线性规划问题及其数学模型

设 Q 为第i处设厂的规模，即年产产品数量（万吨），则有
i
Q 1 = y 11 + y 12 , Q 2 = y 21 + y 22 , Q 3 = y 31 + y 32
据每吨产品需3吨原料，有 （生产的产品全部+ x 31 = 3 ( y 11 + y 12 )
)
例8：厂址选择问题 甲、乙、丙三地，每地都生产一定数量的原料，也消耗一定 数量的产品（如下表）。已知制成每吨产品需3吨原料，各地之 间的距离为：甲—乙，150千米；甲—丙，100千米；乙—丙， 200千米。假定每万吨原料运输1千米的运价为5000元，每万吨 产品运输1千米的运价为6000元。由于地区差异，在不同地点设 厂的生产费用也不同。试问究竟在哪些地方设厂，规模多大， 才能使总费用最小？另外，由于其他条件限制，在乙处建厂的 规模（生产的产品数量）不能超过5万吨
解：设xij为第i年投资到第j个方向的资金
第一年年初： 第二年年初： 第三年年初： 第三年底：
x11 + x12 = 3
x12 ≤ 2 x23 ≤ 1.5 x34 ≤ 1
x21 + x23 = 1.2 x11
x31 + x34 = 1.5x12 +1.2x21
z = 1.6 x23 + 1.2 x31 + 1.4 x34
2 x2 + x3 + 3x5 + 2 x6 + x7 = 10000 x1 + x3 + 3x4 + 2 x6 + 3x7 + 4 x8 = 10000
x j ≥ 0 . j = 1, 2 , 3 , K ,8
例6：某厂在今后四个月内需租用仓库堆存货物。已知各个月所需 的仓库面积数如表1所示。又知，当租借合同期限越长时，场地租 借费用享受的折扣优待越大，有关数据如表2所示。租借仓库的合 同每月初都可办理，每份合同应具体说明租借的场地面积数和租借 期限。工厂在任何一个月初办理签约时，可签一份，也可同时签若 干份租借场地面积数和租借期限不同的合同。为使所付的场地总租 借费用最少，试建立一个线性规划模型。
A 甲 乙 需求量 2 5 1700 B 5 3 1100 C 7 6 200 D 4 8 100 供应量 2000 1100
解
设xij为从i地运到j地的物资数量，则各变 量在运输表上对应
A 甲 乙 B C D
x11 x21
1700
x12 x22
1100
x13 x23
200
x14 x24
100
数学模型
地点 年产原料（万吨） 年消耗产品（万吨） 生产费用（万元/万吨）
甲 乙 丙
20 16 24
7 13 0
150 120 100
解： 设 xij 为由 i地运到 j地的原料数量（万吨） ，
y
ij
为i地运往 j地的产品数量（万吨） ，
i, j = 1,2,3分别对应甲乙丙三地
根据题意，有
x 11 + x 12 + x 13 ≤ 20
(2)
x 12 + x 22 + x 32 = 3 ( y 21 + y 22 ) x 13 + x 23 + x 33 = 3 ( y 31 + y 32 ) x 11 = 3 ( y 11 + y 12 ) − x 21 − x 31
(3)
x 22 = 3 ( y 21 + y 22 ) − x 12 − x 32 x 33 = 3 ( y 31 + y 32 ) − x 13 − x 23
例5 截料问题
某工程施工中需要制作10000套钢筋，每套钢筋有2.9 米、2.1米和1.5米三种不同长度但直径和材质相同的钢 筋各一根组成。目前可采购到的同类钢筋的长度均为7.4 米，问应购进多少根7.4米的钢筋才能满足工程的需要？
解: 7.4米长的钢筋截成2.9米、2.1米和1.5米长的钢筋有
下面几种截法 截料方案 2.9米 2.1米 1.5米
余料
1 2 0 1 0.1
2 1 2 0 0.3
3 1 1 1 0.9
4 1 0 3 0
5 0 3 0 1.1
6 0 2 2 0.2
7 0 1 3 0.8
8 0 0 4 1.4
设用第 j 种截法用去钢材 xj 根
minz = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 2 x1 + x2 + x3 + x4 = 10000
设用第 j 种截法用去钢材 xj 根
minz = x2 + x3 x1 + x2 + x3 = 150
1 x + 2x 2 2 1
(
x1 , x 2 , x 3 ≥ 0
) = 1 (4x1 + 7x3 ) 7
例3 要从甲、乙两地调出物资，分别供应A、B、C、D。已知 各地的供应量、需求量及每吨运费如下表所示，假定运费 与运量成正比，试确定总运费最小的调拨方案。
决策变量 ：模型要决定的未知量
x1 = 生产桌子的数量，x2 = 生产椅子的数量；
目标函数 ：决定线性规划优化方向
max: z = 50x1 + 30x2
约束方程 ：反映客观条件的限制
木工工时不能超过可用工时 4x1 + 3x2 ≤ 120 油漆工工时不能超过可用工时 2x1 + x2 ≤ 50
非负约束 ：
)
例4：人员安排问题 某昼夜服务公共交通系统每天各时间段（每4小时为一个时间段） 所需的值班人员如下表所示。这些值班人员在某时段上班后要连 续工作8个小时（包括轮流用膳时间在内）。问该公交系统至少需 多少名工作人员才能满足值班的需要。 班次 1 2 3 4 5 6 时间段 6:00 —— 10:00 10:00 —— 14:00 14:00 —— 18:00 18:00 —— 22:00 22:00 —— 2:00 2:00 —— 6:00 所需人数 60 70 60 50 20 30
4500
6000
7300
合同租借期限
1个月
2个月
3个月
4个月
解 设 x 为第 i个月初签定的租借期限为j个月的租 ij 借面积（单位：百米2） 一月签订： x11 x12 x13 x14 二月签订： x21 x22 x23 三月签订： x31 x32 四月签订： x41 各个月生效的合同的租借面积为： 第一个月： x11 + x12 + x13 + x14 第二个月： x12 + x13 + x14 + x21 + x22 + x23 第三个月： x13 + x14 + x22 + x23 + x31 + x32 第四个月： x14 + x23 + x32 + x41
x 21 + x 22 + x 23 ≤ 16
(1)
x 31 + x 32 + x 33 ≤ 24 y 11 + y 21 + y 31 = 7 y 12 + y 22 + y 32 = 13 y 13 + y 23 + y 33 = 0
x ij ≥ 0 , y ij ≥ 0
y13 = y23 = y33 = 0
minz = 2 x11 + 5x12 + 7 x13 + 4 x14 + 5x21 + 3x22 + 6 x23 + 8x24
x11 + x12 + x13 + x14 = 2000 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 1100 x11 + x 21 = 1700 x12 + x 22 = 1100 x13 + x 23 = 200 x14 + x 24 = 100 x ij ≥ 0 ( i = 1, 2 ; j = 1, 2,3, 4
可能的生产方案
用人工计算方法也可以找出很多的可行方案； 对于简单的问题，有时也可以找到最优方案； 当问题更复杂时，如有20种产品，消耗10种资源， 用人工计算是否有效？ 一个很简单的问题都可能存在无数可行解，从中找 出最优解不是件容易的事。 线性规划模型是求解这类问题的有效工具。
家具厂的数学模型
得到数学模型
max z = 1 . 6 x 23 + 1 . 2 x 31 + 1 . 4 x 34 x 11 + x 12 = 3 x 12 ≤ 2 x 21 + x 23 = 1 . 2 x11
x 23 ≤ 1 . 5 x 31 + x 34 = 1 . 5 x 12 + 1 . 2 x 21 x 34 ≤ 1 x ij ≥ 0 ( i = 1 , 2 , 3 ; j = 1 , 2 , 3 , 4
x ij ≥ 0 . i , j = 1 , 2 , 3 ; i ≠ j y ij ≥ 0 . i = 1 , 2 , 3 ; j = 1 , 2
目标函数为(包括原材料运输费、产品运输费和生产费）
表 月 份
1 1 15 2 1个月 2个月 3个月 2800 4500 6000 4个月 7300 2 10 3 20 4 12
所需场地面积（百米2） 表 合同租借期限 租借费用（元/百米2）
表
1 2 10 3 20 4 12
1 月 份 所需场地面积（百米2） 15 表 2 租借费用（元/百米2） 2800
可能的生产方案
尽量多生产利润高的产品： 受油漆工资源限制，只能生产25个桌子，但木工 剩余20小时，销售利润1250元； 组合生产方案 1： 受油漆工资源限制，可生产20个桌子，10个椅 子，木工仍剩余10小时，销售利润1300元； 组合生产方案 2： 生产15个桌子，20个椅子，用完全部工时，销售 利润1350元；
于是，得到线性规划模型：
min f = 2800 ∑ xi1 + 4500 ∑ xi 2 + 6000 ∑ xi 3 + 7300 x14
i =1 i =1 i =1
4
3
2
x11 + x12 + x13 + x14 ≥15 x12 + x13 + x14 + x21 + x22 + x23 ≥10 x13 + x14 + x22+ x23 + x31 + x32 ≥20 x14 + x23 + x32 + x41 ≥12 x1j ≥ 0 x2j ≥ 0 x31 ≥ 0 j=1 ,… ,4 j=1,2,3 x32 ≥ 0 x41 ≥ 0
例7 某地区在今后三年内有四种投资机会： 第Ⅰ种：三年内每年年初投资，年底可获利润20%，并将本 金收回； 第Ⅱ种：第一年年初投资，第二年年底可获利润50%，并将 本金收回，但该项目投资不得超过二万元； 第Ⅲ种：第二年年初投资，第三年年底收回本金，并获利润 60%，但该项投资不得超过一万五千元； 第Ⅳ种：第三年年初投资，于该年年底收回本金，且获利 40%，但该项投资不得超过一万元。 现在该地区准备拿出三万元资金，问如何制定投资计划，使 到第三年年末本利最大。
x1 ≥ 0，x2 ≥ 0
例2
设有钢材150根，长为15米，需要轧成配套钢料，每套 由7根2米长与2根7米长的钢梁组成。问如何下料使钢材 废料最少(不计下料损耗)？
解 15m长的钢梁截成2m、7m长的钢梁有下面几种截法
2m 7m
总长 余料
A1 4 1 15 0
A2 0 2 14 1
A3 7 0 14 1
§1
线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题
例1:家具厂生产计划问题 胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。 桌子销售利润为50元，椅子销售利润为30 元，生产一 个桌子需要木工4小时，油漆工 2 小时。生产一个椅子需要木工3小时，油漆 工 1小时。该厂每月可用木工工时为120小 时，油漆工工时为 50小时 。该厂如何生产 才能 使每月销售利润最大？
将 x11、 22 、 33 代入（ ）中，并考虑能力约束和非负条件，得到 1 x x
3 ( y 11 + y 12 ) − x 21 − x 31 + x 12 + x 13 ≤ 20 x 21 + 3 ( y 21 + y 22 ) − x 12 − x 32 + x 23 ≤ 16 x 31 + x 32 + 3 ( y 31 + y 32 ) − x 13 − x 23 ≤ 24 y 11 + y 21 + y 31 = 7 y 12 + y 22 + y 32 = 13 y 21 + y 22 ≤ 5
解：设在第 j 个时段开始上班的人数为 xj
min z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
x 6 + x 1 ≥ 60
x 1 + x 2 ≥ 70
x 2 + x 3 ≥ 60 x 3 + x 4 ≥ 50 x 4 + x 5 ≥ 20 x 5 + x 6 ≥ 30
x j ≥ 0 . j = 1, 2 , 3 , K , 6