大学物理静电场中的导体和电介质习题答案

第13章 静电场中的导体
和电介质
P70．
13．1 一带电量为q ，半径为r A 的金
属球A ，与一原先不带电、内外半径分别为r B 和r C 的金属球壳B 同心放置，如图所示，则图中P 点的电场强度如何？若用导线将
A 和
B 连接起来，则A 球的电势为多少？（设无穷远处电势为零）
[解答]过P 点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q ．根据高斯定理可得 E 4πr 2 = q /ε0， 可得P 点的电场强度为
2
04q E r
πε=
．
当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q 时，外侧将出现同种电荷q ．用导线将A 和B 连接起来后，正负电荷将中和．A 球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A 球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是r c ，所以A 球的电势为
04c
q U r πε=
．
13．2 同轴电缆是由半径为R 1的导体圆柱和半径为R 2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常数为εr 的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别为+λ和-λ，则通过介质内长为l ，半径为r 的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的场强为多少？
[解答]介质中的
电场强度和电位移是轴对称分布的．在
内外半径之间作一个半径为r 、长为l 的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通过等于该面
包含的自由电荷，即 Φd = q = λl ．
设高斯面的侧面为S 0，上下两底面分别为S 1和S 2．通过高斯面的电位移通量为
d d S
Φ=
⋅⎰
D S
1
2
d d d 2S S S rlD π=⋅+⋅+⋅=⎰⎰⎰D S D S D S ，
可得电位移为 D = λ/2πr ， 其方向垂直中心轴向外．
电场强度为 E = D/ε0εr = λ/2πε0εr r ， 方向也垂直中心轴向外．
13．3 金属
球壳原来带有电量Q ，壳内外半径分别为a 、b ，壳内距球心为r 处有一点电
荷q ，求球心o 的电
势为多少？
[解答]点电荷q 在内壳上感应出负电荷-q ，不论电荷如何分布，距离球心都为a ．外壳上就有电荷q+Q ，距离球为b ．球心的电势是所有电荷产生的电势叠加，大小为
0001
11444o q q Q q
U r a b
πεπεπε-+=
++
13．4 三块平行金属板A 、B 和C ，面积都是S = 100cm 2，A 、B 相距d 1 = 2mm ，A 、C 相距d 2 = 4mm ，B 、C 接地，A 板带有正电荷q = 3×10-8C ，
忽略边缘效应．求
（1）B 、C 板上的电荷为多少？
图
14.3
图14.4
（2）A板电势为多少？
[解答](1)设A的左右两面的电荷面密度分别为σ1和σ2，所带电量分别为
q1 = σ1S和q2 = σ2S，
在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2，由电荷守恒得方程
q = q1 + q2 = σ1S + σ2S．①
A、B间的场强为E1 = σ1/ε0，
A、C间的场强为E2 = σ2/ε0．
设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等，设为ΔU，则
ΔU = E1d1 = E2d2，②
即σ1d1 = σ2d2．③解联立方程①和③得
σ1 = qd2/S(d1 + d2)，
所以q1 = σ1S = qd2/(d1+d2) = 2×10-8(C)；
q2 = q - q1 = 1×10-8(C)．
B、C板上的电荷分别为
q B= -q1 = -2×10-8(C)；
q C= -q2 = -1×10-8(C)．
(2)两板电势差为
ΔU = E1d1 = σ1d1/ε0 = qd1d2/ε0S(d1+d2)，由于k = 9×109 = 1/4πε0，
所以ε0 = 10-9/36π，
因此ΔU = 144π= 452.4(V)．
由于B板和C板的电势为零，所以
U A = ΔU = 452.4(V)．
13．5 一无限大均匀带电平面A，带电量为q，在它的附近放一块与A平行的金属导体板B，板B有一定的厚度，如图所示．则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少？
[解答]由于板B原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得
q1 + q2 = 0．①虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为S，则面电荷密度分别为
σ1 = q1/S、σ2 = q2/S、σ = q/S，
它们产生的场强大小分别为
E1 = σ1/ε0、E2 = σ2/ε0、E = σ/ε0．在B板内部任取一点P，其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A板产生的场强向左，取向右的方向
为正，可得
E1 - E2–E = 0，
即σ1 - σ2–σ= 0，
或者说q1 - q2 + q = 0．②
解得电量分别为
q2 = q/2，q1 = -q2 = -q/2．
13．6 两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为
120V，两板间相距为
1.2mm，忽略边缘效应，
求每一个金属板表面的
电荷密度各为多少？
[解答]由于左板接
地，所以σ1 = 0．
由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以σ4 = 0．
由于两板带等量异号的电荷，所以
σ2 = -σ3．
两板之间的场强为
E = σ3/ε0，
而 E = U/d，
所以面电荷密度分别为
σ3 = ε0E = ε0U/d = 8.84×10-7(C·m-2)，
σ2 = -σ3 = -8.84×10-7(C·m-2)．
13．7 一球形电容器，内外球壳半径分别为R1和R2，球壳与地面及其他物体相距很远．将内球用细导线接地．试证：球面间
电容可用公式
2
02
21
4R
C
R R
πε
=
-
表示．
（提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径R>>R2）
[证明]方法
一：并联电容法．在
外球外面再接一个
半径为R3大外球
壳，外壳也接地．内
球壳和外球壳之间
是一个电容器，电
容为
P
2
图14.5
图14.6
1210
01221
1
441/1/R R C R R R R πεπε==--
外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电
容为
20
23
1
41/1/C R R πε=-．
外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联．当R 3趋于无穷大时，C 2 = 4πε0R 2．并联电容为
12
120
0221
44R R C C C R R R πεπε=+=+-
2
02
21
4R R R πε=
-． 方法二：电容定义法．假设外壳带正电为q ，则内壳将感应电荷q`．内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果．由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为
02
01
`044q q R R πεπε+
=，
因此感应电荷为
1
2
`R q q R =-
． 根据高斯定理可得两球壳之间的场强为
122
002`44R q q E r R r
πεπε=
=-， 负号表示场强方向由外球壳指向内球壳．
取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为
1
1
2
2
d d R R R R U E r =
⋅=⎰⎰E l
1
2
12
02()d 4R R R q
r R r
πε=
-
⎰ 1212
021202
()11
()44R q R R q R R R R πεπε-=
-= 球面间的电容为
2
02
21
4R q C U R R πε==
-．
13．8 球形电容器的内、外半径分别为R 1和R 2，其间一半充满相对介电常量为εr 的均匀电介质，求电容C 为多少？
[解答]球形电容器的电容为
120
01221
1
441/1/R R C R R R R πεπε==--．
对于半球来说，由于相对面积减少了一
半，所以电容也减少一半：
012
121
2R R C R R πε=
-．
当电容器中充满介质时，电容为：
012
221
2r R R C R R πεε=
-．
由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联：
012
1221
2(1)r R R C C C R R πεε+=+=
-．
13．9 设板面积为S 的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别为ε1和ε2，厚度分别为d 1和d 2，求电容器的电容．
[解答]假设在
两介质的介面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电
容分别为
C 1 = ε1S/d 1和C 2 = ε2S/d 2． 总电容的倒数为
122112*********
d d d d C C C S S S
εεεεεε+=+=+=， 总电容为 122112
S
C d d εεεε=+．
13．10 圆柱形电容器是由半径为R 1的导线和与它同轴的内半径为R 2的导体圆筒构成的，其长为l ，其间充满了介电常量为ε的介质．设沿轴线单位长度导线上的电荷为λ，圆筒的电荷为-λ，略去边缘效应．求：
（1）两极的电势差U ；
（2）介质中的电场强度E 、电位移D ； （3）电容C ，它是真空时电容的多少倍？
[解答]介质中
的电场强度和电位移是轴对称分布
的．在内外半径之
间作一个半径为r 、
长为l 的圆柱形高
斯面，侧面为S 0，上下两底面分别为
S 1和S 2．通过高斯面的电位移通量为
d d S
Φ=
⋅⎰
D S
1
2
d d d 2S S S rlD π=⋅+⋅+⋅=⎰⎰⎰D S D S D S ，
高斯面包围的自由电荷为 q = λl ， 根据介质中的高斯定理 Φd = q ， 可得电位为 D = λ/2πr ， 方向垂直中心轴向外．
电场强度为 E = D/ε = λ/2πεr ， 方向也垂直中心轴向外．
取一条电力线为积分路径，电势差为
2
1
d d d 2R L
L
R U E r r r λπε=⋅==
⎰⎰⎰E l 21
ln 2R R λ
πε=
． 电容为 212ln(/)
q l
C U R R πε=
=
． 在真空时的电容为
00212ln(/)
l q C U R R πε=
=， 所以倍数为C/C 0 = ε/ε0．
13．11 在半径为R 1的金属球外还有一层半径为R 2的均匀介质，相对介电常量为εr ．设金属球带电Q 0，求：
（1）介质层内、外D 、E 、P 的分布； （2）介质层内、外表面的极化电荷面密度．
[解答]（1）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r 的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为
2d d 4d S
S
D S r D Φπ=
⋅=
=⎰
⎰
D S
高斯面包围的自由电荷为q = Q 0， 根据介质中的高斯定理 Φd = q ， 可得电位为 D = Q 0/4πr 2， 方向沿着径向．用矢量表示为
D = Q 0r /4πr 3．
电场强度为
E = D /ε0εr = Q 0r /4πε0εr r 3， 方向沿着径向．
由于 D = ε0E + P ， 所以 P = D - ε0E = 03
1
(1)
4r
Q r
επ-
r
． 在介质之外是真空，真空可当作介电常
量εr = 1的介质处理，所以
D = Q 0r /4πr 3，
E = Q 0r /4πε0r 3，P = 0． （2）在介质层内靠近金属球处，自由电荷Q 0产生的场为
E 0 = Q 0r /4πε0r 3；
极化电荷q 1`产生的场强为
E` = q 1`r /4πε0r 3；
总场强为 E = Q 0r /4πε0εr r 3． 由于 E = E 0 + E `，
解得极化电荷为 `101(1)r
q Q ε=-，
介质层内表面的极化电荷面密度为
`
`011
22111
(1)
44r Q q R R σπεπ==-． 在介质层外表面，极化电荷为
``21q q =-，
面密度为
``0
22
22
221(1)44r Q q R R σπεπ==-．
13．12 两个电容器电容之比C 1:C 2 = 1:2，把它们串联后接电源上充电，它们的静电能量之比为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们的静电能之比又是多少？
[解答]两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式W = Q 2/2C ，得静电能之比为
W 1:W 2 = C 2:C 1 = 2:1． 两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W = CU 2/2，得静电能之比为
W 1:W 2 = C 1:C 2 = 1:2． 13．13 一平行板电容器板面积为S ，板间距离为d ，接在电源上维持其电压为U ．将一块厚度为d 相对介电常量为εr 的均匀介电质板插入电容器的一半空间内，求电容器的静电能为多少？
[解答]平行板电容器的电容为
C = ε0S/d ，
当面积减少一半时，电容为C 1 = ε0S /2d ； 另一半插入电介质时，电容为C 2 = ε0εr S /2d ．
两个电容器并联，总电容为
C = C 1 + C 2 = (1 + εr )ε0S /2d ，
静电能为
W = CU 2/2 = (1 + εr )ε0SU 2/4d ． 13．14 一平行板电容器板面积为S ，板间距离为d ，两板竖直放着．若电容器两板
充电到电压为U 时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为εr 的液体中．求：
（1）电容器的电容C ；
（2）浸入液体后电容器的静电能； （3）极板上的自由电荷面密度．
[解答]（1）如前所述，两电容器并联的电容为
C = (1 + εr )ε0S /2d ． （2）电容器充电前的电容为C 0 = ε0S/d ， 充电后所带电量为 Q = C 0U ． 当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为
W = Q 2/2C = C 02U 2/2C = ε0SU 2/(1 + εr )d ． （3）电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为 C 1 = ε0S /2d ；
介质中的一半的电容为 C 2 = ε0εr S /2d ． 设两半的所带自由电荷分别为Q 1和Q 2，则
Q 1 + Q 2 = Q ． ① 由于C = Q/U ，所以
U = Q 1/C 1 = Q 2/C 2． ② 解联立方程得
0111221
1/C U C Q
Q C C C C =
=
++， 真空中一半电容器的自由电荷面密度为
001
12122/2(1/)(1)r C U U Q S C C S d
εσε=
==
++． 同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为
0021222(/1)(1)r r C U U
C C S d
εεσε=
=
++．
13．15 平行板电容器极板面积为200cm 2，板间距离为1.0mm ，电容器内有一块1.0mm 厚的玻璃板(εr = 5)．将电容器与300V 的电源相连．求：
（1）维持两极板电压不变抽出玻璃板，电容器的能量变化为多少？
（2）断开电源维持板上电量不变，抽出玻璃板，电容器能量变化为多少？
[解答]平行板电容器的电容为
C 0 = ε0εr S/d ，
静电能为 W 0 = C 0U 2/2． 玻璃板抽出之后的电容为
C = ε0S/d ．
（1）保持电压不变抽出玻璃板，静电能为 W = CU 2/2， 电能器能量变化为
ΔW = W - W 0 = (C - C 0)U 2/2 = (1 - εr )ε0SU 2/2d = -3.18×10-5(J)． （2）充电后所带电量为 Q = C 0U ， 保持电量不变抽出玻璃板，静电能为
W = Q 2/2C ，
电能器能量变化为
2
000(1)
2
C C U W W W C ∆=-=- 2
0(1)
2r r SU d
εεε=-= 1.59×10-4(J)．
13．16 设圆柱形电容器的内、外圆筒半径分别为a 、b ．试证明电容器能量的一半
储存在半径R =
[解答]设圆柱形电容器电荷线密度为λ，场强为 E = λ/2πε0r ， 能量密度为 w = ε0E 2/2， 体积元为 d V = 2πrl d r ， 能量元为 d W = w d V ．
在半径a 到R 的圆柱体储存的能量为
20
d d 2
V
V
W w V E V ε==⎰⎰
2200d ln 44R
a
l l R r r a λλπεπε==⎰．
当R = b 时，能量为
210ln 4l b W a
λπε=；
当R =
22200ln
48l l b W a
λλπεπε==，
所以W 2 = W 1/2，即电容器能量的一半储存
在半径R =
13．17 两个同轴的圆柱面，长度均为l ，半径分别为a 、b ，柱面之间充满介电常量为ε的电介质（忽略边缘效应）．当这两个导体带有等量异号电荷(±Q )时，求：
（1）在半径为r (a < r < b )、厚度为d r 、长度为l 的圆柱薄壳中任一点处，电场能量体密度是多少？整个薄壳层中总能量是多少？
（2）电介质中总能量是多少（由积分算出）？
（3）由电容器能量公式推算出圆柱形电容器的电容公式？
[解答]（1）圆柱形内柱面的电荷线密度为 λ = Q/l ，
根据介质是高斯定理，可知电位移为
D = λ/2πr = Q /2πrl ，
场强为 E = D/ε = Q /2πεrl ， 能量密度为w = D ·E /2 = DE /2 = Q 2/8π2εr 2l 2．
薄壳的体积为d V = 2πrl d r ， 能量为 d W = w d V = Q 2d r /4πεlr ．
（2）电介质中总能量为
22d d ln 44b
V a
Q Q b
W W r lr l a πεπε===⎰⎰．
（3）由公式W = Q 2/2C 得电容为
222ln(/)
Q l
C W b a πε==
．
13．18 两个电容器，分别标明为200PF/500V 和300PF/900V ．把它们串联起来，等效电容多大？如果两端加上1000V 电压，是否会被击穿？
[解答]当两个电容串联时，由公式
21
1212
111C C C C C C C +=+=
， 得 12
12
120PF C C C C C =
=+．
加上U = 1000V 的电压后，带电量为
Q = CU ，
第一个电容器两端的电压为
U1 = Q/C1 = CU/C1 = 600(V)；
第二个电容器两端的电压为
U2 = Q/C2 = CU/C2 = 400(V)．
由此可知：第一个电容器上的电压超过它的耐压值，因此会被击穿；当第一个电容器被击穿后，两极连在一起，全部电压就加在第二个电容器上，因此第二个电容器也接着被击穿．。