高三数学上学期期末考试试题理

2019届高三数学上学期期末考试试题理
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}1,0,1M =-，{}
2,N x x a a M ==∈，则集合=⋃N M （ ） A.{}1,0,1-
B. {}2,0,2-
C. {}0
D.
{}2,1,0,1,2--
2.已知某公司按照工作年限发放年终奖金并且进行年终表彰.若该公司有工作10年以上的员工100人，工
作5~10年的员工400人，工作0~5年的员工200人，现按照工作年限进行分层抽样，在公司的所有员工
中抽取28人作为员工代表上台接受表彰，则工作5~10年的员工代表有（ ） A ．8人
B ．16人
C ．4人
D ．24人
3.在ABC ∆中，,1CA CB CA CB ⊥==，D 为AB 的中点，将向量CD 绕点C 按逆时针方向旋转90得向量CM ，则向量CM 在向量CA 方向上的投影为（ ）
A.1-
B.1
C.12-
D.1
2
4.已知复数(2i)i 5i(,)m n m n -=+∈R ，则复数i
1i
m n z +=-的共轭复数z 虚部为（ ） A ．
3
2
B ．32-
C ．72
D ．72
- 5.设,x y 满足约束条件330
280440x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪+-≥⎩
，则3z x y =+的最大值是（ ）
A ．9
B ．8 C. 3 D ．4 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 2π
B. 3π
C. 5π
D. 7π
7.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州（现四川省安岳县）人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图,给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入x 的值为2,则输出v 的值为（ ）
A. 621-
B. 62
C. 631-
D. 6
3
8.若2
0π<
<x ，则1tan <x x 是1sin <x x 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9.如图，在由0x =， 0y =， 2
x π
=
，及cos y x =围成区域内任取一点，则该点落在0x =，
sin y x =及cos y x =围成的区域内（阴影部分）的概率为（ ）
A. 212-
B. 21
2
- C. 322- D. 21- 10．在三棱锥S ABC -中，2AB BC ==， 2SA SC AC === ,二面角
S AC B --的余弦值是 3
3
，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ） A. 3
2
π B. 2π C. 6π D. 6π
11.已知函数ln ,0
()ln(),0mx x x f x mx x x ->⎧=⎨+-<⎩
.若函数()f x 有两个极值点12,x x ，记过点
11(,())A x f x 和22(,())B x f x 的直线斜率为k ，若02k e <≤，则实数m 的取值范围为
（ ）
A.1(,2]e
B.1(,]e e
C.(,2]e e
D.
1
(2,]
e e + 12.已知抛物线C ：()022
>=p py x 的焦点到准线的距离为2，直线1+=kx y 与抛物线C
交于N M 、两点，若存在点()1,0-x Q 使得QMN ∆为等边三角形，则=MN （ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知菱形ABCD 中，2=CD ，0
60=∠ABC ，分别以A 、B 、C 、D 为圆心，1
为半径作圆，得到的图形如下图所示，若往菱形内投掷10000个点，则落在阴影部分内的点约有________________个.（
3
取1.8） 14.设⎰-
=22
cos π
πxdx a ，则4
21⎪⎭⎫
⎝⎛++x a x 的展开式中常数项为_________.
15.已知数列{}n a 的首项21=a ，方程23cos sin 12019
-=-⋅+⋅+n n a x a x x
有唯一实根，则数列{}n a 的前n 项和为_________.
16.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1:2
2
=+y x O ，直线a x y l +=:，过直线l 上点P
作圆O 的切线PB PA ,，切点分别为B A ,，若存在点P 使得→
→
→
=+PO PB PA 2
3，则实数
a 的取值范围是 .
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）已知ABC △中，2BC =，45B =︒，(01)AD AB λλ=<<.
（I ）若1=∆BCD S ，求CD 的长；（II ）若30A =︒，3
1=
λ，求sin sin ACD
DCB ∠∠的值．
18.(本小题满分12分)如图所示，四棱锥A BCDE -，已知平面BCDE ⊥平面
ABC ，BE EC ⊥，6BC =，3AB =30ABC ∠=︒.
（I ）求证：AC BE ⊥；
（II ）若二面角B AC E --为45︒，求直线AB 与平面ACE 所成角的正弦值.
19. (本小题满分12分)已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>的右焦点F 与抛物线2
8y x =的焦
6x 轴正半轴一点(),0m 且斜率为3l 交椭圆于,A B 两点.
（I ）求椭圆的标准方程；
（II ）是否存在实数m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，若存在，求出实数m 的值；若
不存在说明理由.
20.（本小题满分12分）大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如下表所示：
并邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表所示：
喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计
表（1） 表（2）
（I ）将表（1）补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？
（II ）现从表（2）中成功完成时间在[0，10)内的10名男生中任意抽取3人对他们的盲拧情况进行视频记录，记成功完成时间在[0，10)内的甲、乙、丙3人中被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X .
n a b c d =+++.
21.（本小题满分12分）已知函数)(1ln )(R a x ax x f ∈--=. （I ）求)(x f 的单调区间；
（II ）若0=a ，令2
2
3)1()(+++
+=x x tx f x g ，若1x ，2x 是)(x g 的两个极值点，且0)()(21>+x g x g ，求正实数t 的取值范围.
选做题（本小题满分10分）：（以下两道选做题任选一道，若两道都做按第一道给分） 22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为5cos sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=⎩，（t 为参数，α为直线倾斜
角）.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.
（Ⅰ）当45α=时，求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点C 的直角坐标为(2,0)C ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，当ABC ∆面积最大时，求直线l 的普通方程. 23.
已知函数
()|2| f x x
=-
（I）解不等式：
()(1)2
f x f x
++≤；（II）若0
a<，求证：()(2)()
f ax f a af x
-≥.
临川一中xx 上学期期末考试答案
一、选择题
二、填空题
13.1000 14. 2
23
15. 2123-+n n 16.]22,22[-
三、解答题
17.解：（Ⅰ）由212
2
45sin 210=⇒==⋅⋅=
∆BD BD BD BC S BCD 在BCD ∆中，由余弦定理可得
2242445cos 20222=⇒=-+=⋅⋅-+=CD BD BC BD BC CD ……………6分
（II ）由AD BD AB AD 23
1=⇒=→
→
，在ADC ∆中，由正弦定理可知
CD
AD
CD A AD ACD ACD AD A CD 2sin sin sin sin =
⋅=∠⇒∠= 在BDC ∆中，由正弦定理可知
CD
BD
CD B BD BCD BCD BD B CD 22sin sin sin sin =⋅=∠⇒∠= 故422
212222sin sin ====∠∠BD AD CD
BD CD AD
BCD ACD ……………12分 18. 解（Ⅰ）ABC ∆中，应用余弦定理得222cos 2AB BC AC ABC AB BC
+-
∠=
= 解得AC =222
AC BC AB +=，所以AC BC ⊥.
因为平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE 平面ABC BC =，BC AC ⊥，
所以AC ⊥平面BCDE ，又因为BE ⊂平面BCDE ，所以AC BE ⊥. ……………6分 （2）由（1）AC ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ， 所以AC CE ⊥.又因为BC AC ⊥，平面ACE
平面ABC AC =，
所以BCE ∠是平面EAC 与平面BAC 所成的二面角的平面角，即45BCE ∠=︒. 因为BE EC ⊥，AC BE ⊥，所以BE ⊥平面ACE .所以BAE ∠是AB 与平面ACE 所成的角
.因为在Rt ACE ∆中，sin 45BE BC =︒=
所以在Rt BAE ∆
中，sin 4
BE BAE AB ∠=
=. ……………12分 19.解：(Ⅰ)（1）抛物线2
8y x =的焦点是()2,0()2,0F ∴，2c =∴，又
椭圆的离心
率为
3
3
c a
=
a =∴，26a =，则2222
b a
c =-= 故椭圆的方程为22
162
x y +=. ……………4分 （2）由题意得直线l
的方程为()()03
y x m m =-
->
由()22
1623x y y x m
⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
消去y 得22
2260x mx m -+-=. 由()
224860m m ∆=-->
，解得m <-<又0m >
，0m <<∴设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x m +=，2126
2
m x x -=
.
))()2
1212121213
33m m y y x m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤=-•-=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴.
()112,FA x y =-，()222,FB x y =-，
()()()()2
1212121223462243333
m m m m FA FB x x y y x x x x -+•=--+=-+++=
∴ 若存在m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，则必有0FA FB •=，即
()
2303
m m -=，
解得0,3m =.
又0m <<3m =∴.
即存在3m =使以线段AB 为直径的圆经过点. ……………12分
由
表中数据可得
024.5223.518
32203097-1123502
2
>=⨯⨯⨯⨯⨯=K ）（，故能在
犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢盲拧与性别有关。

……………4分
（II ）依题意可得：X 的可能取值为3,2,1,0，则()247310370===C C P X ，()4021
3
1013271=⋅==C C C P X ()40731023172=⋅==C C C P X ，()120
1
3
103
33===C C P X ； 故X 的分布列为
则 ()10
1203402401240=⨯+⨯+⨯+⨯
=X E ……………12分 21.解：（Ⅰ）由1ln )(--=x ax x f ，()+∞∈,0x ，则()x
ax x a x f 1
1-=-=' ………2分
当0≤a 时，则()0≤'x f ，故)(x f 在()+∞,0上单调递减； 当0>a 时，令()a x x f 10=⇒='，所以)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0上单调递减，在⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,1a 上单调递增；
综上所述：当0≤a 时，)(x f 在()+∞,0上单调递减； 当0>a 时，)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛
a 1,
0上单调递减，在⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,1a 上单调递增。

………5分 （Ⅱ）()1ln 2
2223)1()(+-+=+++
+=tx x x
x x tx f x g ， 故()()()()()
12141242
22++-+-=+-+='tx x t tx tx t x x g ，当1≥t 时，()0≤'x g 恒成立，故()x g 在()+∞,0上单调递减，不成立，故10<<t 。

令()0='x g ，得t
t
x t t x -=--=
12,1221，又()x g 有两个极值点；故()0='x g 有两个根。

故
t t t 112
->--且⇒-≠--212t t 12
1
210<<<<t t 或； 且1x 为极小值点，2x 为极大值点。

故
()()()()()()[]
1ln 4
241ln 221ln 222121221212
122211121+++-+++=+-+++-+=
+x x t x x t x x x x x x tx x x tx x x x g x g ()()()2
212ln 1
22212ln 1214----=----=
t t t t t ………8分 令12-=t u ，由12
1
210<<<<t t 或得()()1,00,1⋃-∈u
令()2
ln 22u u
u h --=，()()1,00,1⋃-∈u
当()0,1-∈u 时，()()()02
2ln 2222>-='⇒---=u u u h u u u h ，则()u h 在()0,1-上单调
递增，故()()041>=->h u h ，则⎪⎭
⎫ ⎝⎛
∈21,0t 时0)()(21>+x g x g 成立； 当()1,0∈u 时，()()02
2ln 2222>-='⇒--
=u
u u h u u u h ，则()u h 在()1,0上单调递增，故()()01=<h u h ，则⎪⎭
⎫
⎝⎛∈121，t 时0)()(21<+x g x g ； 综上所述：⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈21,0t ……………12分
22.解：（Ⅰ）当45α=时，直线l
的参数方程为522
x y ⎧=+
⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩，
消去t 得直线l 的普通方程为50x y --=. ……………………2分 曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=，两边乘以ρ为2
4cos ρρθ=，由cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩得：
2240x y x +-=，
所以曲线C 的直角坐标方程为2
2
40x y x +-=. ……………………5分 （Ⅱ）曲线C 是以(2,0)C 为圆心，2为半径的圆，
1
||||sin 2sin 2
ABC S CA CB ACB ACB ∆=
∠=∠. ……………………7分
当90ACB ∠=时面积最大.此时点C 到直线:(5)l y k x =-的距离为，所以
=
，解得：7
k =±
， ……………………9分
所以直线l 的普通方程为5)y x =-. ……………………10分 23.解：（I ）由题意，得()(1)|1||2|f x f x x x ++=-+-， 因此只须解不等式|1||2|2x x -+-≤ ……………………1分
当x≤1时，原不式等价于-2x+3≤2，即1
12
x ≤≤； 当12x <≤时，原不式等价于1≤2，即12x <≤；
当x>2时，原不式等价于2x-3≤2，即5
22
x <≤.
综上,原不等式的解集为1
5|2
2x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. ……………………5 分
（II ）由题意得()()22f ax af x ax a x -=---
=2222ax a ax ax a ax -+-≥-+-
22(2).a f a =-=
所以()(2)()f ax f a af x -≥成立． ……………………10分
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