2020圆锥曲线最新总结与小题练习

B． 6 5
相交于 A, B 两点，则使得点 P 为弦 AB 中点的直线斜率为（ ）
C． 6 5
D． 3 5
【例 3】已知椭圆
直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为
M．证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值．
考点八 椭圆的焦点三角形 【例 1】已知 F1，F2 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
y≥a 或 y≤－a A1(0，－a)，A2(0，a) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
2c＝2 a2＋b2
离心率
e＝ac(e＞1)
渐近线方程
y＝±abx
y＝±bax
3.焦点三角形：双曲线上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2 叫做焦点三角形.r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2 的面积为 S，则在双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)中： S＝
2.椭圆的标准方程及几何性质
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
标准方程 范围 中心
ax22＋by22＝1(a＞b＞0) －a≤x≤a，－b≤y≤b
原点 O(0，0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
－a≤y≤a， －b≤x≤b
顶点 对称轴 焦点 焦距 离心率
通径长
A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
①弦长 l＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k12|y1－y2|；②直线 AB 的斜率 kAB＝ba22xy00.
8.过双曲线
上一点
( 为切点)的切线方程为：
考点一 双曲线的定义及标准方程 【例 1】已知方程
表示双曲线，求 m 的取值范围．
网]
【例 2】已知 F1、F2 分别是双曲线
A.1 或 17
8
5
3
4
【例 4】【双曲线定义】已知 F 为双曲线 C：x92－1y62 ＝1 的左焦点，P，Q 为 C 上的点.若 PQ 的 长等于虚轴长的 2 倍，点 A(5，0)在线段 PQ 上，则△PQF 的周长为____________.
【例 5】【交点与渐近线关系】已知双曲线 Γ：
的焦距为
2c ，直线 l : y kx kc ．若 k 3 ，则 l 与 Γ 的左、右两支各有一个交点；若
k 15 ，则 l 与 Γ 的右支有两个不同的交点，则 Γ 的离心率的取值范围为
A. 1, 2
B. 1, 4
C. 2, 4 D. 4,16
【例 6】已知双曲线 x 2 a2

y2 b2
1(a 0, b 0) 的左焦点为 F1，左、右顶点分别为 A1、
A2，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段 PF1，A1A2 为直径的两个圆的位置关系为 （）
F1(－c，0)，F2(c，0) e＝ac(0＜e＜1)
x 轴，y 轴 2c＝2 a2－b2
F1(0，－c)，F2(0，c)
过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为
3.焦半径：
4.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长 lmin＝2ab2，
5.焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2 叫做焦点三角形.r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2 的面积为 S，则在椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)中：
【例 1】椭圆
左右焦点分别为 ， 为椭圆 上任一点且
最大值取值范围是
，
其中
A．
2 2
,1
则椭圆离心率 e 的取值范围（
B．
3, 3
2
2

）
C．
3 3
,1
D．
1 3
,
1 2

【例 2】以椭圆
A．[ 2 ,1) 2
的左右焦点 ，为直径的圆若和椭圆有交点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
专题 椭圆
1.椭圆的定义
(1) 椭圆的定义：在平面内到两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦
点 ，两焦点间的距离叫做焦距．代数式形式：集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a|F1F2|=2c.
①若 a c ，则集合 P 为椭圆；②若 a c ，则集合 P 为线段；③若 a c ，则集合 P 为空集．
B.1 或 19
的左、右焦点，点在 P 该双曲线上， PF1 9 ，则 PF2 （ ）
C.17
D.19
【例 3】已知 0<θ<π4，则双曲线 C1：coxs22θ－siyn22θ＝1 与 C2：siyn22θ－sin2θxt2an2θ＝1 的(
)
A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等
D.离心率相等
于 M , N 两点，线段 MN 的中点为 P ，设直线 l 的斜率为 k1 ，直线 OP 的斜率为 k2 ，则 k1k2
（）
1
A．
2
B． 1 2
C．2
D．-2
x2 y2
【例 2】【中位线】已知双曲线 25
9
1 的左右焦点分别为 F1 ， F2 ，若双曲线左支上有一
点 M 到右焦点 F2 距离为18 ， N 为 MF2 的中点， O 为坐标原点，则 NO 等于（ ）
①当 r1＝r2 时，即点 P 的位置为短轴端点时，θ 最大；
②S＝b2tanθ2＝c|y0|，当|y0|＝b 时，即点 P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为 bc.
6.AB 为椭圆
的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则
①弦长 l＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k12|y1－y2|；②直线 AB 的斜率
【例 6】【三角形中位线】已知 是椭圆
点，若
则
上除顶点外的一点， 是椭圆的左焦
【例 7】设 A,B 是椭圆 x2 y2 1长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足 AMB 1200 ,则 m 的取值范围是__________. 3m
考点六 椭圆中的最值问题
【例 1】设 e 是椭圆
x2 k
2.双曲线的标准方程及几何性质
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
标准方程
ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)
ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)
范围 中心 顶点 对称轴 焦点
x≥a 或 x≤－a A1(－a，0)，A2(a，0) F1(－c，0)，F2(c，0)
原点 O(0，0) x 轴，y 轴
【例 4】【三角形中垂线】已知
是椭圆
的左、右焦点，若椭圆 上存在
点 P，使得线段 的中垂线恰好经过焦点 求椭圆离心率的取值范围
【例 5】【三角形中内切圆】椭圆
的左、右焦点分别为 F1，F2，过椭圆的右焦点 F2 作一条直线 l 交椭
圆于 P，Q 两点，则△F1PQ 的内切圆面积的最大值是________．
B．[ 2 , 3 ] C．[ 2 ,1) D．[ 3 ,1)
22
2
2
考点五 椭圆中的三角形性质
【例 1】【相似三角形相似】如图，设椭圆 E ：
的右顶点为 A ，右焦
点为 F ， B 为椭圆在第二象限上的点，直线 BO 交椭圆 E 于点 C ，若直线 BF 平分线段 AC
于 M ，则椭圆 E 的离心率是（ ）
7.过椭圆
上一点
的切线方程为：
考点一 椭圆的方程 【例 1】已知动圆 与圆
圆
都相内切，即圆心 的轨迹为曲线 ，求曲线 的方程
【例 2】已知圆 轨迹方程；
，点
， 是圆 E 上任意一点，线段 的垂直平分线和半径 相交于 ．求动点 的
考点二 椭圆的定义及其标准方程
【例 1】设 P 是椭圆x42＋y92＝1 的点，若 F1，F2 是椭圆的两个焦点，则
SMPF1 SMF1F2 SMPF2 成立，则 的值为（ ）
3
A．
2
1
2
B．
C．
D．2
2
2
【例 2】已知椭圆 C ： 在 C 上，则| AN | | BN |
，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A ， B ，线段 MN 的中点
．
考点四 椭圆的离心率的范围
A．相交 B．相切 C．相离
D．以上情况都有可能
【例 7】已知 F1，F2 为双曲线x52－y42＝1 的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点 A 在
双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为( )
2
A．
3
B．1 C． 2
D． 4
x2 y2
【例 3】【三角形内心半径】已知点 P 是双曲线 16
9
1右支上一点，F1, F2 分别为双曲
线的左、右焦点， I 为 PF1F2 的内心，若 SIPF1 SIPF2 SIF1F2 成立，则 的值
为（ ）
A． 5
B． 4
4
C.
D． 3
B． ( 2 ,1) 2
C．[ 3 ,1) 2
D． ( 3 ,1) 2
【例 3】 已知椭圆
上一点 关于原点 的对称点为 为其右焦点，若
设
且
则椭圆离心率的取值范围是
.
【例 4】已知椭圆
与圆
若在椭圆 上存在点 P，使得由点 P 所作的圆 的两条切线互相
垂直，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A．[1 ,1) 2
(1)求椭圆离心率的范围； (2)求证△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关.
考点九
椭圆的参数方程
x2 a2

y3 b2
x a cos

1,

y

b
sin

【例 1】椭圆
上的点到直线 x 2 y 2 0 的最大距离是（ ）
A． 3
B． 11
C． 2 2
D． 10
【例 2】直线
考点二 双曲线的方程
【例 1】已知圆
，圆
程；
，动圆 与圆
都外切，圆心 P 的轨迹为曲线 C．求曲线 C 的方
【例 2】已知点
，直线 与直线 相交于点 ，直线 与直线 的斜率分别记为 与 ，且
，求点 的轨迹 的方程；
考点三 双曲线综合小题
【例 1】【中点弦问题点差法】已知双曲线 y2 x2 1与不过原点 O 且不平行于坐标轴的直线 l 相交 2
A．4
B．8
C．6 D．18
等于（ ）
【例 2】已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆x32＋y2＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则 △ABC
的周长是________．
考点三 椭圆定义的应用
【例 1】已知点 是椭圆
上 一 点 ， F1, F2 分 别 为 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 ， M 为 PF1F2 的 内 心 ， 若
4.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)与实轴长 最短，弦长
5.等轴双曲线的离心率与渐近线关系：双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的 e＝ 2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6.双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 b 7.AB 为双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则

y2 4

1
的离心率，且
e


1 2
,1
，则实数
k
Байду номын сангаас
的取值范围是
A. 0,3
B.

3,
16 3

C. 0, 2
D.

0,
3


16 3
,


【例 2】求 A(0，2)到椭圆x42＋y2＝1 上的动点的距离的最大值和最小值.
【例 3】设 P, Q 分别为 A. 5 2 B. 46 2
与椭圆
于 3，则这样的点 P 共有（ ）
A．1 个
B．2 个
相交于 A，B 两点，该椭圆上存在点 P，使得△ PAB 的面积等
C．3 个
D．4 个
专 题 双曲线
1.双曲线的定义:平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a(2a＜|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线(习惯上称为第一定义). 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
1
A．
2
2
B．
3
1
C．
3
1
D．
4
【例 2】【三角形角平分线】设椭圆
， F1,F2 为两焦点， P 是 E 上除长轴端点外的
任一点， F1PF2 的角平分线 PM 交长轴于 M (m, 0) ，求 m 的取值范围.
【例 3】【三角形重心】已知 是椭圆 点，直线 与椭圆交于不同的 两点，且 是
的右焦点， 是椭圆与 轴正半轴的交 的重心，求椭圆离心率的取值范围.
和椭圆
C. 7 2
上的点，则 P, Q 两点间的最大距离是（ ） D. 6 2
【例 4】已知 F 是椭圆
的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，求|PA|＋|PF|的最大值和最小值.
考点七 椭圆中的中点弦问题
【例 1】已知直线 l 过点 P 3, 2 且与椭圆
A． 3 5