数学教师承担什么样的角色

数学教师承担什么样的角色

---评讲中试卷的三个函数题

长阳二中 胡新生

教师在教育教学中的作用与地位是一个众说纷纭的话题。数学教师在教育教学中又应该承担什么角色呢？下面我给出一个教学案例一起分享。

函数抽象于生活实际，将为解决生活实际服务。函数是数学的重要思想方法，那么在学习中务必要重视函数的工具作用，增强函数意识，从而提高分析解决问题的能力。于是在高三的一次月考后我对试卷中的三个函数问题作出如下引导。

师：同学们，本节课我们对本次月考中的三个函数问题进行继续探讨，希望同学们能从中去领悟函数的工具作用。下面请同学们再读填空题的第二题。

题： 用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比 为2：1，则其体积最大是 .

师：此题研究体积，那么从什么角度去考虑？

众生：体积的计算，长方体体积等于长乘宽乘高。

师：正确。应用题建立数学模型是关键，此题原始的数学模型就是高宽长长方体⨯⨯=V ，我们怎么去用表达它？也就是怎么用数学符号描述？

某生：可以设宽为x ，则长为x 2,得高为2

6948418x x x -=--，从而32692

692x x x x x V -=-⋅⋅=。 师：非常好！，设变量描述此式，并且长、宽、高是相关的。不过…还需注意什么？ 生：所设变量的范围。

师：很好，也就是函数的定义域。怎么得到函数的定义域？

某生：结合实际情况，长方体的各棱长都大于零。

师：好的！可以看出函数在我们的生活中，我们要懂得用变化的（函数）观念来看待事物 下面请同学们自行完成此题。

……等待大部分基本完成后

师：下面请同学们分析填空题的第五题，注意读懂题意。

题：集合}0|{}011|{2≥=+-+=x x bx x x A 有两个元素，

则实数b 的取值范围是 . 师：此题的含义是（翻译成我们通俗的语言）…

众生：集合A 中有两个元素。

师：准确点就好啦…

某生甲：集合A 中有两个正数。

……沉默片刻。 某生乙：方程0112=+-+bx x 在),0[+∞∈x 有两个根。

师：是否需要求该方程的根？

某生丙：不需要，方程根的个数可以转化为曲线交点，数形结合可以求解。

师：很正确。如何转化？ 众生：函数bx x y +-+=112在),0[+∞∈x 与x 轴有两个交点…

师：函数图象便于分析么？

某生乙：可以转化为函数12+=

x y 的图像与函数1+-=bx y 的图像在),0[+∞∈x 有两个交点。

师：能否说说原因？等等，让其他同学思考一会儿。

某生丁：方程0112=+-+bx x 在),0[+∞∈x 有两个根，即bx x -=+112在),0[+∞∈x 有两个根，从而等价于函数12+=x y 的图像与函数1+-=bx y 的图像在),0[+∞∈x 有两个交点。

师（微笑）：你说出了我要说的话，下面请同学们去绘出两个函数的图象，并分析结果，可以相互讨论。

……估计一般的同学可以数形结合了之后

师：刚才我们应该进一步认识到了方程与函数的关系，事实上方程的根就是相关函数交点的横坐标。下面请同学们分析解答题第21题的第二问，特别请同学们注意数学符号形式的引导，要能从现象透视本质… 题：已知函数mx x x f ++=21ln )(，当1=m ，且01≥>≥b a 时，

证明：b a b f a f 22)()(-<-。

师：回忆证明不等式的常用方法，并思考条件与结论是否有必然的联系。

众生：证明结论需利用函数的性质的。

师：怎么去联系与利用？同学们可以相互讨论一下。

……

某生：可以将要证明的转化为b b f a a f 2)(2)(-<-，从而得到函数x x f x g 2)()(-= 利用)(x g 在]1,0[的单调性。也就是证明)()(b g a g <。

师：太好啦！可以看出不等式是函数的一个方面。并且在变形时还遵循了一个原则？ 众生：“物以类聚”。

师：透过现象分析本质是我们要认真思考的。那么，同学们是否还有其它方式？试试看… ……稍等后。

师：我们要解决的问题是否可以看作比较两个数的大小关系？

众生：哦…

某生：作差比较，也就是去判定022)()(<+--b a b f a f 。

师：好的！同学们思考怎么判定？

……一会儿后。

师：同学们别忘了函数哦！

某生：就是求函数的最大值。

师：求哪个函数的最大值？

某生：可以当作关于a 的函数，即b b f a a f a h 2)(2)()(+--=在]1,(b a ∈上的最大值。 另一生：也可以当作关于b 的函数，即b b f a a f b h 2)(2)()(+--=在),0[a b ∈上的最大值。 又一生：还可以考虑直线的的斜率公式就是2)()(<--b

a b f a f ，就是x x x f ++=21ln )(在]1,0[∈x 上任意两点连线的斜率取值范围，之后利用导数的几何意义解答。

师（微笑）：非常好，通过现象去分析本质是解决问题的又一个关键。它不仅仅用于数学解题。那么，剩下的请同学们自己完成，并认真思考通过这三个题你获得了什么。 ……

反思练习1：设球的半径为时间t 的函数()R t 。若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径

A.成正比，比例系数为C

B. 成正比，比例系数为2C

C.成反比，比例系数为C

D. 成反比，比例系数为2C

反思练习2：已知函数)(x f =3231()2ax x x R -

+∈，其中0>a 若方程0)(=x f 有三个根，则a 的取值范围是 .

反思练习3：证明对任意的正整数n ，不等式23

1

11ln(1)n n n +>-恒成立。 师：请同学们把三个反思练习完成好。不过千万别忘了，函数抽象于生活实际以及方程、不等式与函数的真正联系；当然更要学会通过现象去联系、去分析、去挖掘事物的本质，以达到解决问题的效果。

一节课就这样结束了。作为数学教师究竟要承担什么角色是需要探讨的问题，也是一个长久的话题。最起码教师不能是“教书匠”。