力学第八章

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第 9 章 流体力学
上述微观上充分大、宏观上充分小的流体元称 为流体质点，将流体运动的空间看作是由流体质点 连续地无空隙地充满着的假设称为连续介质假设。 应该指出，有了此假设才能把一个微观问题化成宏 观问题，且数学上容易处理。实验和经验也表明在 一般情况下这个假设总是成立的。
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9.2.2 欧拉方法（当地法） 欧拉方法（当地法）
u = u (t ; r )
另外，由于流 线的切线表示流 体内微粒运动的 方向，所以流线 永远不会相交， 因为如果流线在 空间某处相交就 表示流体中的微 粒经过该点时同 时具有两个不同 的速度，这当然 是不可能的。
在上式中，如果固定 a，b，c 而令 t 改 变，则得某一流体质点的运动规律，该流体 质点的运动轨迹称为迹线 迹线。如果固定时间 t 迹线 而令 a，b，c 改变，则上式表示某一时刻不 同流体质点的位置分布函数。应该指出，在 拉格朗日观点中，矢径函数 r 的定义区域不 是场，因为它不是空间坐标的函数，而是质 点标号的函数。
其分量式为：
x x(t ; a, b, c) u x = t = t y y (t ; a, b, c) uy = = t t z z (t ; a, b, c) u z = t = t
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法） 拉格朗日方法（随体法）
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9.2.2 欧拉方法（当地法） 欧拉方法（当地法）
欧拉方法不直接考虑个别流体质点如何运动，而 是用场的观点研究流来自百度文库运动。它只集中注意力于那些 发生在空间给定点的流动情况；对于流体质点从什么 地方和如何在给定时刻达到这一点，经过这点以后又 会运行到别的什么地方和怎样运行到那些地方的，这 一切问题从欧拉方法观点看来并不是基本的。这样， 欧拉方法是把空间某一固定点 (x, y, z) 的流体质点的速 度当作时间的函数来研究的；显然，这个速度也是坐 标 (x, y, z) 的函数。因此，
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9.1.2 粘性 除了粘性外，流体还有热传导及扩散等性 质。 流体的宏观性质，扩散，粘性，热传导等 是分子输运性质的统计平均。由于分子的不规 则运动，在各层流体间将交换着质量，动量和 能量，使不同流体层内的平均物理量均匀化， 这种性质称为分子运动的输运性质。质量输运 在宏观上表现为扩散现象，动量输运表现为粘 性现象，能量输运则表现为热传导现象。
在流体内部取一微小的封闭曲 线，通过曲线上各点的流线所围成 的细管就称为流管。 如图(b)所示 所示。 的细管就称为流管 。 如图 所示 。
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法） 拉格朗日方法（随体法）
r = r (t ; a , b , c )
为了得到确定流体质点的速度, 只要将上式对时间 t 微分而把起始坐标 a，b，c 当作常数就可以了，即
r r (t ; a, b, c) u= = t t
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9.2.2 欧拉方法（当地法） 欧拉方法（当地法）
u = u (t ; r )
描述场的几何 方法是引入所谓的 场线，就像静电场 中引入电力线，磁 场中引入磁力线一 样，在流速场中可 以引入流线。流线 是这样规定的： 流线为流体内的一条连续的有向曲线，流线上每一 点的切线方向代表流体内微粒经过该点时的速度方向。 图 (a) 给出了几种常见的流线。
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§9.2 描写流体运动的两种方法
9.2.1 拉格朗日方法（随体法） 拉格朗日方法（随体法） 9.2.2 欧拉方法（当地法） 欧拉方法（当地法） 9.2.3 两种方法的相互转换
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法） 拉格朗日方法（随体法）
9.1.1 易流动性
流体在静止时不能承受切向应力，不管多小的 切向应力，都会引起其中各流体元彼此间的相对位 移，而且取消力的作用后，流体元之间并不恢复其 原有位置。正是流体的这一基本特性使它能同刚体 和弹性体区别开来。刚体和弹性体也是连续介质， 但是刚体中质点之间的相互距离不论其上作用的外 力如何将保持不变；而在弹性体中，当作用力在数 值上达到某一界限时，系统中各点间的相互距离可 以改变，但消除了力的作用之后，各点相互关系又 恢复原有状态。相反地，流体能够有任意大的变形。 因此流体在静止时只有法应力而没有切应力。流体 的这个宏观性质称为易流动性。
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9.2.2 欧拉方法（当地法） 欧拉方法（当地法）
u = u (t ; r )
由于上式确定的速度函数是定义在空间点上的， 它们是空间点坐标 x, y, z 的函数，所以我们研究的是 场，如速度场等。因此当我们采用欧拉观点描述运动 时，就可以利用场论的知识。若场内函数不依赖矢径 r 则称之为均匀场，反之称之为非均匀场；若场内函 数不依赖时间则称为定常场，反之称为非定常场。
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法） 拉格朗日方法（随体法）
我们约定采用 a，b，c 三个数的组合来区别流体质 点，不同的 a，b，c 代表不同的质点，于是流体质点的 运动规律可表为下列矢量形式：
r = r (t ; a , b , c )
其中 r 是流体质点的矢径。在直角坐标系中，有分量式：
同样可以得到确定流体质点的加速度：
2 r 2 r (t ; a, b, c) u= 2 = t t 2
其分量式为：
u x 2 x(t ; a, b, c) = u x = t t 2 u y 2 y (t ; a, b, c) = u y = t t 2 u z 2 z (t ; a, b, c) = u z = t t 2
x = x(t ; a, b, c) y = y (t ; a, b, c) z = z (t ; a, b, c)
变数 t； a，b，c 称为拉格朗日变数。
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法） 拉格朗日方法（随体法）
r = r (t ; a , b , c )
u = u (t ; r )
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9.2.2 欧拉方法（当地法） 欧拉方法（当地法）
其分量为
u x = u x (t ; x, y, z ) u y = u y (t ; x, y, z ) u z = u z (t ; x, y, z )
变数 t； x, y, z 称为欧拉变数。如果在上式中把 t 当作可 变的，而把 x, y, z 当作常数，则对不同的 t 我们得到不同 时刻经过空间中确定点的不同流体质点的速度；而如把 t 当作常数， x, y, z 当作变数，则可得到对于确定时刻空间 中流体质点的速度分布。
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第 9 章 流体力学
另一方面，对于进行统计平均的时间也应选得 足够大，使得在这段时间内，微观的性质，例如分 子间的碰撞等已进行了许多次，在这段时间内进行 统计平均能够得到稳定的数值。于是，从统计物理 中得知，分子的物理量（质量、速度、动量和能量） 经过统计平均后变成了流体元的质量，速度，压力 和温度等宏观物理量，分子质量、动量和能量等输 运过程，经过统计平均后表现为扩散，粘性，热传 导等宏观性质。
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第 9 章 流体力学
流体力学研究流体（气体与液体）的宏观运动与平 衡，它以流体宏观模型作为基本假说。 显然，流体的运动取决于每个粒子的运动，但若求 解每个粒子的运动即不可能也无必要。对于宏观问题， 必须在微观与宏观之间建立一座桥梁。 流体宏观模型认为流体是由无数流体元（或称流体 微团）连续地组成的（即连续介质）。所谓流体元指的 是这样的小块流体：它的大小与放置在流体中的实物比 较是微不足道的，但比分子的平均自由程却要大得多， 它包含足够多的分子，能施行统计平均求出宏观参量， 少数分子出入于流体元不会影响稳定的平均值。
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9.1.2 粘性
流体在静止时虽不能承受切应力，但在运动时，对 相邻两层流体间的相对运动即相对滑动速度是有抵抗的， 这种抵抗力称为粘性应力，流体所具有的这种抵抗两层 流体相对滑动的性质称为粘性，粘性大小依赖于流体的 性质，并显著地随温度而变化。实验表明，粘性应力的 大小与粘性及相对速度成正比。 当流体的粘性较小，运动的相对速度也不大时，所 产生的粘性应力比起其它类型的力（如惯性力）可忽略 不计。此时，我们可以近似地把流体看成是无粘性的， 这样的流体称为理想流体。十分明显，理想流体对于切 向变形没有任何抗拒能力。这样对于粘性而言，我们可 以将流体分成理想流体和粘性流体两大类。应该强调指 出，真正的理想流体在客观实际中是不存在的。它只是 客观流体在某种条件下的一种近似模型。
在拉格朗日方法中，注意的中心即着眼点是流体 质点，确定所有流体质点的运动规律，即它们的位置 随时间变化的规律。十分明显，如果知道了所有流体 质点的运动规律，那么整个流体运动的状况也就清楚 了。 现在我们将描写运动的观点和方法用数学式子表达 出来，为此首先必须用某种数学方法区别不同的流体 质点。通常利用初始时刻流体质点的坐标作为区分不 同流体质点的标志。设初始时刻 t = t0 时，流体质点的 坐标是 a，b，c，它可以是曲线坐标，也可以是直角 坐标，重要的是给流体质点以标号而不在于采取什么 具体的方式。
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9.1.3 压缩性
流体质点的体积或密度在受到一定压力 或温度差的条件下可以改变，这个性质称为 压缩性。真实流体都是可以压缩的。它的压 缩程度依赖子流体的性质及外界的条件。液 体在通常的压力或温度下，压缩性很小。因 此在一般情形下液体可以近似地看成是不可 压缩的。
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9.2.1 拉格朗日方法（随体法） 拉格朗日方法（随体法）
r = r (t ; a , b , c ) r r (t ; a, b, c) u= = t t
2 r 2 r (t ; a, b, c) u= 2 = t t 2
在以上各式中，如给 a，b，c 以不 同的值而令 t 不变，则得到在确定时刻 t 流体质点的位置、速度和加速度分布； 特别是，当 t = t0 而 a，b，c 可以改变， 则得各流体质点的起始位置、速度和加 速度分布。
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第 9 章 流体力学
§9.1 流体的基本性质 §9.2 描写流体运动的两种方法 §9.3 应力张量 §9.4 流体力学基本方程
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§9.1 流体的基本性质
9.1.1 易流动性 9.1.2 粘性 9.1.3 压缩性
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9.2.2 欧拉方法（当地法） 欧拉方法（当地法）
u = u (t ; r )
一般情况下空 间各点的流速随 时间 t 变化，因此 流线也是随时间 变化的。由于流 线分布与一定的 瞬时相对应(参见 图 (c) )，所以在一 只有在稳定流动中， 只有在稳定流动中，流线不随时 般情况下，流线 间变化， 并 不 代 表 流 体 中 间变化，此时流线才表示流体中微 微 粒 运 动 的 轨 迹 。 粒实际经过的轨迹。只有此时流线 粒实际经过的轨迹。 才与迹线重合。 才与迹线重合。
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第 9 章 流体力学
但是。在某些特殊问题中，连续介质的假设也 可以不成立。例如在稀薄气体力学中，分子间的距 离很大，它能和物体的特征尺度比拟，这样虽然获 得稳定平均值的流体元还是存在的，但是不能将它 看成一个质点。又如考虑激波内的气体运动，激波 的尺寸与分子平均自由程同阶，激波内的流体只能 看成分子而不能当作连续介质来处理了。