水塔供水

3. 拟合第1供水时段[9，11]的流量
在第1供水时段(t = 9~11)之前(即第1用水时段)和之后 (第2用水时段)各取2点, 其流量已经得到, 用它们拟合第1供 水时段的流量。为使流量函数在t =9 和t =11连续,利用所取 4个点, 拟合3次多项式(即曲线必过这4个点), 实现如下：
% gsliuliang_1.m 第1供水时段的流量 %取第1时段在t=8，9的流量 %取第2时段在t=11，12的流量 %将四个点合并 %拟合3次多项式 % 给出时刻t=9,10的流量 xx1=-polyval(a1,[8 9]); xx2=-polyval(a2,[11 12]); xx12=[xx1,xx2]; c12 = polyfit([8 9 11 12],xx12, 3); xx10=polyval(c12,[9 11]);
h′ = dh ( t ) dt
0.92 948
10.92
1.84 931
10.95 1082 20.84
2.95 913
12.03 1050 22.01
3.87 898
12.95 1021 22.96
4.98 881
13.88 994 23.88
5.90 896
14.98 965 24.99
7.01 852
第1用水时段流量图
求得在[11,20.8]内各时刻的流量值(水位变化率)如下表：
ti 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 h2’ 33.02 30.75 29.07 27.60 26.17 25.23 24.52 23.98 23.77 23.86 24.16
时刻 水位 时刻 水位 时刻 水位 0 968
9.98
3. 水泵工作时单位时间的供水量大致是常数，此常 数大于单位时间的平均流量。 4. 流量是对时间的连续函数。 5. 流量与水泵是否工作无关。 6. 由于水塔截面积是常数, S=(17.4/2)2π=237.8m2,为简 单起见，计算中将流量定义为单位时间流出的水的高度， 即水位对时间变化率的绝对值（水位是下降的），最后给 出结果时再乘以S即可。 即：水位是时间的连续函数 水位对时间的变化率(流量) 任何时刻的流量： h=h(t)
17.4m
8.2m
10.8m
表1是某一天的水位测量记录(符号“//”表示水泵启动)， 试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流 量及一天的总用水量。
二、问题的分析
流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是正圆柱 形，横截面积是常数，在水泵不工作的时段，流量很容易 从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时 段的流量。 水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合 得到，作为用于拟合的原始数据，我们希望水泵不工作的 时段流量越准确越好。 这些流量大体可由两种方法计算: 一是直接对表1中的水位用数值微分算出各时段的流 量，用它们拟合其它时刻或连续时间的流量。 二是先用表中数据拟合水位~时间函数，求导数即可得 到连续时间的流量。
3. 一天总用水量的估计
总用水量等于两个水泵不工作时段和两个供水时段用 水量之和，它们都可以由流量对时间的积分得到。
V = ∫ V ′dt = − S ∫ h′dt
t0 t0
t
t
五、模型求解
1. 拟合第1用水时段[0,9] 的水位、流量
% sdliuliang_1.m % 第1用水时段的水位,并导出流量，水泵启动的4个时刻水位输入0 clc; t=[0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 9.98 10.92 ... 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 ... 19.04 19.96 20.84 22.014 22.96 23.88 24.99 25.91]; h=[968 948 866 843 931 913 822 0 898 0 881 869 852 839 822 0 0 ... 892 ... 1082 1050 1021 994 965 c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3); a1=polyder(c1); x10=-polyval(a1,t(1:10)); 941 918
2. 确定流量~时间函数
对于 第 1 、 2 用水时段， 只需将 水位函数 hi=hi(t), i=1,2 求导数即可 ，对于 第3 用水时段， 利用 3个水位测量记录 数值微分，作为对应时点的流量。 对于两个供水时段的流量，则用供水时段前后（水泵 不工作时段）的流量拟合得到，并且将拟合得到的第2供 水时段流量 外推， 将第 3用水时段流量包含 在第 2供水时 段内，需要拟合四个流量函数。
%将第一用水时段[0 , 9]细分 %h1输出tp1时刻的水位 %x1输出tp1时刻的流量（取负后变为正值） % 绘制第一用水时段水位曲线图
plot(tp1,h1,'r-', t(1:10),h(1:10), 'b*'); title('[0 9]时间段的水位曲线'); xlabel('t-时间');ylabel('h1 -水位'); figure plot(tp1,x1,'r-', t(1:10), x10,'b*'); title('[0 9]时间段的流量曲线'); xlabel('t-时间');ylabel('dh/dx -流量');
x2= -polyval(a2,tp2); %x2输出tp2时刻的流量（取负后变为正值） plot(tp2,h2,'r-', t(13:23),h(13:23), 'b*'); % 绘制第二用水时段水位曲线图 title('[11 20.8]时间段的水位曲线'); xlabel('t-时间');ylabel('h2 -水位'); figure plot(tp2,x2,'r-', t(13:23), x20,'b*'); title('[11 20.8]时间段的流量曲线'); % 绘制第一用水时段流量曲线图
求得在[0, 9]内各时刻的流量离散值 (水位变化率)如下表：
ti h1 ’
0 22.11 0.92 19.81 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 15.38 8.97 16.69 17.91 16.14 15.12 14.42 14.28 14.64
tp1 = 0:0.1:9; h1= polyval(c1,tp1); x1= -polyval(a1,tp1);
c2=polyfit(t(13:23),h(13:23),3); % 用3次多项式拟合第2用水时段水位 a2=polyder(c2); x20=-polyval(a2,t(13:23)); % a2输出多项式（系数为c2）导数的系数 %给出t(11)-t(21)上的水位变化率，即流量
第1用水时段水位图 [0,9]时段 水位函数 [0,9]时段 流量函数
h1 = −0.0785t 3 +1.3586 t 2 − 22.1079t + 967.7356, t ∈ [0,9] dh1 = −0.2356t 2 + 2.7173t − 22.1079, t ∈ [0,9]
tp2 = 11:0.1:20.8; h2= polyval(c2,tp2);
%将第二用水时段[11 , 20.8]细分 %h2输出tp2时刻的水位
三、模型假设
一般说来数值微分的精度不高，何况测量记录还是 不等距的，数值微分的计算尤其麻烦。下面我们用第二 种方法处理。 有了任何时刻的流量，就不难计算一天的总用水量。 (用水量=流量对时间的积分) 其实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直 接得到，如表1可知从t=0到t=8.97(h)水位下降了968 – 822=146(cm)，乘以水塔的截面积就是这一时段的用水量。 这个数值可以用来检验拟合的结果。 1. 流量只取决于水位差，与水位本身无关。 按照Torricelli (托里切利, 1608-1647, 意大利数学家、 物理学家、气压计原理发现者)定律从小孔流出的流体的 流速正比于水面高度的平方根，题目给出水塔的最低和 最高水位分别是8.2m和10.8m(设出口的水位为零),因为
水塔流量的估计
一、问题的提出 二、问题的分析 三、模型假设 四、估计流量 五、模型求解 六、模型检验与结果分析 六、 模型检验与结果分析
一、问题的提出
某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通 过测量其水位来估计其流量。但面临的困难是，当水塔水 位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水， 到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的 水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约 2h(小时)。 水塔是一个高为 12.2m, 直 径为 17.4m是正圆柱 。按照设 计 , 水塔水位降至约 8.2m 时 , 水泵自动启动 , 水位升到约为 12.2m 10.8m时水泵停止工作。
第2用水时段水位图
第2用水时段流量图
[11,20.8]时 h2 = −0.0457t 3 + 2.6258 t 2 − 74.1016t +1639.3699, t ∈[11,20.8] 段水位函数 [11,20.8]时 dh2 = −0.1370t 2 + 5.2517t − 74.1016, t ∈ [11,20.8] 段流量函数
1059 1035 1018]; % 用3次多项式拟合第1时段水位 % a1输出多项式（系数为c1）导数的系数 %给出t(1)-t(10)上的水位变化率，即流量
% 绘制第一用水时段流量曲线图
2
2. 拟合第2用水时段[11,20.8] 的水位、流量
% sdliuliang_2.m 第2用水时段的水位,并导出流量
10.8 / 8.2 = 1.15 ≈ 1 所以可忽略水位对速度的影响。
2. 水泵第1次供水时段为t=9到t=11(h),第2次供水时段 为t=20.8到t=23 (h)。这是根据最低和最高水位分别是8.2m 和10.8m及表1的水位测量记录作出的假设。
1
其中前3个时刻取自实测数据（精确到0.1h）,最后1个 时刻来自每次供水约两小时的已知条件（从记录看，每2 次供水时段应在有记录的22.96h之后不久结束）。
表1: 水位测量记录（时刻：h，水位：cm）
时刻 水位 时刻 水位 时刻 水位
0 968 9.98 // 19.04 866 0.92 948 10.92 // 19.96 843 1.84 931 10.95 1082 20.84 822 2.95 913 12.03 1050 22.01 // 3.87 898 12.95 1021 22.96 // 4.98 881 13.88 994 23.88 1059 5.90 896 14.98 965 24.99 1035 7.01 852 15.90 941 25.91 1018 7.93 839 16.83 918 8.97 822 17.93 892
tp12 =9:0.1:11; x12 = polyval(c12,tp12); plot(tp12,x12,'r-');
%将第一供水时段[9, 11]细分 %x12输出第一供水时段各时刻的流量 % 绘制流量曲线图
15.90 941 25.91
7.93 839
16.83 918
8.97 822
17.93 892
//
19.04
//
19.96
866
843
822
//
//源自文库
1059
1035
1018
v(t)=-h’(t)S
四、估计流量
1.拟合水位~时间函数 从表1 测量记录看，一天有两个供水时段（以下称 第1供水时段和第2供水时段）和3个水泵不工作时段(以 下称第1用水时段t=0到t=8.97，第2用水时段t=10.95到 t=20.48和第3用水时段t=23以后)。 对第1、2用水时段的测量数据分别作多项式拟合， 得到水位函数 h1=h1(t) 和h2=h2(t) 。为使拟合曲线比较 光滑，多项式次数不要太高，一般用3~6次。由于第3 用水时段只有3个测量记录，无法对这一时段的水位作 出比较好的拟合，可采用外推的办法解决。