第4章插值与曲线拟合讲解

由此可知：
反推：根据给定的条件可知，Li(x0)=0 ,
Li(x1)=0 , … Li(xi-1)=0, Li(xi+1)=0, … , Li(xn)=0。则可 判定x0, x1, x2, …, xi-1, xi+1, …,xn均为方程
Li(x)=0 的根。依据有关定理，有：
Li(x)=λ(x-x0) (x-x1)…(x-xi-1) (x-xi+1)... (x-xn) 再依据
概述
设 y f是(x在) 上{a有,b一} 定光滑性的函数，
是 上x0, x1,个..互...不x. n相同的{a点,b}， n在这1 个点上的取
值分f 别(x) n。所1 谓的插值法就是求一y0,个y1形,...式...y简n 单
的函数 ,使得
( x)
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i=0,1,2,…,n
通常(xi称) 给f 定(xi的) 点yi 为插值节点，称函数 为
xk xk 1
Lk 1(x) x xk xk 1 xk
Lk(x), Lk+1(x)称为线性插值基函数，P1(x)称为线 性插值函数，也称为线性插值多项式。
程序框图设计
读入x0,x1,y0,y1 读入x 计算L0 计算L1 计算y=y0∙L0+y1∙L1 输出y
4.1.2 抛物插值
基本思想：用二次插值多项式P2(x)近似代替被插 函数f(x)计算函数值。从几何意义上就是在插值区 间上用抛物线近似地代替被插函数曲线f(x)。
j0
上式表明，当x=xi时，Pn(xi)=f(xi)(i=1,2,…,n),这说明 n次多项式Pn(x)满足插值条件，即Pn(x)就是所求的插 值多项式。一般称形如Pn(x)的多项式为拉格朗日插 值多项式。
4.1.3 插值余项
用插值多项式Pn(x)作为被插函数f(x)的逼近， 除了在插值节点处以外， Pn(x) 与被插函数f(x)是 有差别的，这个差别可以用函数：
Lk 1( x)
( x xk )(x xk 1)
( xk 1 xk 1)(xk 1 xk )
程序框图设计
读入x0,x1,x2,y0,y1,y2 读入x 计算L0 计算L1 计算L2 计算y=y0∙L0+y1∙L1+y2∙L2 输出y
4.1 Lagrange插值方法
设给定函数y=f(x)有n+1个数据点(x0,y0), (x1,y1) , … , (xn,yn)。今定义函数
Rn(x)=f(x)- Pn(x) 来表示，并且称之为插值余项。
4.2 分段插值
根据所给条件，选择尽可能小的 插值区间，使用低阶的插值（如线性 插值和抛物插法进行插值）以获取符 合计算精度要求的计算结果。
选择插值结点的原则 应进行内插 插值区间尽可能小
4.2.1 分段线性插值
分段线性插值公式：
只要系数 a0, a1,...,an 确定，则 Pn(x) 就确定了。
a0 a1x0 a2 x02 an x0n y0
a0 a1x1 a2 x12 an x1n y1
a0 a1xn a2 xn2 an xnn yn
求a0,a1,…an可通过求解此线性方程组， 一般而言，所要求的n次多项式的解是唯一的， 证明此唯一性。
证明：
设有两个多项式Pn(x)和Qn(x)都满足插值要 求，则对于
就有
R(x)= Pn(x)- Qn(x)
R(xi)=0, i=0,1,2,…,n 由此可知其在插值区间上有n+1个零点，R(x) 也是一个多项式，而且只是一个n次多项式，由 此可断定
也即有
R(x)≡0
即唯一性得证
Pn(x)=Qn(x)
则有
Li(xi)=1
Li(xi)= λ(xi-x0) (xi-x1)... (xi-xi-1) (xi-xi+1)... (xi-xn)=1
已知：Li(x)，若令
n
Pn (x) Li (x) yi
i0
则当x=xi时有
n
Pn (xi ) Lj (xi ) yi yi
(i 1,2,..., n)
第4章 插值法与曲线拟合
南京中医药大学信息技术学院 制作:张季
第4章 插值法与曲线拟合
4.1 Lagrange插值法 4.2 埃特金算法 4.3 Newton插值法 4.4 差分与等距结点插值 4.5 埃尔米特插值法 4.6 有理分式插值法 4.7 函数逼近 4.8 曲线拟合
内容提要：
插值是数值逼近的重要方法之一。是根据给 定的一组自变量和函数值，求取未给出的结点处 函数值的近似值。本章主要介绍拉格朗日插值， 牛顿插值和分段低阶多项式插值方法。
y P1(x) yk • Lk(x) yk 1 • Lk 1(x)
其中： Lk(x) x xk 1
xk xk 1
Lk 1(x) x xk xk 1 xk
分段线性插值结点的确定： 1, 当x<x1时
i= k, 当xk-1<x<xk时
n, 当x> xn-1时
算法设计：
1)当x<x1时，取i=1，直接使用线性插值公式计算 插值结果。 2)当x>xn-1时，取i=n，直接使用线性插值公式计 算插值结果。 3)当x>x1时，则
插值公式：
y P2(x) yk 1 • Lk 1(x) yk • Lk(x) yk 1 • Lk 1(x)
其中： Lk 1( x) ( x xk)(x xk 1)
( xk 1 xk 1)(xk 1 xk )
Lk ( x) ( x xk 1)(x xk 1) ( xk xk 1)(xk xk 1)
4.1.1 线性插值
基本思想：在插值区间上，用一次插值多项式近似 代替被插函数f(x)来求取非结点处函数值。从几何意 义上就是在插值区间上用一条直线近似地代替被插 函数曲线f(x)。
插值公式： y P1(x) yk • Lk(x) yk 1 • Lk 1(x)
其中： Lk(x) x xk 1
函数 关于插值节点xii的插值函数(插值多项式(x)，)
称 为被f (插x)函数。
f (x)
插值多项式的存在唯一性
设函数 y f (x) 在区间 {a,b} 上的代数插值多项 式是
Pn(x) a0xn a1xn 1 a2xn 2 ... an 1x an 且满足
Pn(xi) yi, ，其中 i 0,1,2,...n