《工程电磁场》 第二章 静电场(二)PPT课件

或
S
n S
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当每个导体上的电位φi 给定时（即给出了V’所 有边界上的φ或∂φ/∂n值），由唯一性定理可知，
V’内的电场唯一地被确定。
对于有导体存在时的第二种类型的问题，可以证 明，唯一性定理表述如下：设区域V内有一些导体， 给定导体之外的电介质分布和自由电荷分布，给
n
Qi
(这里的法向指导体表面的外法向)
和等势面条件：
Si
i
常量
以及在V的边界S上具有给定的φ|S或(∂φ/∂n)|S值。 8
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静电场唯一性定理的简明表述：
若区域V内给定电介质分布和自由电荷分布ρ( x ) ，
在V的边界S上给定
（i）电位 S ,
或
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（ii）电位的法向方向导数 n S ,
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二、有导体存在时的唯一性定理
当有导体存在时，由实践经
验我们知道，为了确定电场，所
需要条件有两种类型：一类是给
定每个导体上的电位i ；另一类
是给定每个导体上的总自由电量
Qi。 如图，设在某区域V内有一些导体，扣除导体外
表面内所围区域以后剩下的区域为V’。设V’内给定
电介质分布、给定自由电荷分布ρ，S上给定了
采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程、 边值关系和给定边界条件，则该解就是唯一的 正确解。因此对于许多具有对称性的问题，可 以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是通 过提出尝试解，然后验证是否满足泊松方程、 边值关系和边界条件。满足即为唯一解，若不 满足，可以加以修改。
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一、静电问题的唯一性定理 下面研究可以均匀分区的区域V，即V可以分为若
干个均V内匀有区给域定Vi，的每自一由均电匀荷区分域布的(电x) 容。率为εi 。 可以证明 若给定V 的边界S上 第一类边值问题
（i）电位 （S “狄利赫希”边界条件）
或（ii）电位的法向导数 （“诺伊曼”边界条件）
唯一性定理的应用——等位面法 根据唯一性定理，若沿 场的等位面的任意一侧，填充导电媒质，则等位面另一 侧的电场保持不变。如图2-4为两平行输电线的电场，若 沿场中任一等位面k的一侧(这里我们沿其内侧)填充导电 媒质(见图2-5),则导电媒质以外的另一侧,其电场不变。
图2-4 两平行输电线的电场
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图2-5 沿场的等位面一侧， 填充导电媒质后的电场 13
因为这样处理之后：
1.它保持了另一侧场的边界形状及介质分布不变,且对另
一侧场而言,边界仍为等位面。填充导电媒质后,边界上
的总自由电荷量等于填充导电媒质前边界上所穿过的总
电位移通量,即 D dS
dS
n
,亦即边界条件没有变化。
2.它保持了另一侧场的自由电荷分布不变。
因而根据唯一性定理，另一侧的场没有变化。由于这一
方法是沿等位面填充导电介质，因而称之为等位面法。
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例2-1 静电场唯一性定理在解释静 电屏蔽现象中的应用。
解 在物理学中，已知静电屏蔽现象： (1)接地的封闭导体壳内的电荷不影 响壳外的电场；(2)封闭导体壳无论 是否接地，壳内的电场都不受壳外电 荷的影响。作为唯一性定理的应用， 我们来讨论上述结论。
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§2-1 静电场的唯一性定理及其应用
处理静电问题总是根据一定条件去解泊松方程。 静电学中许多问题都涉及到有限空间区域，在 区域内可以有电荷，也可以没有电荷，但都具 有确定的边界条件。现在有这样一个问题：要 使区域内存在唯一的、合理的解，问适合泊松 方程的边界条件是什么？唯一性定理回答了这 个问题。
n S
或混合边界条件， 则V内的电场唯一地确定。
第二类边值问题
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也就是说，在V内存在唯一的解 ，它在每个均匀区
域Vi内满足泊松方程 2 / i ,
在两均匀区域分界面上满足边值关系
i j ,
i
i
n
ij
j
j
n
ij
,
并在V的边界S上满足给定的 S 或
n S
值。
2、如果V的边界面上、内部以及内部的导体上没 有一处给定电位，那么V内的电场强度唯一地确定，
但电位φ不能完全确定，可以相差一个常量。
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唯一性定理还有特殊情形的表述：
若区域V内给定电介质分布和自由电荷分布ρ( x ), 而V的边界面S是一个等位面，那么V内的电场唯一 地确定。
如果V的边界等位面S的电位给定，那么V内的电场 强度和电位都唯一地确定；如果V的边界等位面S 的电位没有给定，那么V内的电场强度唯一地确定， 但电位不能完全确定， 可以相差一个常量。 这个唯一性定理的表述可以用来解释静电屏蔽现 象。
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三、唯一性定理的意义
1. 唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电 2. 场强度指明了方向。 2. 更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论
定各导体上的总自由电量Qi以及V的边界S上的φ
或∂φ/∂n 值，则V’内的电场唯一地确定。
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也就是说，存在唯一的解，它在导体以外满足泊松
方程
2
在两均匀区域分界面上满 i足边值关系
i j ,
i
i
n
ij
j
j
n
ij
,
在第i个导体上满足总自由电荷条件：
Si
dS
若区域内有导体存在，还要给定各导体的电位或各
导体所带的自由电量,则V内的电场唯一地确定。
注：对于空心的导体，前面所说的给定导体所带的
自由电量应改为给定导体的外表面所带的自由电量。
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补充说明：
在上述前提条件下：
1、如果V内有闭合的等位面，或者有不闭合的等 位面和不被电位移线穿过的曲面组成的闭合曲面， 并且这个闭合曲面内（包括闭合曲面上）的总自 由电量给定，或者电位移穿出这个闭合曲面或者 它外面无限贴近它的闭合曲面的通量给定，那么V 内扣除这个闭合曲面内所围空间后剩余区域V′内 的电场唯一地确定。
第二章 静 电 场(二)
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§2-1 静电场的唯一性定理及其应用 §2-2 平行双电轴法 §2-3 无限大导电平面的镜像法 §2-4 球形导体面的镜像 §2-5 无限大介质交界平面的镜像 §2-6 电容与电容的计算 §2-7 双输电线的电容 §2-8 多导体系统的部分电容 §2-9 带电导体系统的电场能量及其分布 §2-10 虚位移法计算电场力