生物统计学 第3章 几种常见的概率分布律
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2. 二项分布的概率之和等于1，即
n
Cnk p k q nk (q p)n 1
k 0
3. P( x m) Pn (k m)
m
Cnk p k q nk
(3-2)
4. P( x m) Pn (k m)
nk 0
Cnk p k q nk
(3-3)
k m
5. m2
P(m1 x m2 ) pn (m1 k m2 )
• 平均数：
nK
N
• 方差：
2 nK(N K )( N n)
N 2 (N 1)
2. 负二项分布
• 负二项分布所要求的条件与二项分布是一样 的。不同的是负二项分布需要求出在第x次试 验时，发生第k次事件A的概率。或者说，在x 次试验中，共发生k次事件A，而且事件A的第 k次试验恰恰是在第x次试验发生的。
x 中细菌数服从波松分布。以=0.500代替 （3-10）
式中的λ，得
P( x k ) 0.5k e0.5 (k=0, 1, 2, …) k!
计算结果如表3-3所示。
表3-3 细菌数的波松分布
可见细菌数的频率分布与λ=0.5的波松分布是 相当吻合的 ， 进一步说明用波松分布描述单位 容积(或面积)中细菌数的分布是适宜的。
P(x
7)
C170 0.7570.253
10! 0.757 7!3!
0.253
0.2503
【例3.2】 设在家畜中感染某种疾病的概率为20％，现有两 种疫苗，用疫苗A 注射了15头家畜后无一感染，用疫苗B 注射 15头家畜后有1头感染。设各头家畜没有相互传染疾病的可能， 问：应该如何评价这两种疫苗?
二项分布的应用条件有三：
（1）各观察单位只具有互相对立的一种结果，如阳 性或阴性，生存或死亡等，属于二项分类资料；
（2）已知发生某一结果 (如死亡) 的概率为p，其对立 结果的概率则为1-P=q，实际中要求p 是从大量观察中获 得的比较稳定的数值；
（3）n个观察单位的观察结果互相独立，即每个观察 单位的观察结果不会影响到其它观察单位的观察结果。
表3-2 畸形仔猪数的波松分布
将实际计算得的频率与根据λ=0.51的泊松分 布计算的概率相比较 ，发现畸形仔猪的频率分 布与 λ=0.51 的 波松分布是吻合得很好的 。这进 一步说明了畸形仔猪数是服从波松分布的。
【例3.7】 为监测饮用水的污染情况， 现检验 某社区每毫升饮用水中细菌数 ， 共得400个记录 如下：
如【例3.6】中已判断畸形仔猪数服从波松分 布，并已算出样本平均数=0.51。将0.51代替公 式（3-10）中的λ得：
P( x k ) 0.51k e0.51 (k=0, 1, 2, …)
k!
因为e-0.51=1.6653，所以畸形仔猪数各项的概 率为：
P(x=0)=0.510／(0!×1.6653)=0.6005 P(x=1)=0.511／(1!×1.6653)=0.3063 P(x=2)=0.512／(2!×1.6653)=0.0781
p(
x)
C k 1 x 1
k
(1
)
xk
,
x k, k 1,...
3.4 正态分布
正态分布是一种很重要的连续型随机变量 的概率分布。生物现象中有许多变量是服从或 近似服从正态分布的。许多统计分析方法都是 以正态分布为基础的。此外，还有不少随机变 量的概率分布在一定条件下以正态分布为其极 限分布。因此在统计学中，正态分布无论在理 论研究上还是实际应用中 ， 均占有重要的地 位。
贝努利试验来概括。
在n重贝努利试验中，事件 A 可能发生0，1， 2，…，n次，现在我们来求事件A恰好发生 k(0≤k≤n)次的概率Pn(k)。
Pn (k ) Cnk pk qnk , k 0,1, 2，n
二、二项分布的意义及性质 二项分布定义如下：
设随机变量x所有可能取的值为零和正整数： 0,1,2,…，n，且有
假设疫苗A完全无效，那么注射后的家畜感染的概率仍为20 ％，则15 头家畜中染病头数x=0的概率为
p( x 0) C105 0.2000.8015 0.0352
同理，如果疫苗B完全无效，则15头家畜中最多有1头感染的 概率为：
p(x 1) C1050.200.815 C1150.210.814 0.1671
由(3-10)式可知，波松分布的概率计算，依赖 于参数 λ的确定，只要参数λ确定了，把k=0，1， 2，… 代入(3-10)式即可求得各项的概率。 但是在 大多数服从波松分布的实例中，分布参数λ往往 是未知的，只能从所观察的随机样本中计算出相 应的样本平均数作为λ的估计值，将其代替(3-10) 式中的λ，计算出 k = 0，1，2，… 时的各项概率。
四、二项分布的平均数与标准差
统计学证明，服从二项分布B(n,p)的随机变
量之平均数μ、标准差σ与参数n、p有如下关系：
当Hale Waihona Puke 验结果以事件A发生次数k表示时μ=np
(3-5)
npq (3-6)
【例3.4】求【例3.3】平均死亡猪数及死 亡数的标准差。
以p=0.2,n=5代入 (3-5)和(3-6) 式得： 平均死亡猪数 μ=5×0.20=1.0(头) 标准差
1. 超几何分布
• 从一个包含两种不同类型个体的有限总体中， 做非放回式抽样。在n次抽样中，抽中某种类 型个体数即为服从超几何分布的随机变量。
• 概率函数：
p(x)
C C x nx K NK CNn
,
x 0,1, 2,..., n
• N：总体中个体数
• K：两种类型中某一种类型的个体数
• n：非放回式抽样的次数 • x：在n次抽样中某一种类型的个体数
P(x=3)=0.513／(3!×1.6653)=0.0133 P(x=4)=0.514／(4!×1.6653)=0.0017
4
P(x 4) 1 p(x k) 1 0.9999 0.0001 k 0
把上面各项概率乘以总观察窝数(n=200)即得 各项按波松分布的理论窝数。 波松分布与相应 的频率分布列于表3-2中。
Cnk p k q nk
k m1
（m1<m2） (3-4)
二项分布由n和p两个参数决定： 1. 当p值较小且n不大时，分布是偏倚的。但随
着n的增大，分布逐渐趋于对称； 2. 当 p 值 趋于 0.5 时，分布趋于对称； 3. 对于固定的n及p，当k增加时，Pn(k)先随之
增加并达到其极大值，以后又下降。
一、波松分布的意义
若随机变量x(x=k)只取零和正整数值0，1， 2，…，且其概率分布为
P(x k) k e ， k=0，1，…… (3-10)
k!
其中λ＞0；e=2.7182… 是自然对数的底数， 则称x服从参数为λ的波松分布(Poisson‘s distribution)，记 为 x~P(λ)。
样本均数和方差S2计算结果如下：
x fk
n
=(120×0+62×1+15×2+2×3+1×4)/200 =0.51
fk 2 ( fk)2
S2
n
n 1
(120 02 6212 15 22 2 32 1 42 1022 ) / 200 200 1
0.52
x =0.51，S2=0.52，这两个数是相当接近的，
Pn (k ) Cnk pk qnk k=0,1,2…，n 其中p＞0，q＞0，p+q=1，则称随机变量x 服从参数为n和p的二项分布 (binomial distribution),记为 x~B(n, p)。
二项分布具有概率分布的一切性质，即：
1. P(x=k)= Pn(k) (k=0,1,…，n)
一、正态分布的定义及其特征
（一） 正态分布的定义 若连续型随机变量x的概率分布密度
函数为
f (x)
1
(x )2
e 2 2
2
(3-6)
其中μ为平均数，σ2为方差，则称随机变量x服从正态分布 (normal distribution)， 记为x～N(μ,σ2)。相应的概率分布函数为
F (x) 1
【例3.3】 仔猪黄痢病在常规治疗下死亡率为20 ％，求5 头病猪治疗后死亡头数各可能值相应的概 率。
设5头病猪中死亡头数为x，则x服从二项分布 B(5, 0.2)，其所有可能取值为0，1，…，5，按(3-1) 式计算概率，用分布列表示如下：
0 1 23 4 5
0.3277 0.4096 0.2048 0.0512 0.0064 0.0003
波松分布重要的特征：
平均数和方差相等，都等于常数λ，即
μ=σ2=λ 【例3.5】 调查某种猪场闭锁育种群仔猪畸 形数，共记录200窝， 畸形仔猪数的分布情况 如表3-1所示。试判断畸形仔猪数是否服从波 松分布。
表3-1 畸形仔猪数统计分布
每窝畸形数k 0 1 2 3 >=4 合计
窝数f
120 62 15 2 1 200
注意，二项分布的应用条件也是波松分布 的应用条件。
对于波松分布，当λ→∞时 ，波松分布以正态分 布为极限。在实际计算中， 当 λ≥20 (也有人认为 λ≥6)时，用波松分布中的λ代替正态分布中的μ及σ2 ， 即可由后者对前者进行近似计算。
3.3另外几种离散型概率分布
• 1、超几何分布 • 2、负二项分布
2
x
( x )2
e 2 2 dx (3-7)
分布密度曲线如图所示。
(二) 正态分布的特征
1、正态分布密度曲线是单峰、对称的悬钟形曲线，对称轴为
x=μ；
2、f(x) 在 x =μ处达到极大 ，极大值
f ()
1
2 ；
3、f(x)是非负函数，以x轴为渐近线，分布从-∞至+∞；
4、曲线在x=μ±σ处各有一个拐点，即曲线在(-∞,μ-σ)和(μ+σ,+∞) 区间上是下凸的，在[μ-σ,μ+σ]区间内是上凸的；
因此可以认为畸形仔猪数服从波松分布。
λ是波松分布所依赖的唯一参数。λ值愈小分布愈偏 倚，随着λ的增大 ，分 布趋于对称(如下图所示)。当λ= 20时分布接近于正态分布；当λ=50时， 可以认 为波松 分布呈正态分布。 所以在实际工作中，当λ≥20时就可以 用正态分布来近似地处理波松分布的问题。
二、波松分布的概率计算
第三章 几种常见的概率分布律
3.1 二项分布 3.2 泊松分布 3.3 另外几种离散型概率分布 3.4 正态分布 3.5另外几种连续型概率分布 3.6 中心极限定理
3.1 二项分布
一、贝努利试验及其概率公式
将某随机试验重复进行n次，若各次试验结果互
不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它
各次试验的结果，则称这n次试验是独立的。
npq 5 0.2 0.8 0.894 (头)
3.2 波松分布
波松分布是一种可以用来描述和分析随机地发生 在单位空间或时间里的稀有事件的概率分布。要观察 到这类事件，样本含量 n 必须很大 。
在生物、医学研究中，服从波松分布的随机变量 是常见的。如，一定畜群中某种患病率很低的非传染 性疾病患病数或死亡数，畜群中遗传的畸形怪胎数， 每升饮水中大肠杆菌数，计数器小方格中血球数，单 位空间中某些野生动物或昆虫数等，都是服从波松分 布的。
对于n次独立的试验，如果每次试验结果出现且
只出现对立事件A与 A之一，在每次试验中出现A的概 率是常数p(0<p<1) ，因而出现对立事件 A的概率是
1-p=q，则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验，
简称贝努利试验(Bernoulli trials)。
在生物学研究中，我们经常碰到的一类离
散型随机变量，如孵n枚种蛋的出雏数、n头病 畜治疗后的治愈数、n 尾鱼苗的成活数等，可用
1ml水中的细菌数 0 1 2 >=3 合计
次数f
243 120 31 6 400
试分析饮用水中细菌数的分布是否服从波松 分布。若服从，按波松分布计算每毫升水中细菌 数的概率及理论次数并将頻率分布与波松分布作 直观比较。
x 经计算得每毫升水中平均细菌数 =0.500,
方差S2=0.496。两者很接近，故可认为每毫升水
此外，在n较大，np、nq 较接近时，二项分布 接近于正态分布；当n→∞时，二项分布的极限分
布是正态分布。
三、二项分布的概率计算及应用条件
【例3.1】 纯种白猪与纯种黑猪杂交，根据孟德尔遗 传理论 ， 子二代中白猪与黑猪的比率为3∶1。求窝产仔 10头，有7头白猪的概率。
根据题意，n=10，p=3／4=0.75，q=1／4=0.25。设10 头仔猪中白色的为x头，则x为服从二项分布B(10，0.75) 的随机变量。于是窝产10头仔猪中有7头是白色的概率 为：
n
Cnk p k q nk (q p)n 1
k 0
3. P( x m) Pn (k m)
m
Cnk p k q nk
(3-2)
4. P( x m) Pn (k m)
nk 0
Cnk p k q nk
(3-3)
k m
5. m2
P(m1 x m2 ) pn (m1 k m2 )
• 平均数：
nK
N
• 方差：
2 nK(N K )( N n)
N 2 (N 1)
2. 负二项分布
• 负二项分布所要求的条件与二项分布是一样 的。不同的是负二项分布需要求出在第x次试 验时，发生第k次事件A的概率。或者说，在x 次试验中，共发生k次事件A，而且事件A的第 k次试验恰恰是在第x次试验发生的。
x 中细菌数服从波松分布。以=0.500代替 （3-10）
式中的λ，得
P( x k ) 0.5k e0.5 (k=0, 1, 2, …) k!
计算结果如表3-3所示。
表3-3 细菌数的波松分布
可见细菌数的频率分布与λ=0.5的波松分布是 相当吻合的 ， 进一步说明用波松分布描述单位 容积(或面积)中细菌数的分布是适宜的。
P(x
7)
C170 0.7570.253
10! 0.757 7!3!
0.253
0.2503
【例3.2】 设在家畜中感染某种疾病的概率为20％，现有两 种疫苗，用疫苗A 注射了15头家畜后无一感染，用疫苗B 注射 15头家畜后有1头感染。设各头家畜没有相互传染疾病的可能， 问：应该如何评价这两种疫苗?
二项分布的应用条件有三：
（1）各观察单位只具有互相对立的一种结果，如阳 性或阴性，生存或死亡等，属于二项分类资料；
（2）已知发生某一结果 (如死亡) 的概率为p，其对立 结果的概率则为1-P=q，实际中要求p 是从大量观察中获 得的比较稳定的数值；
（3）n个观察单位的观察结果互相独立，即每个观察 单位的观察结果不会影响到其它观察单位的观察结果。
表3-2 畸形仔猪数的波松分布
将实际计算得的频率与根据λ=0.51的泊松分 布计算的概率相比较 ，发现畸形仔猪的频率分 布与 λ=0.51 的 波松分布是吻合得很好的 。这进 一步说明了畸形仔猪数是服从波松分布的。
【例3.7】 为监测饮用水的污染情况， 现检验 某社区每毫升饮用水中细菌数 ， 共得400个记录 如下：
如【例3.6】中已判断畸形仔猪数服从波松分 布，并已算出样本平均数=0.51。将0.51代替公 式（3-10）中的λ得：
P( x k ) 0.51k e0.51 (k=0, 1, 2, …)
k!
因为e-0.51=1.6653，所以畸形仔猪数各项的概 率为：
P(x=0)=0.510／(0!×1.6653)=0.6005 P(x=1)=0.511／(1!×1.6653)=0.3063 P(x=2)=0.512／(2!×1.6653)=0.0781
p(
x)
C k 1 x 1
k
(1
)
xk
,
x k, k 1,...
3.4 正态分布
正态分布是一种很重要的连续型随机变量 的概率分布。生物现象中有许多变量是服从或 近似服从正态分布的。许多统计分析方法都是 以正态分布为基础的。此外，还有不少随机变 量的概率分布在一定条件下以正态分布为其极 限分布。因此在统计学中，正态分布无论在理 论研究上还是实际应用中 ， 均占有重要的地 位。
贝努利试验来概括。
在n重贝努利试验中，事件 A 可能发生0，1， 2，…，n次，现在我们来求事件A恰好发生 k(0≤k≤n)次的概率Pn(k)。
Pn (k ) Cnk pk qnk , k 0,1, 2，n
二、二项分布的意义及性质 二项分布定义如下：
设随机变量x所有可能取的值为零和正整数： 0,1,2,…，n，且有
假设疫苗A完全无效，那么注射后的家畜感染的概率仍为20 ％，则15 头家畜中染病头数x=0的概率为
p( x 0) C105 0.2000.8015 0.0352
同理，如果疫苗B完全无效，则15头家畜中最多有1头感染的 概率为：
p(x 1) C1050.200.815 C1150.210.814 0.1671
由(3-10)式可知，波松分布的概率计算，依赖 于参数 λ的确定，只要参数λ确定了，把k=0，1， 2，… 代入(3-10)式即可求得各项的概率。 但是在 大多数服从波松分布的实例中，分布参数λ往往 是未知的，只能从所观察的随机样本中计算出相 应的样本平均数作为λ的估计值，将其代替(3-10) 式中的λ，计算出 k = 0，1，2，… 时的各项概率。
四、二项分布的平均数与标准差
统计学证明，服从二项分布B(n,p)的随机变
量之平均数μ、标准差σ与参数n、p有如下关系：
当Hale Waihona Puke 验结果以事件A发生次数k表示时μ=np
(3-5)
npq (3-6)
【例3.4】求【例3.3】平均死亡猪数及死 亡数的标准差。
以p=0.2,n=5代入 (3-5)和(3-6) 式得： 平均死亡猪数 μ=5×0.20=1.0(头) 标准差
1. 超几何分布
• 从一个包含两种不同类型个体的有限总体中， 做非放回式抽样。在n次抽样中，抽中某种类 型个体数即为服从超几何分布的随机变量。
• 概率函数：
p(x)
C C x nx K NK CNn
,
x 0,1, 2,..., n
• N：总体中个体数
• K：两种类型中某一种类型的个体数
• n：非放回式抽样的次数 • x：在n次抽样中某一种类型的个体数
P(x=3)=0.513／(3!×1.6653)=0.0133 P(x=4)=0.514／(4!×1.6653)=0.0017
4
P(x 4) 1 p(x k) 1 0.9999 0.0001 k 0
把上面各项概率乘以总观察窝数(n=200)即得 各项按波松分布的理论窝数。 波松分布与相应 的频率分布列于表3-2中。
Cnk p k q nk
k m1
（m1<m2） (3-4)
二项分布由n和p两个参数决定： 1. 当p值较小且n不大时，分布是偏倚的。但随
着n的增大，分布逐渐趋于对称； 2. 当 p 值 趋于 0.5 时，分布趋于对称； 3. 对于固定的n及p，当k增加时，Pn(k)先随之
增加并达到其极大值，以后又下降。
一、波松分布的意义
若随机变量x(x=k)只取零和正整数值0，1， 2，…，且其概率分布为
P(x k) k e ， k=0，1，…… (3-10)
k!
其中λ＞0；e=2.7182… 是自然对数的底数， 则称x服从参数为λ的波松分布(Poisson‘s distribution)，记 为 x~P(λ)。
样本均数和方差S2计算结果如下：
x fk
n
=(120×0+62×1+15×2+2×3+1×4)/200 =0.51
fk 2 ( fk)2
S2
n
n 1
(120 02 6212 15 22 2 32 1 42 1022 ) / 200 200 1
0.52
x =0.51，S2=0.52，这两个数是相当接近的，
Pn (k ) Cnk pk qnk k=0,1,2…，n 其中p＞0，q＞0，p+q=1，则称随机变量x 服从参数为n和p的二项分布 (binomial distribution),记为 x~B(n, p)。
二项分布具有概率分布的一切性质，即：
1. P(x=k)= Pn(k) (k=0,1,…，n)
一、正态分布的定义及其特征
（一） 正态分布的定义 若连续型随机变量x的概率分布密度
函数为
f (x)
1
(x )2
e 2 2
2
(3-6)
其中μ为平均数，σ2为方差，则称随机变量x服从正态分布 (normal distribution)， 记为x～N(μ,σ2)。相应的概率分布函数为
F (x) 1
【例3.3】 仔猪黄痢病在常规治疗下死亡率为20 ％，求5 头病猪治疗后死亡头数各可能值相应的概 率。
设5头病猪中死亡头数为x，则x服从二项分布 B(5, 0.2)，其所有可能取值为0，1，…，5，按(3-1) 式计算概率，用分布列表示如下：
0 1 23 4 5
0.3277 0.4096 0.2048 0.0512 0.0064 0.0003
波松分布重要的特征：
平均数和方差相等，都等于常数λ，即
μ=σ2=λ 【例3.5】 调查某种猪场闭锁育种群仔猪畸 形数，共记录200窝， 畸形仔猪数的分布情况 如表3-1所示。试判断畸形仔猪数是否服从波 松分布。
表3-1 畸形仔猪数统计分布
每窝畸形数k 0 1 2 3 >=4 合计
窝数f
120 62 15 2 1 200
注意，二项分布的应用条件也是波松分布 的应用条件。
对于波松分布，当λ→∞时 ，波松分布以正态分 布为极限。在实际计算中， 当 λ≥20 (也有人认为 λ≥6)时，用波松分布中的λ代替正态分布中的μ及σ2 ， 即可由后者对前者进行近似计算。
3.3另外几种离散型概率分布
• 1、超几何分布 • 2、负二项分布
2
x
( x )2
e 2 2 dx (3-7)
分布密度曲线如图所示。
(二) 正态分布的特征
1、正态分布密度曲线是单峰、对称的悬钟形曲线，对称轴为
x=μ；
2、f(x) 在 x =μ处达到极大 ，极大值
f ()
1
2 ；
3、f(x)是非负函数，以x轴为渐近线，分布从-∞至+∞；
4、曲线在x=μ±σ处各有一个拐点，即曲线在(-∞,μ-σ)和(μ+σ,+∞) 区间上是下凸的，在[μ-σ,μ+σ]区间内是上凸的；
因此可以认为畸形仔猪数服从波松分布。
λ是波松分布所依赖的唯一参数。λ值愈小分布愈偏 倚，随着λ的增大 ，分 布趋于对称(如下图所示)。当λ= 20时分布接近于正态分布；当λ=50时， 可以认 为波松 分布呈正态分布。 所以在实际工作中，当λ≥20时就可以 用正态分布来近似地处理波松分布的问题。
二、波松分布的概率计算
第三章 几种常见的概率分布律
3.1 二项分布 3.2 泊松分布 3.3 另外几种离散型概率分布 3.4 正态分布 3.5另外几种连续型概率分布 3.6 中心极限定理
3.1 二项分布
一、贝努利试验及其概率公式
将某随机试验重复进行n次，若各次试验结果互
不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它
各次试验的结果，则称这n次试验是独立的。
npq 5 0.2 0.8 0.894 (头)
3.2 波松分布
波松分布是一种可以用来描述和分析随机地发生 在单位空间或时间里的稀有事件的概率分布。要观察 到这类事件，样本含量 n 必须很大 。
在生物、医学研究中，服从波松分布的随机变量 是常见的。如，一定畜群中某种患病率很低的非传染 性疾病患病数或死亡数，畜群中遗传的畸形怪胎数， 每升饮水中大肠杆菌数，计数器小方格中血球数，单 位空间中某些野生动物或昆虫数等，都是服从波松分 布的。
对于n次独立的试验，如果每次试验结果出现且
只出现对立事件A与 A之一，在每次试验中出现A的概 率是常数p(0<p<1) ，因而出现对立事件 A的概率是
1-p=q，则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验，
简称贝努利试验(Bernoulli trials)。
在生物学研究中，我们经常碰到的一类离
散型随机变量，如孵n枚种蛋的出雏数、n头病 畜治疗后的治愈数、n 尾鱼苗的成活数等，可用
1ml水中的细菌数 0 1 2 >=3 合计
次数f
243 120 31 6 400
试分析饮用水中细菌数的分布是否服从波松 分布。若服从，按波松分布计算每毫升水中细菌 数的概率及理论次数并将頻率分布与波松分布作 直观比较。
x 经计算得每毫升水中平均细菌数 =0.500,
方差S2=0.496。两者很接近，故可认为每毫升水
此外，在n较大，np、nq 较接近时，二项分布 接近于正态分布；当n→∞时，二项分布的极限分
布是正态分布。
三、二项分布的概率计算及应用条件
【例3.1】 纯种白猪与纯种黑猪杂交，根据孟德尔遗 传理论 ， 子二代中白猪与黑猪的比率为3∶1。求窝产仔 10头，有7头白猪的概率。
根据题意，n=10，p=3／4=0.75，q=1／4=0.25。设10 头仔猪中白色的为x头，则x为服从二项分布B(10，0.75) 的随机变量。于是窝产10头仔猪中有7头是白色的概率 为：