复数的四则运算_课件

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高中数学必修2
第七章 复数
复数的四则运算
新人教版
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教学目标
掌握复数代数形式的加法、减法、乘法和除法的运算及意义 ； 由实数的运算法则来研究复数的运算规律。
教学重点
复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则、运算律，以 及复数加、减运算的几何意义 教学难点
复数减法、除法的运算法 则
z1+ z2=
z2+ z1
3.证明复数的加法满足交换律、结合
（律2）因
为
(z1+z2)+z3 =[(a1+b1i)+(a2+b2i)]+(a3+b3
i)
==[[((aa11++aa22))++a(3b]+1+[b(b2)1i+]+b(2a)+3+bb3]i, 3i) z1+(z2+z1) =(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)]
这就是复数的减法法则。由此可见，两个复数的差是一个确 定的复数。可以看出，两个复数相减，类似于两个多项式相 减
复数减法的几何意义：
类比复数加法的几何意义，你得出复数减法的几何意义吗 ？ 复数的减法相当于复平面上的向量相减，所得新的向量对应复数 即为减法后的结果。
根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z1（x1 ，y1），Z2（x2，y2）之间的距离
复数的四则运算
复数的加法满足交换律、结合律吗？
容易得到，对任意z1，z2，z3∈C， 有 z1+z2=z2+z1，
（z1+z2）+z3=z1+（ z2+z3）
复数加法的几何意义 ：
设OZ1，OZ2分别与复数a+bi,c+di对应，则OZ1=（a,b），OZ1=（c,d），由平 面向量的坐标运算法则，得
计算：（1）（2+3i)(2-3i）；
解：（1）（2+3i)(2-3i）
=22-（3i）
=4-（-9）
=13
（2）
= 1+2i+
=1+2i-1
=2i
（2）
4.复数的除法
复数除法的法则是 (a+bi)÷(c+di)=
+
i
（a,b,c,d∈R，且c+di≠0）。由此可见，两个复数相除（除
数不为0），所得的商是一个确定的复数.
∴ z3,z4对应的两点之间的距离为：
|z3-z4|=|4+3i|=
=5
3.复数的乘法
设z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d∈R）是任意两个复数，那么它 们的积
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bd =(ac-bd）+(ad+bc )i.
很明显，两个复数的积是一个确定的复数。特别地，当z1，z2 都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积
复数的四则运算
复数的加法
我们规定，复数的加法法则如下设z1=a+bi,z2=c+di（a,b,c,d∈R）是任意 两个复数，那么它们的和
（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d） 很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数特别地，当z1，x2都是实数时 ，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和
=(a1+b1i)+[(a2+a3)+(b2+b3)i
= [a1+(a2+a3)]+[b1+(b2+b3)]i.
又因为(a1+a2)+a1=a1+(a2+a3)，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3)，所以
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
4,求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离：（1）
复数的四则运算
复数的乘法满足交换律，结合律，对加法满足分配 律 容易得到，对于任意z1，z2，z3∈C，有
z1z2 = z2z1， (z1z2)z3 = z1(z2z3)， z1(z2+z3) =z1z2+z1z3.
计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i).
解： (1-2i)(3+4i)(-2+i) =(11-2i)(-2+i) =-20+15i
3.证明复数的加法满足交换律、结合
设：律z1=a1+b1i,
z2=a2+b2i,
zwk.baidu.com=a3+b1i.
(1) 因为
z1+ z2=（a1+b1i）+（a2+b2i）
=（a1+a2）+（b1+b2）i，
z2+ z1=（a2+b2i）+（a1+b1i）
=（a2+a1）+（b2+b1）i
又因为a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1，所以
OZ1+OZ2=（a+c,b=d） 这说明两个向量OZ1与OZ2的和就是与复数（a+c）+（b+d）i 对应的向量。因此 ，复数的加法可以按照向量的加法来进行（如下图），这就是复数加法的几何意义
2.复数的减法 我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数减法的意 义，你认为该如何定义复数的减法？
（a+bi）-(c+di)=（a-c）+（b-d）i
解：因为复平面内的点Z1（x1，y1），Z2（x2，y2）对应的复数
分
别为z1=x1+y1i, z2=x2+y2i，所以点Z1，Z2之间的距
离
|Z1Z2|=|Z1Z2|=|z2-z1|=|(x2+y2i)-(x1+y1i)|
=|(x2-x1)+(y2-y1)i|
=
1.计算 （1）（2+4i）+（3-4i）； （2） 5-（3+2i）； （3）（-3 - 4i）+（2+i）-（1-5i） （4）（2-i）-（2+3i）+4i
z1=2+i, z2=3-i；
解:
（2）z3=8+5i，z4=4+2i
(1) ∵ z1=2+i，z2=3-i，
∴ z1-z2=(2+i)-(3-i)=-1+2i，
∴ z1,z2对应的两点之间的距离为：
|z1-z2|=|-1+2i|=
=
(2) ∵ z3=8+5i，z4=4+2i，
∴ z3-z4=8+5i-(4-2i)=4+3i，
1.（1）5； （2）2-2i； （3）-2+2i
（4）0.
2.如图，向量OZ 对应的复数是z，分别作出下列运算的结果 对应的向量：（1）z+1； （2）z-i； （3）z+（-2+i）
解: 由图可知点Z坐标为（-2,3），所以复数x=-2+3i （1）z+1=-2+3i+1=-1+3i 综上所述，结论是：-1+3i （2）z-i=-2+3i-1=-2+2i 综上所述，结论是：-2+2i （1）z+（-2+i）=-2+3i-2+i=-4+4i 综上所述，结论是：-4+4i
在进行复数除法运算时，通常先把(a+bi)÷(c+di)写成
的形式，再
把分子与分母都乘分母的共轭复数c-di，化简后就可得到上面的结果。这里分