第2章 维纳滤波和卡尔曼滤波

提出 年代
维纳 滤波器
x(n-1), x(n-2),
....Hale Waihona Puke Baidu.
相关函数 H(z)或h(n)
平稳
解析形式
40 年代
卡尔曼 滤波器
前一个估 计值和最 近的观察
状态方程 量测方程
状态变量 估计值
平稳或 非平稳
递推算法
60 年代
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2.2 维纳滤波器的离散形式—时域解
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2.2 维纳滤波器的离散形式—时域解
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 设计维纳滤波器
展开(2.2.8)式:：
分别计算(2.2.9）每一项：
(2.2.9)
e(n) d(n) hj x(n j) j0
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2.2 维纳滤波器的离散形式—时域解
整理上面结果，得：
因此，使均方误差最小的充要条件描述如下：
（2.2.14)
E［x*(n-j)e(n)］=0 j=0, 1, 2, …
对上式取共轭，利用 ryx(-k)=r*xy(k)可得维纳－霍夫方程:
(2.2.20)
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2.2 维纳滤波器的离散形式—时域解
特殊情况下的维纳－霍夫方程：h(n)是长度为M的因果序列，
或h(n)是长度为M的FIR滤波器。
(2.2.21)
上式取M个k值，得M个方程：
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
2.1 引言 2.2 维纳(Weiner)滤波器的离散时域解 2.3 离散维纳滤波器的z域解 2.4 维纳预测 2.5 卡尔曼(Kalman)滤波
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2.1 引 言
§2.1 引 言
随机信号处理讨论的滤波问题：就是一个估计问题，或者说是
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2.2 维纳滤波器的离散形式—时域解
clc;close all;clear all; %% 信号产生 % 观测点数 N = 2000; n = linspace(0, 1200, N); % 信号 d = 2 * sin(pi * n / 128 + pi / 3); % 噪声（方差1.25） v = sqrt(1.25) * randn(N , 1); % 观测样本值 x = d' + v;
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2.2 维纳滤波器的离散形式—时域解
维纳－霍夫方程( Wiener-Hopf )的矩阵形式：
(2.2.23)
维纳滤波器的最佳解：
(2.2.24)
存在问题：求维纳滤波器的时域因果解，需要矩阵求逆，计
算量大(M3)，不是一个有效的方法。
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从噪声中提取信号、抑制噪声。 本章介绍维纳(Wiener)滤波器和卡尔曼(Kalman)滤波器。 通常可以将观测数据x(n)表示为信号s(n)与噪声v(n)之和。
x(n)=s(n)+v(n)
s(n)
（2.1.1）
x(n) v(n)
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2.1 引 言
滤波的目的：利用滤波系统h(n)取出有用信号s(n)， s(n)又称为
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2.1 引 言
三种估计形式：
(1) 预测问题：已知x(n-1), x(n-2), …, x(n-m)，估计s(n+N), N≥0 (2)过滤或滤波：已知x(n-1), x(n-2), …, x(n-m) ，估计s(n) (3)平滑或内插: 已知x(n-1), x(n-2), …, x(n-m)，估计s(n-N), N≥1
误差为eopt(n)，则有
(2.2.17)
最佳状态下的信号关系(向量和几何表示)：
eopt(n)
上式假定输入和期望信号为0均值。
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d(n)
yopt(n)
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2.2 维纳滤波器的离散形式—时域解
2.2.2 维纳—霍夫(Wiener-Hopf)方程 重写正交性原理公式(2.2.15):
§2.2 维纳滤波器的离散形式—时域解 2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法
考虑到系统的因果性，即h(n)=0，n<0
（2.2.2）
设期望信号为d(n)，计算误差和均方误差为 e(n)=d(n) －y(n)=s(n) －y(n)
（2.2.３）
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（2.2.４）
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下面求使均方误差最小的滤波器h(n)。 定义h(j)－>hj，设hj=aj+jbj为复数，考虑复变量求导问题。
定义求导符号： 维纳滤波的极小值问题变为：
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（2.2.７）
（2.2.8）
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2.2 维纳滤波器的离散形式—时域解
维纳滤波WF与卡尔曼滤波KF：属于过滤或预测问题，采用最
小均方误差准则(MMSE)为最佳准则。 MMSE: Minimum Mean Square Error。
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2.1 引 言
维纳滤波器与卡尔曼滤波器比较：
名称
已知数据 需要计算 计算结果
适用 条件
求解方法
期望信号，h(n)就是估计器。
x(n)
s(n)＋v(n)
h(n)
y(n) sˆ(n)
主要问题：设计滤波器h(n)，使滤波器输出y(n)是s(n)的一个最
佳估计。采用不同的最佳准则，估计结果可能不同。这样的滤 波，通信中称为波形估计； 自动控制中，称为动态估计。
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（2.2.15）
结论：均方误差达到最小值的充要条件是误差信号与任一进入
估计器的输入信号正交。这就是著名的正交性原理。
正交性原理的重要意义：它提供了一个简便的数学方法，来判
断线性滤波系统是否工作于最佳状态。
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2.2 维纳滤波器的离散形式—时域解
假定滤波器工作于最佳状态，相应滤波器输出yopt(n)与估计
k=0： k=1：
h0rxx(0)+h1rxx(1)+…+hM－1rxx(M-1)=rxd(0) h0rxx(1)+ h2rxx(0)+…+ hM－1rxx(M-2)= rxd(1)
…
k=M-1： h0rxx(M-1)+ h1rxx (M-2)+…+hM－1rxx(0)= rxd(M-1)
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