复杂网络度分布的研究

复杂网络度分布的研究 (1)

1. 复杂网络的研究对象........................................................................................ 1 2. 复杂网络的研究内容........................................................................................ 1 3. 复杂网络中的三个概念.................................................................................... 1 4. 复杂网络的几何量............................................................................................ 1 5. 社会网络与其它网络的判别指标.................................................................... 2 6. 随机网络－ER 模型 ......................................................................................... 2 7. 随机网络的研究宗旨........................................................................................ 2 8. 子图出现的临界概率........................................................................................ 3 9. 子图临界概率存在的证明................................................................................ 3 10. BA 模型与度的幂指分布 ................................................................................ 4 11. BA 模型构造的网络度符合幂指形式的证明 (4)

复杂网络度分布的研究

－ 复杂网络度分布的研究 河北工大硕士论文 陈德伟 指导教师：何文辰

1. 复杂网络的研究对象

用来描述真实网络统计特征的物理量主要有度分布、平均路径长度、聚集系数、相关系数等，都是力求更加详细、精确的描述复杂的真实网络。寻找网络各种宏观统计性质的微观生成机制一直都是网络研究中一项极具意义而且也是极具挑战性的工作。现在人们已经对复杂网络的小世界性质和无标度特征的微观生成机制有了一定的认识，但是度的相关性、团体性质、分层结构等更为复杂的宏观统计性质的微观生成机制的探索还处于起步阶段。对不同结构复杂网络的鲁棒性和脆弱性(vulnerability)的研究也是一个具有广泛应用价值的课题。

2. 复杂网络的研究内容

目前，复杂网络研究的内容主要包括：网络的几何性质，网络的形成机制，网络演化的统计规律，网络上的模型性质，以及网络的结构稳定性，网络的演化动力学机制等问题。

3. 复杂网络中的三个概念

三种概念在当代对复杂网络的思考中占有重要地位。第一，小世界概念；第二，集群即集聚系数的概念；第三，幂律的度分布概念。

4. 复杂网络的几何量

直径：网络的直径是指任意两个顶点之间最短路径的最长长度(包含的边数)。 集聚系数：对于网络中的任意一个节点i 来说，其集聚系数i C 表示与i 相连的节点中任意两点之间相互连接的概率。它可定义如下：如果与节点i 相连的点的数目为i k ，则在这i k 个节点之间最多存在2/)1(-k k 条边，而实际存在的可能只有i E 条边，则得到i 的集聚系数i C 为

)

1(2-=

i i i i k k E C .

对具有N 个节点的网络来说，网络的集团系数C 则被定义为网络中所有节点的集聚系数的平均值。

∑=

i

i

C

N

C 1.

随机图的度分布：令随机网络中度的平均值为>

!

)(k k e

k P k

k ><≈>

<-.

泊松分布的形式在)(>

5. 社会网络与其它网络的判别指标

两种相关性－不同度数的节点之间的相关性1C 、节点度分布与其集聚系数之间的相关性2C ，在判别中起重要作用。社会网络中1C 为正而2C 为负，其它类型的网络则相反。

6. 随机网络－ER 模型

Erdos 和Renyi 在1959年提出了随机网络ER 模型。ER 模型中有N 个标了号的节点，N 个节点中任意两个点被连接的概率为p 。因此，所有边的数目是一个随机变量，期望值为]2/)1([)(-=N N p n E 。如果0G 是一个有N 个节点和n 条边构成的图，则0G 出现的概率即为各边出现的概率，亦即

n

N N n

p p G P ---=]2/)1([0)

1()(.

7. 随机网络的研究宗旨

从10=N 个孤立的节点开始，分别取1.0=p 和15.0=p ，并以相同的概率连接每一对节点，从图中可看到树和圈等结构的出现。

随机图论研究具有N 个节点的随机图在∞→N 时概率空间的性质。随机图的大部分性质可用概率论的方法加以确定。Erdos 和Renyi 定义：当∞→N 时，如果拥有性质Q 的概率接近1，那么几乎每个随机图都存在性质Q 。随机图理论的目的就是确定在多大连接概率时网络的特殊结构(或性质)最容易体现出来。在