实数一对一讲义

龙文教育1对1个性化教案
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日期： 年 月 日
学生 学 校 年 级
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授课日期 授课时段
课题 实数（二)
重点
难点 实数的概念及分类、平方根、立方根的概念及性质
教 学 步 骤 及 教 学 内 容
一、热身导入：
检查上节课作业完成情况，并讲评。

二、检查漏洞：
通过常见例题的完成，了解孩子对本节重难点，易错点内容的掌握情况。

三、主要知识点讲解：
1、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π
+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
2、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：记作“a ”，读作根号a 。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零,算数平方根具有双重非负性。

3、立方根
一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。

表示方法：记作3a
性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

四、课堂练习及延伸：
根据本节课的全部内容及例题的分析，让孩子完成相关练习，再次基础上作延伸。

五、教学反馈：
根据孩子的课堂表现及完成练习的情况，了解孩子对本节内容的掌握及理解程度。

六、课堂小结：
让孩子归纳并总结出本节课的主要内容，自己的优缺点，老师在补充。

课后评价一、学生对于本次课的评价
o特别满意o满意o一般o差
二、教师评定
1、学生上次作业评价
o好o较好o一般o差2、学生本次上课情况评价
o好o较好o一般o 差
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龙文教育1对1个性化讲义
课前小测：
1.64的算术平方根和64-
的立方根的和是（ ）
A.0
B.6
C.4
D.4- 2.能与数轴上的点一一对应的是（ ）
A 整数
B 有理数
C 无理数
D 实数 3.213-=-a ,则a 的值是（ ）
A.１
B.２
C.３
D.４.
4．设面积为3的正方形的边长为x ，那么关于x 的说法正确的是（ ）
A. x 是有理数
B.x =3±
C. x 不存在
D. x 是1和2之间的实数
5.32-
的绝对值是 （ ） A.32+ B.32--
C.23-
D.32-
7.在4144.1-，2-，
7
22，3
π
，32-，∙
3.0， 121111*********.2中，无理数的个数是 .
8.a 是9的算术平方根，而b 的算术平方根是4，则=+b a . 9. 比较下列实数的大小
①140 12 ②2
15- 5.0；
10．判断：
（1）实数是由正实数和负实数组成．（ ） （2）0属于正实数．（ ）
（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（ ）
（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是0或1．（ ） （5）若,2||=
x 则2=
x （ ）
一、主要知识点回顾：
1、实数的分类
正有理数
有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数
正无理数
无理数 无限不循环小数 负无理数
2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如32,7等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3
π
+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
3、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：记作“a ”，读作根号a 。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

4、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数a 的平方根记做“a ±
”，读作“正、负根号a ”。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。

0≥a
注意a 的双重非负性： a ≥0
5、立方根
一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。

表示方法：记作3a
性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

6、实数大小的比较
1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a 、b 是实数，
,0b a b a >⇔>-,0b a b a =⇔=-b a b a <⇔<-0
（3）求商比较法：设a 、b 是两正实数，
;1;
1;
1b a b
a b a b
a b a b
a <⇔<=⇔=>⇔>
（4）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>。

（5）平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>2
2。

7、算术平方根有关计算（二次根式）
（1）、含有二次根号“
”；被开方数a 必须是非负数。

（2）、性质：（1）)0()(2≥=a a a
)0(≥a a
（2）==a a 2
)0(<-a a
二、感悟与实践 ：
例1.计算：（1）=121______；（2）=-256______；（3）=±212______；
（4）=43______；（5）=-2)3(______；（6）=-4
12
______．
变式练习1：
(1)．2)4(-的算术平方根是______：81的算术平方根的相反数是______． (2)．若a 有意义，则a 满足______；若a --有意义，则a 满足______．11-+-x x 中的x 的取
值范围是______．
(3)估计与35最接近的整数．
例2．计算：
=-3
008.0______；=3
64
611______；=--
3
127
19______．=3064.0______；=3
216______；
=-3
3
)
2(______；
=-3
8______；=-
3
8______。

变式练习2：
（1）64的立方根是______；364的平方根是______．
（2）求出下列各式中的a ：
（1）若a 3＝0.343，则a ＝______；（2）若a 3－3＝213，则a ＝______；
（3）若a 3＋125＝0，则a ＝______；（4）若（a －1）3＝8，则a ＝______． 例3．把下列各数填入相应的集合：
－1、3、π、－3.14、9、26-
、2
2-
、．7
.0 （1）有理数集合｛ ｝； （2）无理数集合｛ ｝； （3）正实数集合｛ ｝； （4）负实数集合｛ ｝． 变式练习3：
(1)2的相反数是________；2
1-
的倒数是________；35-的绝对值是________．
(2)22-的相反数是____；32-的绝对值是____．大于17-的所有负整数是______．
例4.已知,0|133|22=--+-y x x 求x ＋y 的值．
变式练习4：若y=23-x +x 32-+1,求3x+y 的值。

例5.解方程:(1) 27)1(32=-x ； (2） 0125
8133=+x
三、巩固与提高：
（A)巩固练习
1.下列结论正确的是（ ） A ．
64
27的立方根是4
3± B ．125
1-没有立方根
C ．有理数一定有立方根
D ．（－1）6的立方根是－1
2．下列说法错误的是（ ）
A ．实数都可以表示在数轴上
B ．数轴上的点不全是有理数
C ．坐标系中的点的坐标都是实数对
D ．2是近似值，无法在数轴上表示准确 3．下列说法正确的是（ ）
A ．无理数都是无限不循环小数
B ．无限小数都是无理数
C ．有理数都是有限小数
D ．带根号的数都是无理数 4．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是（ ） A ．±1 B ．0和1 C ．0和－1
D ．0和±1
5.下列结论正确的是（ ） A ．64的立方根是±4
B ．2
1-
是6
1-
的立方根C ．立方根等于本身的数只有0和1 D ．332727-=-
6.下列各组数中互为相反数的是 （ ）
Ａ、 －２与2)2(- Ｂ、 －２与3
8- Ｃ、 －２与2
1-
Ｄ、2-与2、
7.若a ＝－２＋２)3(-⨯，b ＝2
3-，c ＝－2-
，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）
Ａa ＞b ＞c Ｂ b ＞a ＞c Ｃ c ＞a ＞b Ｄ a ＞c ＞b
8.估算28-7的值在 （ ） A 7和8之间 B 6和7之间 C 3和4之间 D 2和3之间
9.若实数a 、b 互为相反数，c 、d 互为负倒数，则式子3
cd b a +
+-＝______．
10．在数轴上与1距离是的点2，表示的实数为______． 11．比较大小：（1）;11______
103
3（2）
;2______
23
（3）.27______
93
12．若,033=+y x 则x 与y 的关系是______． 13．若m ＜0，则=-33m m ______． 14．比较大小：（1）;233
-
-
________（2）.36________1253--
15.计算题:3
2716949+- 2
336)48(1÷---
2
3
)4
51(127
26-
+-
（B ）能力提升
1.若无理数a 满足不等式1＜a ＜4，请写出两个符合条件的无理数______．
2.已知12+x 的平方根是5±，则45+x 的立方根是 .
3.小于15的正整数共有 个，它们的和等于 .
4.化简:|6-2|+|2-1|-|3-6|
5．已知a 是10的整数部分，b 是它的小数部分，求（－a ）3＋（b ＋3）2的值．
6.已知n
m m n A -+-=3是n －m ＋3的算术平方根，3
22n m B n m +=
+-是m ＋2n 的立方根，求B －A 的平
方根．
7.已知M 是满足不等式63<<-a 的所有整数
a 的和，N 是满足不等式2
237-≤
x 的最大整数．求M
＋N 的平方根．
四、课后作业：
1、若9.28,29.233==ab a ，则b 等于（ ）
A 、1000000
B 、1000
C 、10
D 、10000
2、要使k k -=-3)3(33，k 的取值为（ ）
A 、k>3
B 、k<3
C 、0<k<3
D 、一切实数
3、一个正偶数的算术平方根是a ，那么与这个正偶数相邻的下一个正偶数的平方根是（ ）
A 、a+2
B 、a 2
+2
C 、22
+±a
D 、2+±a
4．面积为11的正方形边长为x ，则x 的范围是（ ）
A ．13x << B. 34x << C. 510x << D. 10100x << 5.10的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a . 6.已知a 、b 为两个连续整数，且a ＜7＜b ，则b a += .
7.在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们的相反数按从小到大的顺序排列，用“<”号连接： 1.5,0,2,2,π---
8.已知 2251440x -=，且x 是正数，求代数式2513x +的值。

9．观察右图，每个小正方形的边长均为1，⑴图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？⑵估计边长的值
在哪两个整数之间。

10．如图，A 、B 是内壁高度同为4cm ，内部半径分别为2dm ，5dm 的两个圆柱的容器，一水管单独向 A 容器注水，1分钟可以注满，现将两容器在它们高度一半处用细管连通（连通细管的容积忽略不计），仍 用该水管向A 容器注水，注2分钟时间，A 容器中水的高度是多少？
A B。