椭圆轨迹方程

椭圆轨迹方程

解析几何中对圆锥曲线轨迹方程的考查较为普遍，笔者在教学中对其考查作了进一步探索，其考查基本上都是从椭圆的怎么产生来命题，圆锥曲线最基本来源是从圆锥中截取的，基本来源考查不多，笔者对圆锥曲线中椭圆的考查作以下探索.

一.待定系数法考查轨迹方程

例1.(08年江苏)已知三点P(5,2),11(6,0),(6,0)F F -,求以12,F F 为焦点且过

P 点椭圆的标准方程.

解:设椭圆方程为22

221x y a b

+=,由已知,226,3c a b b =∴=+ (1) 又P 点在椭圆上,故22

2541a b += (2) 由(1)、（2）得：2245,9a b ==. 故椭圆方程为22

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x y += 例 2.已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与圆2254202

x y x y +--+=交于,A B 两点, AB 恰是该圆的直径,是AB 的斜率为12

-,求此椭圆方程. 解:设椭圆方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>,1122(,),(,)A x y B x y . 圆的方程可化为22(2)(1)1x y -+-=,圆心(2,1),直径|AB

则121214,2,2

AB x x y y k +=+==-又 21211,2

y y x x -∴=--而,A B 在椭圆上,故有 2222112222221,1,x y x y a b a b

+=+=相减得: 2

121221212()()1()()4

y y y y b a x x x x +-=-=+- 224a b ∴=

故椭圆方程可化为222

440x y b +-=.

AB 的方程为111(2)222

y x y x -=--=-+即 代入椭圆方程得:22

4820x x b -+-= 212124,82x x x x b ∴+==-

由122221212|||

1510[1()][()4][164(82)]24

AB x x x x x x b =-∴=+-⋅+-=-- 得23b =

212a ∴= 故所求椭圆方程为22

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x y += 评析: 待定系数法求轨迹方程是高考的一热点.题目可以具有较高的综合性,对于直线和曲线的位置关系有关的问题中,常用”点差法”及韦达定理简化运算.

二.由椭圆第一定义考查轨迹方程

例3.①已知ABC ∆,A(3,0),B(-3,0),且三边长|AC|、|AB|、|BC|依次成等差数列，求顶点C 的轨迹方程.

②如图,已知圆B ：(x+1)2+y 2=16及点A(1,0),C 为圆B 上任意一点，求线段AC 的垂直平分l

与线段CB 的交点P 的轨迹方程.

③一动圆与圆x 2+y 2+6x+5=0外切，同时与圆x 2+y 2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程.

解①:由题意,||||2||12AC BC AB +==

故C 点的轨迹为以A,B 为焦点,长轴长

为12cm 的椭圆. 222212,26,

36927

a c

b a

c ∴==∴=-=-= 故所求轨迹方程为221(0)3627

x y y +=≠