三阶非线性微分差分方程两点边值问题的奇摄动
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关键词 ： 三阶微分方程 ； 两点边值 问题 ； 微分 不等 式
文 献 标 识 码 ： Ａ
０ 引言
在 理论 上有 重 要 意义 ， 且 在 实 际 问题 中有 而
重要 应 用 的三阶 非 线性 常 微 分 方 程 的奇 摄 动 ， 文
Ｉ（ ， ， （一 ，” Ｉ ｆｔ ， ￡ ） ） ≤
第３ ３卷
第 １期
大 连 交 通 大 学 学 报
Ｊ ＲＮＡＬ ＯＦ ＯＵ Ｄ Ｉ Ｊ ＡＯ ＯＮＧ ＡＬ ＡＮ Ｉ Ｔ ＵＮ ＶＥＲ Ｉ Ｙ Ｉ ＳＴ
Ｖｏ ． ３ Ｎｏ １３ ．１ Ｆｅ ２ ２ ｂ． ０ｌ
２１ ０ ２年 ２月
文 章 编 号 ：６ ３ ９９ （０ ２ ０ —０ ４０ １７ —５０ ２ １ ） １０ ９ —３
（） ３
（） ４
／ ｔ ， （ —ｒ ，” ， ， ｔ ） ）
』（） Ｏ （）≤ （） Ｏ（）≤ （） 一丁≤ ｔ ｌ Ｂ ｔ ， ｔ ｔ ， ｔ ／ ”￡ ， ≤
（ ）＝Ａ， （一 ＝ ｔ ，一丁 ≤ ０ （ ） Ｂ ０ ） （ ） ≤ ， １：
且 ｃ （）≤ ０ （ ）≤ ０ ０≤ ｔ≤ １ ， ， ；
（ 对任何的 Ｎ ＞０ 存在 ｈ：ｈ Ｊ ） ， （ ）＞０ 使 ｖ ，
得所有（，， ， ｔ ｒ ， ）∈ ［ ，］×［ ｔ （ 一． ） ” ０１ 一Ⅳ， Ｎ ］×Ｒ 成立
（） ２ 存在 （）∈ ［ ，］ｎ ｃ ［ ． ］ｎ ｔ 一 １ 一７０ ， Ｃ ［ ，］使得 （）＞ｏ ｏ≤ ｔ １ ， ０ １ ， ｔ （ ≤ ） 且
定 义 ２ 若 两个 函数 存 在 函数 （） （）∈ ｔ， ｔ
Ｃ ［ ，］ｎ ｃ ［ ，］ｎ ｃ ［ ， ］， ０ １ 一 １ 一丁 １ 使得 ，
（ ）≥Ｉ ｔＯ（） （） Ｏ （ 一丁 ， （ ） ， ｔ 厂 ， ｔ ， ｔ ， ｔ ） ｔ ） （ ／ ｔ
（）≤ ｔ卢 ｔ ， （）／ （ 一丁 ， （） ， ｔ ， （） ｔ ， ｔ ） ｔ ） ３
（ Ｉ ， １” ） Ｉ ） ， Ｉ （
其中， ０≤ ｒ ≤ １ｒ １ ， ２＞０ ｒ ＋ｒ ≤３ 且 ，ｆ ， 】 ２ ， （）＝
Ｉ￣ ｛ ， ｝ｒ≥ ０， ｎＸ １Ｚ ， ｌ ０≤ Ｚ＜＋∞．
献 ［ ］ 其 参 考 文 献 已作 过 一 系 列 研 究 ， 对 包 １及 但 含 时滞 项 的问题 ， 至今还 很 少有人 涉及 ． 本文 利用
则边值问题 （ ）～（ ） ３ ４ 有解 （）∈ Ｃ ［ ，］ｎ ｔ ０ １ ｃ ［ 丁０ 一ｒ １ ， 一 ，］ｎ Ｃ ［ ，］ 使得 （）≤ ｔ ｔ （）≤
（） ０≤ ｔ １ ｔ， ≤ ． ‘
引理 ２ 假 设
（ ） 数 。 ｔ ，（）ｃｔ ，（） ∈ Ｃ［ ，］ １函 （） ６ｔ ，（）ｄ ｔ ０１，
９ ５
（ ）＜ ａ ｔｆ （）＋ｂ （ ）＋ ｔ （）”ｔ ｌ （） ｔ
ｏ ｔ ＝ ｏ ｔ－ （ ， ， ｔ ＝ （） （， Ｌ ， （）ｙ ｔ （ ， ０ ｔ ＋ｙ ｔ （ ） ） ） ）
（ ） 一 对任何 的 （，， ｔＸ２， Ｃ 使得
一丁 ）∈ ［ ，］ｘ ） ０１
微分不等式技巧 ， 考虑一般的三阶非线性时滞微
分 方程 的两 点边 值 问题
ｓ” ，ｔ ， （ ＝－ ， ， ｔ一丁 ，”８ ） ， ） （（ Ｊ ， ” 厂 ， （ ， ３ （ —ｒ ，” ＝ ５ ｝ ） Ｉ ｌ 。 ” 。
三 阶 非线 性 微 分 差分 方程 两点 边值 问题 的奇 摄 动
王 国灿 ， 飞 王
（ 大连 交通大学 理 学院 ， 辽宁 大连 １６ ２ ） １０ ８
摘
要： 利用微 分不等式 技巧 ， 研究 了一类三阶非线性微分差分 方程 的两 点边值 问题 的奇 摄动． 在上下解
存在的条件下 ， 建立 了解 的存 在性 与唯一性 ． 结果表明： 这种技巧为其它边值问题的研究提出了崭新的思路．
且 （ ）≤ ４≤ 卢 ０ ，ｔ １ ０ （ ） Ｏ （ ）≤ Ｂ≤ Ｊ （ ） Ｂ １
其 中， ， ， ｔ Ｂ （）同上．
定 义 １ 如果 函数 ｔ ， （ ～ ，” ， ， ｔ ） ）满 足 下 述 两 个 条 件 之 一 者 ， 称 方 程 （ ） 足 则 ４ 满 Ｎ ｇｍ ａｕ ｏ条 件．
（ ） Ａ， （ — ｒ ＝ （） ０ ＝ ｔ ） ｔ ，一下 ￡ ０ （ ） Ｂ ≤ ≤ ， １＝
我 们将 在 通 常 意义 下 ， 究 式 （ ） （ ） 满 研 １ ，２ 之 足 Ｒ ｂｎ边 界条 件 （ ） ｏｉ ２ 的解 的存在 性 、 唯一性 与渐 近估计 ．
则称 Ｏ ｔ， ｔ ／ ） （）分别 为方 程 （ ）的下解 与上解 ． （ ４
引理 １ 假设
（ ） （，， ， （ 一丁 ，” １ － ｔ ｔ ） ）∈ Ｃ ［ ，］Ｘ 厂 （０ １
）， 足 Ｎ ｇｍｏ 件 ， 关于 ， （ 一 满 ａｕ 条 且 ｔ ）单调
不增 ；
１ 微分不等式
本 节考 虑下述 三 阶边值 问题
” ：
（） ２ 存在上 、 下解 （） Ｏ ｔ ， ｔ 和 ｔ ）使得 Ｏ ｔ （ ／ ）≤ （
收 稿 Ｅ期 ：０ １０ —６ ｔ ２ １ －８２
作者简介 ： 王国灿 （９ ３一） 男 ， １６ ， 教授 ， 硕士 ， 主要从事常微分方程边值 问题 的研究
Ｅ－ ｉ ： ｎ ｇ ＠ ｄ ． ｎ ｍａ ｌ ｗａ ｇ ｃ １ｅ ．
第 １期
王 国灿 ， 三 阶非线 性微分 差分方程两点边值 问题 的奇摄 动 等：
文 献 标 识 码 ： Ａ
０ 引言
在 理论 上有 重 要 意义 ， 且 在 实 际 问题 中有 而
重要 应 用 的三阶 非 线性 常 微 分 方 程 的奇 摄 动 ， 文
Ｉ（ ， ， （一 ，” Ｉ ｆｔ ， ￡ ） ） ≤
第３ ３卷
第 １期
大 连 交 通 大 学 学 报
Ｊ ＲＮＡＬ ＯＦ ＯＵ Ｄ Ｉ Ｊ ＡＯ ＯＮＧ ＡＬ ＡＮ Ｉ Ｔ ＵＮ ＶＥＲ Ｉ Ｙ Ｉ ＳＴ
Ｖｏ ． ３ Ｎｏ １３ ．１ Ｆｅ ２ ２ ｂ． ０ｌ
２１ ０ ２年 ２月
文 章 编 号 ：６ ３ ９９ （０ ２ ０ —０ ４０ １７ —５０ ２ １ ） １０ ９ —３
（） ３
（） ４
／ ｔ ， （ —ｒ ，” ， ， ｔ ） ）
』（） Ｏ （）≤ （） Ｏ（）≤ （） 一丁≤ ｔ ｌ Ｂ ｔ ， ｔ ｔ ， ｔ ／ ”￡ ， ≤
（ ）＝Ａ， （一 ＝ ｔ ，一丁 ≤ ０ （ ） Ｂ ０ ） （ ） ≤ ， １：
且 ｃ （）≤ ０ （ ）≤ ０ ０≤ ｔ≤ １ ， ， ；
（ 对任何的 Ｎ ＞０ 存在 ｈ：ｈ Ｊ ） ， （ ）＞０ 使 ｖ ，
得所有（，， ， ｔ ｒ ， ）∈ ［ ，］×［ ｔ （ 一． ） ” ０１ 一Ⅳ， Ｎ ］×Ｒ 成立
（） ２ 存在 （）∈ ［ ，］ｎ ｃ ［ ． ］ｎ ｔ 一 １ 一７０ ， Ｃ ［ ，］使得 （）＞ｏ ｏ≤ ｔ １ ， ０ １ ， ｔ （ ≤ ） 且
定 义 ２ 若 两个 函数 存 在 函数 （） （）∈ ｔ， ｔ
Ｃ ［ ，］ｎ ｃ ［ ，］ｎ ｃ ［ ， ］， ０ １ 一 １ 一丁 １ 使得 ，
（ ）≥Ｉ ｔＯ（） （） Ｏ （ 一丁 ， （ ） ， ｔ 厂 ， ｔ ， ｔ ， ｔ ） ｔ ） （ ／ ｔ
（）≤ ｔ卢 ｔ ， （）／ （ 一丁 ， （） ， ｔ ， （） ｔ ， ｔ ） ｔ ） ３
（ Ｉ ， １” ） Ｉ ） ， Ｉ （
其中， ０≤ ｒ ≤ １ｒ １ ， ２＞０ ｒ ＋ｒ ≤３ 且 ，ｆ ， 】 ２ ， （）＝
Ｉ￣ ｛ ， ｝ｒ≥ ０， ｎＸ １Ｚ ， ｌ ０≤ Ｚ＜＋∞．
献 ［ ］ 其 参 考 文 献 已作 过 一 系 列 研 究 ， 对 包 １及 但 含 时滞 项 的问题 ， 至今还 很 少有人 涉及 ． 本文 利用
则边值问题 （ ）～（ ） ３ ４ 有解 （）∈ Ｃ ［ ，］ｎ ｔ ０ １ ｃ ［ 丁０ 一ｒ １ ， 一 ，］ｎ Ｃ ［ ，］ 使得 （）≤ ｔ ｔ （）≤
（） ０≤ ｔ １ ｔ， ≤ ． ‘
引理 ２ 假 设
（ ） 数 。 ｔ ，（）ｃｔ ，（） ∈ Ｃ［ ，］ １函 （） ６ｔ ，（）ｄ ｔ ０１，
９ ５
（ ）＜ ａ ｔｆ （）＋ｂ （ ）＋ ｔ （）”ｔ ｌ （） ｔ
ｏ ｔ ＝ ｏ ｔ－ （ ， ， ｔ ＝ （） （， Ｌ ， （）ｙ ｔ （ ， ０ ｔ ＋ｙ ｔ （ ） ） ） ）
（ ） 一 对任何 的 （，， ｔＸ２， Ｃ 使得
一丁 ）∈ ［ ，］ｘ ） ０１
微分不等式技巧 ， 考虑一般的三阶非线性时滞微
分 方程 的两 点边 值 问题
ｓ” ，ｔ ， （ ＝－ ， ， ｔ一丁 ，”８ ） ， ） （（ Ｊ ， ” 厂 ， （ ， ３ （ —ｒ ，” ＝ ５ ｝ ） Ｉ ｌ 。 ” 。
三 阶 非线 性 微 分 差分 方程 两点 边值 问题 的奇 摄 动
王 国灿 ， 飞 王
（ 大连 交通大学 理 学院 ， 辽宁 大连 １６ ２ ） １０ ８
摘
要： 利用微 分不等式 技巧 ， 研究 了一类三阶非线性微分差分 方程 的两 点边值 问题 的奇 摄动． 在上下解
存在的条件下 ， 建立 了解 的存 在性 与唯一性 ． 结果表明： 这种技巧为其它边值问题的研究提出了崭新的思路．
且 （ ）≤ ４≤ 卢 ０ ，ｔ １ ０ （ ） Ｏ （ ）≤ Ｂ≤ Ｊ （ ） Ｂ １
其 中， ， ， ｔ Ｂ （）同上．
定 义 １ 如果 函数 ｔ ， （ ～ ，” ， ， ｔ ） ）满 足 下 述 两 个 条 件 之 一 者 ， 称 方 程 （ ） 足 则 ４ 满 Ｎ ｇｍ ａｕ ｏ条 件．
（ ） Ａ， （ — ｒ ＝ （） ０ ＝ ｔ ） ｔ ，一下 ￡ ０ （ ） Ｂ ≤ ≤ ， １＝
我 们将 在 通 常 意义 下 ， 究 式 （ ） （ ） 满 研 １ ，２ 之 足 Ｒ ｂｎ边 界条 件 （ ） ｏｉ ２ 的解 的存在 性 、 唯一性 与渐 近估计 ．
则称 Ｏ ｔ， ｔ ／ ） （）分别 为方 程 （ ）的下解 与上解 ． （ ４
引理 １ 假设
（ ） （，， ， （ 一丁 ，” １ － ｔ ｔ ） ）∈ Ｃ ［ ，］Ｘ 厂 （０ １
）， 足 Ｎ ｇｍｏ 件 ， 关于 ， （ 一 满 ａｕ 条 且 ｔ ）单调
不增 ；
１ 微分不等式
本 节考 虑下述 三 阶边值 问题
” ：
（） ２ 存在上 、 下解 （） Ｏ ｔ ， ｔ 和 ｔ ）使得 Ｏ ｔ （ ／ ）≤ （
收 稿 Ｅ期 ：０ １０ —６ ｔ ２ １ －８２
作者简介 ： 王国灿 （９ ３一） 男 ， １６ ， 教授 ， 硕士 ， 主要从事常微分方程边值 问题 的研究
Ｅ－ ｉ ： ｎ ｇ ＠ ｄ ． ｎ ｍａ ｌ ｗａ ｇ ｃ １ｅ ．
第 １期
王 国灿 ， 三 阶非线 性微分 差分方程两点边值 问题 的奇摄 动 等：