自动控制理论第七章 非线性系统讲解

3、在正弦输入下，线性系统的输出是同频率正 弦信号。
非线性系统在正弦输入下，输出是周期和输入相 同、含有高次谐波的非正弦信号。
4、线性系统分析可用迭加原理，在典型输入信 号下系统分析的结果也适用于其它情况。
非线性系统不能应用迭加原理，没有一种通用的 方法来处理各种非线性问题。
对非线性系统分析研究的重点是：（1）系统是否 稳定；（2）有无自持振荡；（3）若存在自持振荡， 确定自持振荡的频率和振幅；（4）研究消除或减 弱自持振荡的方法。
相平面图是在 x x 平面中，绘制 (x, x)随时间t 变化
的轨迹，称为相轨迹。相轨迹的起点是 (x(0), x(0)) 。
奇点是指 dx 0的点。根据奇点附近相轨迹的特征， dx 0
奇点有不同名称，据此可判断系统运动的性质。
1、无阻尼运动 ( 0)
二阶系统的极点分布和相平面图如下
jω
x
λ1 ×
非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取 决于系统的结构、参数，而且还与输入信号及初始条 件有关。即可能在某个初始条件下稳定，而在另一个 初始条件下系统可能不稳定 。
2、线性系统只有两种基本运动形式：发散（不 稳定）和收敛（稳定）。
非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即 使无外界作用，也可能会发生自持振荡。
r 常数 e
＋
1 -1
1 -1
y
1 S(S 1)
C
系统线性部分的传递函数 G(S) 1 ，该二阶系统的无
S(S 1)
阻尼自然振荡角频率n 1rad /，s 阻尼比 0.5，根据
前面对奇点的分类，可知为稳定焦点。
继电器的输入－输出关系为
1, e 1;
y f (e) 0, 1 e 1;
x
x
系统的自由运动是非周期地趋向于原点。相轨迹 是趋于原点的抛物线，原点是奇点，称为稳定节点。
4、 (-1 0)
jω
x
×
0
x
×
系统的自由运动是发散振荡。相轨迹是以原点 出发的螺旋线，原点处的奇点称为不稳定焦点。
5、 (-1 )
jω
x
××
λ1 λ2
x
系统的运动是非周期发散运动。相轨迹是由原 点出发的发散型抛物线。原点处的奇点称为不稳定 节点。
7.2 非线性系统的相平面分析方法
相平面法是一种时域分析方法。设非线性系 统框图如图所示，其中N表示非线性环节，G(S) 是线性部分的传递函数。
r 常数
＋ N
G(S)
C
用相平面法分析非线性系统，线性部分传递 函数G(S)必须是二阶。
一、线性二阶系统奇点的类型
线性二阶系统的齐次微分方程为：
x 2 n x n2 x 0
常见于齿轮传动机构、铁磁 元件的磁滞现象。可使系统 的稳态误差增大，也使系统 的动态特性变差。
4、继电器特性
y
b
-a -ma 0 ma a x
-b
继电器特性中包含了死区、 回环和饱和特性，因此对 系统的稳态性能、暂态性 能和稳定性都有不利影响。
三、非线性系统的分析方法
1、相平面法 时域方法 2、描述函数法 频域方法
始状态分别为 e(0) 0.5,e(0) 0 和 e(0) 0.1,e(0) 0 的两 条相轨迹。
从图知，无论从哪一组初始条件出发，相轨迹均收敛于极限 环，这是一个稳定的极限环，意味着系统产生自持振荡。
一般不希望系统有自持振荡。当振荡难以消除时，应尽量 将振荡限制在一个较小的、可以接收的范围内。实际上，对 于此系统，通过减少继电器回环的宽度a，可减小振荡。
二、典型非线性系统及对系统性能的影响
1、死区非线性
y
k -a
k
0a x
常见于测量、放大元件中。 死区非线性特性导致系统产 生稳态误差，且用提高增量 的方法也无法消除。
2、饱和非线性
y
k -a
0a x
常见于放大器中，在大信号 作用下，放大倍数小，因而 降低了稳态精度。
3、间隙非线性
y
-a 0
k
a
x
-2
例2：非线性系统框图如下
r 常数 e
＋
a
-M
M a
y
2 S(S 1)
C
其中继电器回环特性的参数M=0.2，a=0.2。
系统的线性部分是欠阻尼情况，奇点是稳定焦点。非线性环节
的输入－输出关系为
M
e a, e 0
y＝
或 e a, e 0
－M
e a, e 0
或 e a, e 0
根据上述关系，可将 e e 平面分为二个区域。分别绘制初
第七章 非线性系统的分析
7.1 基本概念
系统的非线性程度比较严重，无法用小范围线 性化方法化为线性系统，称为非线性系统。有两种 情况：
（1）系统中存在非线性元件； （2）为了某种控制目的，人为引进的非线性。
一 、非线性系统的特点
1、线性系统的稳定性和零输入响应的性质只取决 于系统的结构、参数，而和系统的初始状态无关。
0
λ2 ×
0
x
无阻尼运动时，二阶系统的相平面图是一族同心
椭圆，每个椭圆代表一个简谐运动。这样的奇点称 为中心点。
2、欠阻尼运动 (0 1)
jω
λ1 ×
0
λ2 ×
x
x
系统的自由运动是衰减振荡。相轨迹是对数螺 旋线，收敛于原点。奇点称为稳定焦点。
3、过阻尼运动 ( 1)
jω
××
λ2 λ1 0
6、
,
12
是对称于原点的实数
jω
x
×
λ1
0×
λ2
x
系统的自由运动是发散运动，原点处的奇点称为鞍点。 以上6种奇点，类似的奇点在非线性系统中也常见到。
二、非线性系统的相平 面分析
二、非线性系统的相平面分析
借助Matlab等软件工具可以方便地绘制非线性系统的相平面图。
例1：有死区继电器非线性的系统框图如下
2、相轨迹最后没有到达原
点，即 lime(t) 0 ，说明 t
系统在阶跃信号输入下，存 在稳态误差，引起稳态误差 的原因是死区继电器特性。 系统线性部分的传递函数表 明，系统是Ⅰ型系统，对阶 跃响应的稳态误差应为0，可 见死区继电器非线性对稳态 精度的影响。
Ⅲ区 Ⅱ区 e
Ⅰ区
2
1
A
-1
12
-1
e
3
相平面法是分析非线性系统的一种时 域法、图解法，不仅可以分析系统的稳定 性和自振荡（极限环），而且可以求取系 统的动态响应。这种方法只运用于二阶系 统，但由于一般高阶系统又可用二阶系统 来近似，因此相平面法也可用于高阶系统 的近似分析。
1, e 1.
在 e e 平面，根据继电器的
非线性特性，可分为三个区域， Ⅲ区
设初始状态 e(0) 3，e(0) 0 ，
绘制相轨迹如图所示，(设r=3)
Ⅱ区 e
2
1
A
-1
1
根据系统的相轨迹，可对
-1
系统的性能分析如下：
-2
Ⅰ区
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23
1、系统的相轨迹收敛于A点，是稳定的，奇点为稳定
焦点。e是单调衰减的。