数学建模常用模型与案例整理

数学建模常用模型与案例整理

薛力源谭楚婧夏亮军

建模基本方法：机理分析，测试分析

最常见的建模类型：优化问题，或结合模拟建模

案例1：血管三维重建

本题要求计算100张平行血管切片的中轴线与半径并给出具体算法，最后用MatLab重构整个血管模型，本题的第一个突破点是一定要意识到每一个平行切痕的最大内切圆半径均相等，且等于管道半径。这主要是由于在假设中假定血管的每一个正切切片是标准正圆（或看做小球沿一定曲线运动包络形成，求新的轨迹即是中心轴线），因此本问题转换成为如何内在一张二值图像中快速找到最大内切圆的算法设计，并最后通过对各个切片圆心在空间的曲线进行插值确定其中轴线。

仔细观察第一张图可以发现其近似正切，因此可以依据此基本确定半径的取值范围，其大约在28-32之间，而之后找寻圆心和半径算法可如下设计：

1.确定每一张切片二值图像的外接四边形，将四边形向内缩小约26个像素，

计算边界像素到小四边形内各个点之间的距离d ij(k)，记第一次迭代r(1)=28，淘汰掉对于小四边形内像素k0，存在d ij(k)

2.在所有k̅中迭代r(2)=29，重复进行以上过程，再次淘汰部分像素点，剩下

的像素点集合即是可能的圆心。

3.依次迭代r直至{k}=∅，此时，上一轮迭代所剩余的像素点即是可能的中心。

最后可以计算出100张图像的半径约为30，至此已经完全得到了关于血管中轴线的坐标数据(x,y)，基于此在空间中绘制出中轴线的曲线，将其分别投影到xoy，yoz，xoz平面运用三次样条法分别进行插值即可最终得到平滑的血管切片中轴线。然而此种方法的缺点在于速度缓慢且效率不高，且投影到三个平面分别做三次样条插值的做法极其不可取，因此在这里我们给出用B样条曲线逼近的方法计算出其中轴曲线。

B样条曲线是广泛应用的形状数学方法，在三维医学图像学、人体解剖学、机械设计等学科均有应用。

p次B样条曲线的方程为

C (u )=∑N i,p (u )P i ， 0≤u ≤1n

i=0

，

其中P i 为控制顶点；N i,p (u )为p 次样条基函数，由节点矢量U ={u 0=⋯=u p ,u p ,…,u n ,u n+1=⋯=u n+p+1}确定。先计算数据点的参数值u ̅i 和节点矢量U 就可以建立并求解位置控制顶点的线性方程组。

在模型和算法的改进部分，应当注意到本快速算法的两个问题，首先，将原二值图像边界外切四边形向内缩小约26个像素缩小圆心的所有范围的办法对于具有近似对称关系的图像满足需要，但若图像不具有对称关系，此方法将有可能完全「躲开」最大内切圆圆心，如下图

一个好的办法是设定一个对称性指标c 作为外接四边形内陷像素点的个数，对于对性极差的图像，应该具有更大的圆心搜索范围。

第二个问题在于，进行圆心搜索过程中，算法的收敛被定义为{k }=∅，之后查找上一次迭代的结果即是最终结果，然而此过程的问题在于，无法证明其收敛结果k 是唯一的，意即上一次的迭代结果中{k}内元素的个数不唯一，这将导致无法预料的结果而不得不人工干预，为此应当另设一圆心评价指标A(k)，其中

min A (k )=∑(d ij (k )

−30)ij

所对应的像素点k 才是圆心的最可能取值。

对于血管模型的重构可以重新用解析的离散数值运用matlab 绘制出来 外接四边形

最大内切圆

检索四边形

案例2：我国各地普通高等教育发展状况

问题要求对我国各地区普通高等教育发展水平进行分类，并指出各类地区普通高等教育发展状况的差异与特点；最后对我国各地区普通高等教育发展水平进行综合评价和排名。

本问题的主要分析点是综合评价模型的建立，虽然题目中已经告知了综合评价指标体系，然而在所给的数据中包含了十项指标，这要求先对所给的指标进行分类，挑选出差异性或不相关性最大的五项指标，之后对30个省进行综合评价。

对于第一个问题，最便捷的方法应该是采用多元统计分析中的「聚类分析」，聚类是在数学中最常用的一种classification 方法，对指标进行分类称为R 型聚类分析；对样本进行分类称为Q 型聚类分析，对于本体来说应当首先运用R 型聚类分析，对变量的相似度做相关系数研究构建相关系数矩阵R ，相关系数矩阵表征了指标之间的相似性，若|r ij |越接近1，则两个指标之间的相似性越大，亦即越相关说明这两个指标可以合并，其数学模型如下：

设x 1,x 2,…,x 10为谦虚的是想评价指标，记指标x j 的取值(x 1j ,x 2j ,…,x 10j )T ∈ℝ10(j =1,2,…,10)，则可用两个变量x j 和x k 的样本相关系数作为他们的相似性度量(j,k =1,2,…,10)，即

r jk =∑(x −x̅)(x −x̅)

10√∑(x ij −x̅j )∑(x ik −x̅k )210i=110i=1

其中，

x̅j =

110∑x ij 10i=1,j =1,2,…,10. 之后，在对以上变量进行聚类时即可利用相关系数矩阵R =(r ij )10×10，对于聚类，我们可以简单理解为利用算法对具有m 种属性的n 个点依据其距离进行人工智能的一个过程，因此聚类是需要距离的，有相关分析可知矩阵R 是一个对

称矩阵，而且其对角元素全为1，这说明每一个指标其自身是绝对相关的。我们可以采用常见的类平均法来衡量两个指标变量之间的距离，类平均法定义两个变量G1，G2之间的距离为

R(G1,G2)=1

12

∑∑{d ij}

x j∈G2

x i∈G1

其中，{d ij}=1−|r ij|，n1，n2分别为G1，G2中变量的个数。

对以上10个指标进行聚类，挑选出其中相关性最小，即差异性最大的5个指标对30个省的高等教育质量进行聚类，在聚类的过程中应该注意聚类分析算法的随机性很强，很容易受到杂质频率的影响，因此应当多次聚类最后选取一个最好的结果。

案例3：乘公交，看奥运

本文题解决的问题是以即将举行的08年北京奥运会为背景而提出的。为了能现场观看奥运会，必然会面对出行方式与路线选择的问题。因此如何快速、高效地从众多可行路线中选出最优路线成为了解决此问题的关键。第一问要求仅考虑公汽线路，给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与算法，第二问要求同时考虑公汽与地铁线路，解决以上问题。

考虑到对于路线的评价，可以分别以总行程时间，总转乘次数，总费用为指标，也可以将三种指标标准化后赋以不同权值形成一个综合指标。而最优路线则应是总行程时间最短，总费用最少或总转乘次数最少，或者三者皆有之。

这个问题将最终归结为一个求最短路径的问题，在求图的最短路问题中有很多算法都可以解决，包括设计环路最短距离的启发式算法等等，应用最广泛的还是Dijkstra最短路径算法，但是很明显此算法并不适用于此问题，这是因为因为Dijkstra算法采用的数据结构和计算方法难以应付公交线路网络拓扑的复杂性和随机性，并且由于执行效率的问题，在实际应用中也很明显难以满足要求。

此外，若不从算法角度考虑而更深入考虑其数学模型，我们可以简单证明此问题最终可以归结为一个NP问题，因而通过定义一个NP问题的目标函数将其重新转化成为一个优化问题结合退火算法也能够给这个问题一个满意的结果。但是由于构建目标函数的学习成本和研究成本较高，采用此种方法作为数学建模竞赛的论文结果并不明智。

考虑到对效率的优先打算，广度优先算法应该更适合本问题，其基本思路可以简单解释为每次搜索指定点，并将其所有未访问过的近邻点加入搜索队列，循环搜索过程直到队列为空。

第一步可以先解决公交线路的数学化表示的问题，考虑公交线路所可能具有的特征，可以将其分成以下四种情况

以下引述重庆大学一篇优秀论文的表示方法：