H面旋转至与V面重合时，ax不动，且aax⊥OX的关系不变，所以a’、ax、a三点共线，即a’a⊥OX轴。

同理，a'a"⊥OZ轴。

(2)点的投影至投影轴的距离，反映点至相应投影面的距离。如图3-1a)所示：

点的H面投影至OX轴的距离，等于其W面投影至OZ轴的距离(即宽相等)，即：aax=a’’az = Aa’；

点的V面投影至OZ轴的距离，等于其H面投影至OY轴的距离(即长对正)，即：a’az=aa y=Aa’’；

点的V面投影至OX轴的距离，等于其W面投影至OY轴的距离(即高平齐) ，即：A’ax= a’’ay= Aa。

aax=a’’az = Aa’，反映A点至V面的距离；

a’az=aa y=Aa’’，反映A点至W面的距离；

a’ax= a’’ay= Aa，反映A点至H面的距离。

此投影规律即“长对正、宽相等、高平齐”的根据所在。

为了能更直接地看到a和a’’之间的关系，经常用以O为圆心的圆弧把a YH和a YW联系起来(图3-1b)，也可以自O点作45°的辅助线来实现a和a’’的联系。

图3-2 已知点的两面投影求第三投影图3-3 投影面上的点

a）立体图；b）投影图根据此投影规律，只要已知点的任意两投影，即可求其第三投影。

例3-1 已知一点B的V、W面投影b’、b’’，求b(图3-2)。

解(1) 按第一条规律，过b’作垂线并与OX轴交于bx点。

(2) 按第二条规律在所作垂线上量取bxb = bzb’’得b点，即为所求。作图时，也可以借助于过O点作45°斜线Obo，因为Ob YH bob YW是正方形，所以Ob YH = Ob YW。

图3-4 投影轴上的点

a）立体图；b）投影图

3.投影面上点

投影面上的点，一个投影与空间点重合，另两个投影在相应的投影轴上。它们的投影仍完全符合上述两条基本投影规律。如图3-3所示，F点在V面上，M点在H面上，G点在W面上。

4.投影轴上的点

投影轴上的点，两个投影与空间点重合，另一个投影在原点上。如图3-4所示，A点在

OX轴上，B点在OZ轴上，C 点在OY轴上。

5.分角

设想将V面、H面和W面向后、向下、向右扩展而将整个空间划分为八个部分，称

为八个分角。

第一分角投影法是把物体放在投影面与观察者之间，其投影时的相对位置是：人→

物体→投影面。

第三角投影即把物体放在第三角进行正投影，这种方法假定投影面是透明的。投影

时人、物体、投影面的相对位置是：人→投影面→物体。

二、点的投影与坐标

把三投影面体系看作直角坐标系，则把三个投影面看作坐标面，投影轴看作坐标轴，则点到三个投影面距离，就是点的坐标。点A到W面的距离为X坐标；A点到V面的距离为Y坐标；A点到H面的距离为Z坐标。

点的每个投影反映两个坐标，点的三面投影与点的坐标关系为：

（1）A点的H面投影a 可反映该点的X和Y坐标；

（2）A点的V面投影a’可反映该点的X和Z坐标；

（3）A点的W面投影a’’可反映该点的Y和Z坐标。

例3-2：已知B(4，6，5) ，求作B点的三面投影。

分析：作此类题主要根据点的投影规律及坐标。

作图：方法步骤如图3-5所示。

图3-5 已知点的坐标求作点的三面投影

(1)作出三个投影轴及原点O，在OX轴上自O点向左量取4个单位，得到bx点(图a)；

(2)过bx点作OX轴的垂线，由bx向上量取Z=5单位，得V面投影b’，再向下量

取Y=6 单位，得H面投影b(图b)；

(3)过b’作线平行于OX轴并与OZ轴相交于bz，量取bzb’’= Y= bxb，得W面投影b’’，b、b’和b’’即为所求(图c)。

Ⅳ课堂总结

点的投影规律、点的三面投影与坐标的关系。

Ⅴ作业布置

1.习题集3-1至3-4。

2.点的投影规律是什么？