第6章 点的合成运动理论力学
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e va ve cot w OA we OA
理论力学电子教案
点的运动合成
30
§6-3 牵连运动为平移时点的 加速度合成定理
设动系Oxyz 相对定 系作平移，动点A的相对速 度为：
~ dr vr x i y j z k dt
(6 - 2)
动点的相对加速度为
~ 2 d r ar x y z i j k 2 dt
理论力学电子教案
点的运动合成
31
动系作平移, ve vO
动点的牵连加速度为 ae aO r O
动点的绝对速度为
va ve vr
v0 cot 60 0.577v0 v AB va
此瞬时杆AB的速度方向 向上。
理论力学电子教案
点的运动合成
19
例 题 6-2
军舰以速度 v=37.04 km/h 的速度前进，直
升 飞 机 以 每 小 时 18
km/h 的速度垂直降落。
3. 速度分析
牵连速度 ve ：ve= v0，方 向水平向右。 相对速度 vr ：大小未 知，方向沿凸轮圆周 的切线 。 绝对速度 va ：大小未知， 方向沿杆AB向上。
理论力学电子教案
点的运动合成
18
例 题 6-1
应用速度合成定理 va ve vr
得
va ve cot j
理论力学电子教案
点的运动合成
7
相对运动 — 动点相对于动系的运动。例如： 人在行驶的汽车里走动。 牵连运动 — 动系相对于定系的运动。例如： 行驶的汽车相对于地面的运动。 动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度称 v 为动点的绝对轨迹、绝对速度 a 和绝对加速度aa 。
动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度称 v 为动点的相对轨迹、相对速度 r 和相对加速度 ar 。
va vO x i y j z k（动系作平动，
i ，j，k 是常矢量） 动点的绝对加速度为 dv a aa ae ar aa aO x y z i j k dt 以上即为牵连运动为平移时点的加速度合成定理
理论力学电子教案
点的运动合成
23
例 题 6-3
动画演示
理论力学电子教案
点的运动合成
24
例 题 6-3
解： 1. 选择动点，动系与定系 动点－滑块 A 。
动系－O1x'y'，固连于摇杆O1B上。 定系－固连于机座。 2. 运动分析 绝对运动：以O为圆心的 圆周运动。 相对运动：沿O1B的直线 运动。 牵连运动：摇杆绕O1轴的 摆动。
33
例 题 6-5
已知：凸轮半径R ，v0 ， a0 ，试求：j =60o时, 顶杆AB的加速度。
解：取杆AB上的点A为 动点，动系与凸轮 固连。
理论力学电子教案
点的运动合成
34
例 题 6-5
绝对速度va = ? , 方向∥AB ； 相对速度vr = ? , 方向CA; 牵连速度ve=v0 , 方向 → ; 由速度合成定理
动点: M,
动系:O'x'y'z' 定系: Oxyz 相对轨迹: AB
理论力学电子教案
点的运动合成
13
如图所示，Oxyz为定系，Ox yz为动系。 绝对位移: CC1
CC 1 CC C C1
dCC1 dCC dC C1 dt dt dt
va ve vr (6 - 1)
北运动，则坐在车厢内的人看到，小球向正北运动，
而站在地面上的人看到，小球往东偏北方向运动。
理论力学电子教案
点的运动合成
6
上面的例子涉及点的合成运动中的基本概念： “一点两系三运动” 一 点： 即动点，所研究的点。 两 系： 定参考系和动参考系。 定参考系 — 固结于地面上的参考系，简称 定系。 动参考系 — 固结在相对于地面运动的物体 上的参考系，简称动系。例如 行驶的汽车等。 三运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。 绝对运动 — 动点相对于定系的运动。
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相 对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
理论力学电子教案
点的运动合成
14
va ve vr
(6 - 1)
说明： va — 动点的绝对速度； vr — 动点的相对速度； ve — 动点的牵连速度，是动系上一点(牵连 点)的速度。
va ve vr ,
作出速度平行四边形,如图示。
ve v0 2 vr v0 o sinj sin 60 3
理论力学电子教案
点的运动合成
35
例 题 6-5
绝对加速度aa=?, 方向∥ AB，待求。
2 相对加速度art =? 方向CA， an v r r /R
牵连加速度 ae=a0 , 方向→
其中
理论力学电子教案
点的运动合成
27
例 题 6-4
如图所示，半径为 R ，偏 心距为 e 的凸轮，以匀角速 度 w绕 O 轴转动，杆 AB能在 滑槽中上下平移，杆的端点 A 始终与凸轮接触，且 OAB 成一直线。试求在图示位置 时，杆AB的速度。
理论力学电子教案
点的运动合成
28
例 题 6-4
解：1. 选择动点，动系与定系 动点－ AB的端点A 。 动系－Ox´y´，固连于凸轮。 定系－固连于机座。
理论力学电子教案
点的运动合成
32
思 考 题 6-1
牵连运动为平移时点的加速度合成定理 dve 的推导过程中, 为何不直接用 a ? aa ae ar e dt
思 考 题 6-2
能否说点的牵连速度就是动系的速度，动点
的牵连加速度就是动系的加速度。
理论力学电子教案
点的运动合成
理论力学电子教案
点的运动合成
11
(c) 以小车2为动点，动系固结于小车1上； (d) 以小球M为动点，动系固结于车上。
理论力学电子教案
点的运动合成
12
§6-2 点的速度合成定理
绝对速度和相对速度是在不同参考系中来描述同 一动点的速度，因此它们之间应该有某种关系, 本节 研究点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。
点的运动合成
26
例 题 6-3
应用速度合成定理 va ve vr
1 因为 va rw0 ，j 30 , sin j , 2 rw0 ve 所以 2 设摇杆在此瞬时的角速度为w1，则
ve va sin j
ve O1 A w1
O1 A 2r ， w0 w1 所以可得 4
上面的推导过程中，动参考系并未限制作何运动， 因此点的速度合成定理对任意的牵连运动都适用。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，每一速度包 括大小‚方向两个元素，总共六个元素，已知任意四 个元素，就能求出其余两个。
理论力学电子教案
点的运动合成
15
例 题 6-1
凸轮顶杆机构中半径 为 R 的半圆形凸轮以等速 度 v0沿水平轨道向右运动， 带 动 顶 杆 AB 沿 铅 垂 方 向 运动，如图所示，试求 j = 60º 时，顶杆 AB 的速 度。
理论力学电子教案
点的运动合成
25
例 题 6-3
3. 速度分析 绝对速度 va ： va=OA · w0＝r w0 ， 方向垂直于OA，沿铅 垂方向向上。 牵连速度 ve ： ve为所要求的未知量， 方向垂直于O1B 。 相对速度 vr ： 大小未知，方向沿摇 杆O1B，
理论力学电子教案
例 题 6-2
va j 25 . 92 tan j 0.486 ， ve
理论力学电子教案
点的运动合成
22
例 题 6-3
刨床的急回机构如图所示， 曲柄 OA 的一端 A 与滑块用铰 链连接，当曲柄 OA 以匀角速 度 w绕固定轴 O 转动时，滑块 在摇杆 O1B上滑动，并带动摇 杆O1B绕固定轴O1摆动，设曲 柄长 OA=r ，试求当曲柄在水 平位置，且 j30°时 , 摇杆的 角速度w1。
理论力学电子教案
点的运动合成
第6 章 点的合成运动
§6-1 绝对运动、相对运动 和牵连运动 §6-2 点的速度合成定理 §6-3 牵连运动为平移时点的 加速度合成定理
§6-4 牵连运动为转动时点的加 速度合成定理
理论力学电子教案
点的运动合成
2
前两章中我们研究点和刚体的运动，都是以地
面为参考系的。然而，实际问题中，为了研究问题
运动是绝对的，但运动的描述则是相对的。同
一物体的运动在不同的参考系中是不一样的。如车
轮上的点P的运动，如果以地面作为参考系，点的
轨迹是旋轮线，而如果以小车作为参考系，点的轨
迹则是一个圆，下面是一例动画演示。
理论力学电子教案
点的运动合成
4
动画演示
理论力学电子教案
点的运动合成
5
例如在以速度 v 向东行驶的车厢内，地板上有 一南北方向的橫槽AB，一小球M沿横槽以速度 u 向
2. 运动分析
绝对运动－直线运动。 相对运动－以C为圆心的圆 周运动。 牵连运动－绕O 轴的定轴转 动。
理论力学电子教案
点的运动合成
29
例 题 6-4
3. 速度分析
绝对速度 va ： va为所要求的未 知量，方向沿杆AB。 牵连速度 ve ： ve＝OA · w， 方向垂直于OA 。 相对速度 vr ：大小未知，方 向沿凸轮圆周的切线 。 应用速度合成定理 va ve vr
理论力学电子教案
点的运动合成
16
例 题 6-1
解：1. 选择动点，动系与定系
动点－ AB的端点A 。 动系－Ox'y'，固连于凸轮。 定系－固连于水平轨道。 2. 运动分析 绝对运动－直线运动。 相对运动－沿凸轮轮廓 曲线运动。 牵连运动－水平直线平移。
理论力学电子教案
点的运动合成
17
例 题 6-1
理论力学电子教案
点的运动合成
9Leabharlann Baidu
动点： 杆AB上点A 动系： 固结于偏心凸轮C上 定系： 固结在地面上 绝对运动:沿AB直线 相对运动:沿以C为 圆心的圆周 牵连运动:定轴转动
动画演示
理论力学电子教案
点的运动合成
10
思 考 题 6-1
对于图示系统，分别按下述情况说明绝对运动、 相对运动、牵连运动和牵连点的运动，并画出图示 瞬时相对速度、牵连速度及绝对速度的方位。定系 均固结于 地面。(a) 以滑块M为动点，动系固结于 O1A上； (b) 以小环M为动点，动系固结于杆OA上；
理论力学电子教案
点的运动合成
8
特别需要强调的是，由于动参考系的运动是刚 体的运动而不是一个点的运动，因此定义在任意瞬 时，动参考系上与动点重合的那一点称为牵连点， 该点应该是动系上在该瞬时与动点关系最紧密的。 显然牵连点不是动系上的一个固定点。有了牵连点 的概念，可以定义牵连速度和牵连加速度如下： 牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连 速度 ve 和牵连加速度 ae 。 下面通过例子来说明以上的各个概念。
理论力学电子教案
点的运动合成
36
因牵连运动为平移，故有 t n aa ae ar ar 2 2 4v 0 2 n 2 其中 ar vr / R ( v0 ) / R 3 3R 作加速度矢量图如图示，将 上式投影到法线CA上，得
的方便，例如，将一个复杂的运动分解为几个较为
简单的运动或将几个运动合成为一个复杂的运动，
都需要在不同的参考系中来研究物体的运动，分析
物体相对不同参考系的运动之间的关系。
本章研究点的运动合成 (或点的复合运动)。 分析点的速度合成和加速度合成的规律。
理论力学电子教案
点的运动合成
3
§6-1 绝对运动、相对运动和牵连运动
点的运动合成
21
3. 速度分析 绝对速度 va：大小已知，方 向沿铅垂方向向下。 牵连速度 ve ：大小已知，方 向水平向右。 相对速度 vr ：大小方向均 未知，为所要求的量。 应用速度合成定理 va ve vr
2 vr ve va 41.18 km / h ， 2
试求直升飞机相对于
军舰的速度。
理论力学电子教案
点的运动合成
20
例 题 6-2
y'
M
解：1. 选择动点，动系与定系 动点－直升飞机。 动系－O'x'y'，固连于军舰。
定系－固连于海岸。
2. 运动分析 x' 绝对运动－垂直向下直线 运动。 相对运动－直线运动。 牵连运动－水平方向平移。
O´
理论力学电子教案
理论力学电子教案
点的运动合成
30
§6-3 牵连运动为平移时点的 加速度合成定理
设动系Oxyz 相对定 系作平移，动点A的相对速 度为：
~ dr vr x i y j z k dt
(6 - 2)
动点的相对加速度为
~ 2 d r ar x y z i j k 2 dt
理论力学电子教案
点的运动合成
31
动系作平移, ve vO
动点的牵连加速度为 ae aO r O
动点的绝对速度为
va ve vr
v0 cot 60 0.577v0 v AB va
此瞬时杆AB的速度方向 向上。
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点的运动合成
19
例 题 6-2
军舰以速度 v=37.04 km/h 的速度前进，直
升 飞 机 以 每 小 时 18
km/h 的速度垂直降落。
3. 速度分析
牵连速度 ve ：ve= v0，方 向水平向右。 相对速度 vr ：大小未 知，方向沿凸轮圆周 的切线 。 绝对速度 va ：大小未知， 方向沿杆AB向上。
理论力学电子教案
点的运动合成
18
例 题 6-1
应用速度合成定理 va ve vr
得
va ve cot j
理论力学电子教案
点的运动合成
7
相对运动 — 动点相对于动系的运动。例如： 人在行驶的汽车里走动。 牵连运动 — 动系相对于定系的运动。例如： 行驶的汽车相对于地面的运动。 动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度称 v 为动点的绝对轨迹、绝对速度 a 和绝对加速度aa 。
动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度称 v 为动点的相对轨迹、相对速度 r 和相对加速度 ar 。
va vO x i y j z k（动系作平动，
i ，j，k 是常矢量） 动点的绝对加速度为 dv a aa ae ar aa aO x y z i j k dt 以上即为牵连运动为平移时点的加速度合成定理
理论力学电子教案
点的运动合成
23
例 题 6-3
动画演示
理论力学电子教案
点的运动合成
24
例 题 6-3
解： 1. 选择动点，动系与定系 动点－滑块 A 。
动系－O1x'y'，固连于摇杆O1B上。 定系－固连于机座。 2. 运动分析 绝对运动：以O为圆心的 圆周运动。 相对运动：沿O1B的直线 运动。 牵连运动：摇杆绕O1轴的 摆动。
33
例 题 6-5
已知：凸轮半径R ，v0 ， a0 ，试求：j =60o时, 顶杆AB的加速度。
解：取杆AB上的点A为 动点，动系与凸轮 固连。
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点的运动合成
34
例 题 6-5
绝对速度va = ? , 方向∥AB ； 相对速度vr = ? , 方向CA; 牵连速度ve=v0 , 方向 → ; 由速度合成定理
动点: M,
动系:O'x'y'z' 定系: Oxyz 相对轨迹: AB
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13
如图所示，Oxyz为定系，Ox yz为动系。 绝对位移: CC1
CC 1 CC C C1
dCC1 dCC dC C1 dt dt dt
va ve vr (6 - 1)
北运动，则坐在车厢内的人看到，小球向正北运动，
而站在地面上的人看到，小球往东偏北方向运动。
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6
上面的例子涉及点的合成运动中的基本概念： “一点两系三运动” 一 点： 即动点，所研究的点。 两 系： 定参考系和动参考系。 定参考系 — 固结于地面上的参考系，简称 定系。 动参考系 — 固结在相对于地面运动的物体 上的参考系，简称动系。例如 行驶的汽车等。 三运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。 绝对运动 — 动点相对于定系的运动。
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相 对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
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点的运动合成
14
va ve vr
(6 - 1)
说明： va — 动点的绝对速度； vr — 动点的相对速度； ve — 动点的牵连速度，是动系上一点(牵连 点)的速度。
va ve vr ,
作出速度平行四边形,如图示。
ve v0 2 vr v0 o sinj sin 60 3
理论力学电子教案
点的运动合成
35
例 题 6-5
绝对加速度aa=?, 方向∥ AB，待求。
2 相对加速度art =? 方向CA， an v r r /R
牵连加速度 ae=a0 , 方向→
其中
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点的运动合成
27
例 题 6-4
如图所示，半径为 R ，偏 心距为 e 的凸轮，以匀角速 度 w绕 O 轴转动，杆 AB能在 滑槽中上下平移，杆的端点 A 始终与凸轮接触，且 OAB 成一直线。试求在图示位置 时，杆AB的速度。
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28
例 题 6-4
解：1. 选择动点，动系与定系 动点－ AB的端点A 。 动系－Ox´y´，固连于凸轮。 定系－固连于机座。
理论力学电子教案
点的运动合成
32
思 考 题 6-1
牵连运动为平移时点的加速度合成定理 dve 的推导过程中, 为何不直接用 a ? aa ae ar e dt
思 考 题 6-2
能否说点的牵连速度就是动系的速度，动点
的牵连加速度就是动系的加速度。
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11
(c) 以小车2为动点，动系固结于小车1上； (d) 以小球M为动点，动系固结于车上。
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12
§6-2 点的速度合成定理
绝对速度和相对速度是在不同参考系中来描述同 一动点的速度，因此它们之间应该有某种关系, 本节 研究点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。
点的运动合成
26
例 题 6-3
应用速度合成定理 va ve vr
1 因为 va rw0 ，j 30 , sin j , 2 rw0 ve 所以 2 设摇杆在此瞬时的角速度为w1，则
ve va sin j
ve O1 A w1
O1 A 2r ， w0 w1 所以可得 4
上面的推导过程中，动参考系并未限制作何运动， 因此点的速度合成定理对任意的牵连运动都适用。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，每一速度包 括大小‚方向两个元素，总共六个元素，已知任意四 个元素，就能求出其余两个。
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15
例 题 6-1
凸轮顶杆机构中半径 为 R 的半圆形凸轮以等速 度 v0沿水平轨道向右运动， 带 动 顶 杆 AB 沿 铅 垂 方 向 运动，如图所示，试求 j = 60º 时，顶杆 AB 的速 度。
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例 题 6-3
3. 速度分析 绝对速度 va ： va=OA · w0＝r w0 ， 方向垂直于OA，沿铅 垂方向向上。 牵连速度 ve ： ve为所要求的未知量， 方向垂直于O1B 。 相对速度 vr ： 大小未知，方向沿摇 杆O1B，
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例 题 6-2
va j 25 . 92 tan j 0.486 ， ve
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22
例 题 6-3
刨床的急回机构如图所示， 曲柄 OA 的一端 A 与滑块用铰 链连接，当曲柄 OA 以匀角速 度 w绕固定轴 O 转动时，滑块 在摇杆 O1B上滑动，并带动摇 杆O1B绕固定轴O1摆动，设曲 柄长 OA=r ，试求当曲柄在水 平位置，且 j30°时 , 摇杆的 角速度w1。
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点的运动合成
第6 章 点的合成运动
§6-1 绝对运动、相对运动 和牵连运动 §6-2 点的速度合成定理 §6-3 牵连运动为平移时点的 加速度合成定理
§6-4 牵连运动为转动时点的加 速度合成定理
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2
前两章中我们研究点和刚体的运动，都是以地
面为参考系的。然而，实际问题中，为了研究问题
运动是绝对的，但运动的描述则是相对的。同
一物体的运动在不同的参考系中是不一样的。如车
轮上的点P的运动，如果以地面作为参考系，点的
轨迹是旋轮线，而如果以小车作为参考系，点的轨
迹则是一个圆，下面是一例动画演示。
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4
动画演示
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5
例如在以速度 v 向东行驶的车厢内，地板上有 一南北方向的橫槽AB，一小球M沿横槽以速度 u 向
2. 运动分析
绝对运动－直线运动。 相对运动－以C为圆心的圆 周运动。 牵连运动－绕O 轴的定轴转 动。
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例 题 6-4
3. 速度分析
绝对速度 va ： va为所要求的未 知量，方向沿杆AB。 牵连速度 ve ： ve＝OA · w， 方向垂直于OA 。 相对速度 vr ：大小未知，方 向沿凸轮圆周的切线 。 应用速度合成定理 va ve vr
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例 题 6-1
解：1. 选择动点，动系与定系
动点－ AB的端点A 。 动系－Ox'y'，固连于凸轮。 定系－固连于水平轨道。 2. 运动分析 绝对运动－直线运动。 相对运动－沿凸轮轮廓 曲线运动。 牵连运动－水平直线平移。
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例 题 6-1
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动点： 杆AB上点A 动系： 固结于偏心凸轮C上 定系： 固结在地面上 绝对运动:沿AB直线 相对运动:沿以C为 圆心的圆周 牵连运动:定轴转动
动画演示
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思 考 题 6-1
对于图示系统，分别按下述情况说明绝对运动、 相对运动、牵连运动和牵连点的运动，并画出图示 瞬时相对速度、牵连速度及绝对速度的方位。定系 均固结于 地面。(a) 以滑块M为动点，动系固结于 O1A上； (b) 以小环M为动点，动系固结于杆OA上；
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8
特别需要强调的是，由于动参考系的运动是刚 体的运动而不是一个点的运动，因此定义在任意瞬 时，动参考系上与动点重合的那一点称为牵连点， 该点应该是动系上在该瞬时与动点关系最紧密的。 显然牵连点不是动系上的一个固定点。有了牵连点 的概念，可以定义牵连速度和牵连加速度如下： 牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连 速度 ve 和牵连加速度 ae 。 下面通过例子来说明以上的各个概念。
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因牵连运动为平移，故有 t n aa ae ar ar 2 2 4v 0 2 n 2 其中 ar vr / R ( v0 ) / R 3 3R 作加速度矢量图如图示，将 上式投影到法线CA上，得
的方便，例如，将一个复杂的运动分解为几个较为
简单的运动或将几个运动合成为一个复杂的运动，
都需要在不同的参考系中来研究物体的运动，分析
物体相对不同参考系的运动之间的关系。
本章研究点的运动合成 (或点的复合运动)。 分析点的速度合成和加速度合成的规律。
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3
§6-1 绝对运动、相对运动和牵连运动
点的运动合成
21
3. 速度分析 绝对速度 va：大小已知，方 向沿铅垂方向向下。 牵连速度 ve ：大小已知，方 向水平向右。 相对速度 vr ：大小方向均 未知，为所要求的量。 应用速度合成定理 va ve vr
2 vr ve va 41.18 km / h ， 2
试求直升飞机相对于
军舰的速度。
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点的运动合成
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例 题 6-2
y'
M
解：1. 选择动点，动系与定系 动点－直升飞机。 动系－O'x'y'，固连于军舰。
定系－固连于海岸。
2. 运动分析 x' 绝对运动－垂直向下直线 运动。 相对运动－直线运动。 牵连运动－水平方向平移。
O´
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