第二章 牛顿定律

2.基尔霍夫第二定律 —回路电压方程 基尔霍夫第二定律:
内容：任一回路电压降的代数和为零。 内容：任一回路电压降的代数和为零。
∑ IR + ∑ ε
i
i
=0
基尔霍夫 第二方程组
说明： 说明：
在使用基尔霍夫第二定律时要先选定 回路的绕行方向，符号规则与闭合电路 回路的绕行方向， 欧姆定律相同. 欧姆定律相同 个回路， 如果电路有ｍ个回路，其中只有ｍ-1 个回路方程是独立的； 个回路方程是独立的；新选定的回路 中，应该至少有一段电路是在以前选过 的回路中未曾出现的， 的回路中未曾出现的，这样作得到 。 的方程将是独立的。 的方程将是独立的。
知识回顾: 知识回顾
闭合电路和含源支路的欧姆定律
IR + Ir ε = 0
I=
ε
A
r
ε
R+r
I
R
闭合电路中电源电动势与总电阻之比等于电路 中的电流，这就是全电路的欧姆定律 全电路的欧姆定律。 中的电流，这就是全电路的欧姆定律。
另一表示形式: 另一表示形式 推论: 推论
∑ (± ε ) + ∑ (± IR ) = 0
A
ε I1
1
I2
I3
R
I 1 Ri 1 I 2 Ri 2 ε 1 + ε 2 = 0 I 2 Ri 2 + I 3 R ε 2 = 0
I1 + I 2 I 3 = 0 0.1I 1 0.2 I 2 = 0.25 0.2 I + 2 I = 1.9 2 3
解此方程组， 解此I2
ε 2 r2
I1
R2
R
I
应用基尔霍夫定律解题的步骤: 应用基尔霍夫定律解题的步骤
(1) 找支路 任意规定各支路电流的正方向 找支路p,任意规定各支路电流的正方向 (2) 数节点个数 ,任取其中 数节点个数n 任取其中 任取其中(n-1)个写出 个写出(n-1)个 个写出 个 独立节点电流方程 (3) 选定 选定m=p-n+1个独立回路 任意指定每个 个独立回路,任意指定每个 个独立回路 回路的绕行方向,列出 个独立回路电压方程 回路的绕行方向 列出m个独立回路电压方程 列出 (4) 对所列的方程联立求解 (5) 根据所得电流值的正负判断各支路电流的实际方向
I = I 0e
t
q0
qo / e
t
τ
τ
4、电容器充电图形 、
0.37
i
ε
R
ε
R
τ
t
三、说明
电容器的充放电过程是从一个稳定状态到另一个稳 电容器的充放电过程是从一个稳定状态到另一个稳 定状态的过渡过程，也叫做暂态过程。 定状态的过渡过程，也叫做暂态过程。 这种缓慢变化的电场叫似稳电场。 这种缓慢变化的电场叫似稳电场。 这种缓慢变化的电场叫似稳电场
ε2
Ri 2
B
Ri 1
C
D
I 1 = 1.5 A，I 2 = －0.5 A，I 3 = 1 A
负载电阻R两端的电势降为 负载电阻 两端的电势降为
U = I 3 R = 1 × 2 = 2V
蓄电池1的输出功率为 蓄电池 的输出功率为
P1 = I 1U = 1.5 × 2 = 3W
蓄电池2的输出功率为 蓄电池 的输出功率为
I1
I2
∑I
i
i
=0
基尔霍夫 第一方程组
I3
说明： 说明： 规定由节点流出的电流为正， 规定由节点流出的电流为正， 流入节点的电流为负； 流入节点的电流为负； 个节点， 如果电路中有ｎ个节点，则可得 个方程， ｎ个方程，其中只有ｎ-1个方程 是独立的； 是独立的；
r1 ε 1
R1
I2
ε 2 r2
I1
例1、如图电路 、如图电路: ε1=12V ， ε2=8V， ， r1=1， r2=0.5， R1=3，R2=1.5， R3=4, 求通过每个电阻的电流强度. 求通过每个电阻的电流强度 【解】设通过电阻的电流分别 为I1、I2、I3 、 、 对节点a: 对节点 -I1+I2+I3=0……（1） （ ） 设回路I、 的方向如图 设回路 、II的方向如图 对回路I: 对回路 - ε1 +I1r1 + I1R1 + I3R3=0……（2） （ ） 对回路II: 对回路 -ε2 + I2r2 + I2R2 - I3R3 = 0……（3） ε （ ） ）（2）（ 解（1）（ ）（ ）的联立，得 ）（ ）（3）的联立， I1 = 1.25 A I2 = - 0.5 A I3 = 1.75 A 符号表示实际方向 与所设的方向相反
P2 = I 2U = 0.5 × 2 = 1W
消耗在负载电阻上的功率为
P3＝I R＝1 × 2＝2W
2 3 2
讨论：蓄电池不仅没有输出功率，相反从外部获得了功率， 讨论：蓄电池不仅没有输出功率，相反从外部获得了功率， 处于被充电状态。由此可知， 处于被充电状态。由此可知，电动势值不同的几个蓄电池并 联后供给负载的电流，并不一定比一个蓄电池大， 联后供给负载的电流，并不一定比一个蓄电池大，有时电动 势较小的蓄电池却变成了电路中的负载， 势较小的蓄电池却变成了电路中的负载，在使用时应该尽量 避免这种情况出现。 避免这种情况出现。
t
τ
4、电容器充电图形 、
t q = q0 1 e τ
q
qo
0.63qo
RC大
τ
I = I 0e
t
t
相当于电容 短路时的电流
i
0.37
ε
R
τ
ε
R
τ
t
二、电容的放电 电容的放电
1、电容器放电方程 、
q IR = 0 C
C
R
I
I = －dq / dt
dq q R ＝－ dt C
小 结 基尔霍夫定律
基尔霍夫第一定律 基尔霍夫第二定律 基尔霍夫定律的应用
电容器的充放电
电容的充电 电容的充电 电容的放电 电容的放电
作业： 作业：
思考题： 思考题：
P121 8，9，10，11 ， ， ，
习 题：
P123 12，13，14，15 ， ， ，
复 习：
第9，10章 ， 章
一阶线性常系数 齐次微分方程
ε
K
2、电量与时间的关系 、
dq dt = q RC
dq dt ∫ q = ∫ RC q0 0
t RC
q
t
q = q0 e
= q0 e
t
τ
3、电流与时间的关系 、
t q0 τt dq d I = － = ( q0 e τ ) = e dt dt τ
q
qo
q0 I0 = = RC τ
:含源支路的欧 含源支路的欧 姆定律
U AB = ∑ (± ε i ) + ∑ (± IRi )
符号规则: 符号规则
(1) 假设电流正方向 ,选定绕行 巡行 方向 选定绕行(巡行 方向. 选定绕行 巡行)方向 包括电源内阻)而言 （2）对电阻 包括电源内阻 而言 当电流方向 ）对电阻((包括电源内阻 而言,当电流方向 与巡行方向相同时,该电阻的 项前取正号;反之 该电阻的IR项前取正号 反之, 与巡行方向相同时 该电阻的 项前取正号 反之 则反之(同向取正 反向取负). 同向取正,反向取负 则反之 同向取正 反向取负 (3) 对电源而言 当巡行方向从正极进入电源，则其 对电源而言,当巡行方向从正极进入电源 当巡行方向从正极进入电源， 前正号;反之 则反之.(进正取正 进负取负). 反之,则反之 进正取正,进负取负 电动势 前正号 反之 则反之 进正取正 进负取负
t q = q0 1 e τ
dq dt ∫ q Cε = ∫ RC 0 0
t q = Cε 1 e RC
q
t
3、电流与时间的关系 、
t t dq dq0 (1 e τ ) q0 τ ε τ I= = = e = e dt dt R τ t
I0 =
ε
R
I = I 0e
10-6 电容器的充放电
一、电容的充电 电容的充电
1、电容器充电方程 、
C
R
I
∫ dU = 0
l
q IR + ε = 0 C
I = dq / dt
dq q R + ε = 0 dt C
一阶线性常系数非齐次微分方程
ε
K
2、电量与时间的关系 、
dq dt = q Cε RC
q0=Cε ——电容器电量极大值 ε 电容器电量极大值 τ =RC ——RC电路的时间常数 电路的时间常数
一.几个概念 几个概念 支路： 支路：把任意一条电源和电阻
串联的无分叉电路叫做支路
r1 ε 1
R1
I2
回路： 回路： 把
n条支路构成的闭合通路
叫做回路 节点： 节点：三条或更多条支路的汇集 点叫做节点。 点叫做节点。
ε 2 r2
I1
R2
R3
R4
I3 I 4
二.基尔霍夫第定律 基尔霍夫第定律
1、基尔霍夫第一定律:—节点电流定律 、基尔霍夫第一定律 节点电流定律 内容：汇集于节点电流的代数和为零。 内容：汇集于节点电流的代数和为零。
A
解：设I1、I2、I3分别为通过蓄电池
和负载电阻的电流， 和负载电阻的电流，并设电流的流 向如图所示。 向如图所示。根据基尔霍夫第一定 可以得到节点A的电流方程为 律，可以得到节点 的电流方程为
ε I1
1
I2
I3
R
ε2
Ri 2
B
Ri 1
I 3 I1 I 2 = 0
C
D
根据基尔霍夫第二定律， 根据基尔霍夫第二定律，对回路 ABCA和ADBA可分别得到电压 和 可分别得到电压 方程， 方程，设回路的绕行方向为顺时 针方向， 针方向，则有
例2：如图所示，蓄电池的电动势分 ：如图所示，
别为ε 别为ε1=2.15V和ε2=1.9V ，内阻分别 和 为Ri1=0.1 和Ri2=0.2 ，负载电阻 为R=2 。问：(1)通过负载电阻和 通过负载电阻和 蓄电池的电流是多少？ 两蓄电池 蓄电池的电流是多少？(2)两蓄电池 的输出功率为多少？ 的输出功率为多少？
R2
R3
R4
I3 I 4
列方程之前,先要在电路图上标定各支路的电 列方程之前 先要在电路图上标定各支路的电 流方向.对已知电流 按已知实际方向标定;如果电 流方向 对已知电流,按已知实际方向标定 如果电 对已知电流 按已知实际方向标定 路中电流的方向难以确定，可以任意假定电流I 路中电流的方向难以确定，可以任意假定电流 的正方向，当计算结果I>0时 的正方向，当计算结果 时，表示电流的实际 方向与假定的方向一致， 方向与假定的方向一致，当I<0时，表示电流的 时 实际方向与假定的方向相反。 实际方向与假定的方向相反。
ε
(4) 当电流待求时，可按所列方程解出电流 当电流待求时，可按所列方程解出电流I. 若 I > 0 表示电流的真实方向与假设的正方向 相同；反之，则反之. 相同；反之，则反之
12-1 基尔霍夫定律
引言： 引言：
用闭合电路欧姆定律只能处理一些简单电路的问题。 用闭合电路欧姆定律只能处理一些简单电路的问题。而许多实 际问题，其电阻的联接既不是并联，又不是串联， 际问题，其电阻的联接既不是并联，又不是串联，不能用欧姆 定律进行计算。为了进行这类电路的运算， 定律进行计算。为了进行这类电路的运算，人们总结出了一些 有效的方法， 等效发电机原理、叠加原理、 有效的方法，如等效发电机原理、叠加原理、三角形与星形变 换原理等 本节我们介绍基尔霍夫定律 它包括两条定律。 基尔霍夫定律， 换原理等。本节我们介绍基尔霍夫定律，它包括两条定律。 基尔霍夫Gustav Robert Kirchhoff，1824-1887） 基尔霍夫 ， ） 德国物理学家。他对物理学的贡献颇多。 德国物理学家。他对物理学的贡献颇多。 1845年提出电路的基尔霍夫定律，1859年与 年提出电路的基尔霍夫定律， 年提出电路的基尔霍夫定律 年与 本生创立了光谱分析法；同年， 本生创立了光谱分析法；同年，在太阳吸收 光谱线的研究中， 光谱线的研究中，他得出了热辐射的基尔霍 夫定律， 年提出了绝对黑体的概念， 夫定律，于1862年提出了绝对黑体的概念， 年提出了绝对黑体的概念 这两者乃是开辟20世纪物理学新纪元的关键 这两者乃是开辟 世纪物理学新纪元的关键 之一。 之一。