高三数学一轮复习函数的周期性教案

高三数学一轮复习教案：函数的周期性

教材分析：函数的奇偶性、周期性是函数的一个重要的性质，为高考中的必考知识点；常用

函数的概念、图像、单调性、周期性、对称性等综合考核。

学情分析：大多数学生了解函数的奇偶性、周期性的概念，但对判断函数奇偶性的判断和应

用，对函数的周期的求法还没有掌握。

教学目标：结合具体函数，了解函数奇偶性和周期性的含义；会运用函数图像判断函数奇偶

性和周期，利用图像研究函数的奇偶性和周期。

教学重点、难点：函数奇偶性和周期的判断，结合图像解决函数的奇偶性和周期性问题。

教学流程：

一、回顾上节课内容（问答式）

C1.奇偶函数的判断基本步骤：

（1）先求定义域，定义域不对称则函数为非奇非偶函数；

（2）定义域对称则利用定义判断函数奇偶性。

C2.奇偶函数的图像特征：奇函数图像关于原点（0，0）对称；偶函数关于y 轴对称。

二、函数的周期

C 1.周期的概念

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T 叫f(x)的周期，如果所以的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)最小正周期。

C 判断：最小正周期相同的两个函数的和，其最小正周期是不变。

答：错,不一定不变

2.周期函数的性质

C (1)周期函数不一定有最小正周期，若T ≠0是f(x)的周期，则ｋT(k ∈Z,k ≠0)也是的周期，周期函数的定义域无上、下届。

（2）如何判断函数的周期性:

⑴定义;

⑵图象;

⑶利用下列补充性质：设a>0，

C-①函数y=f(x),x ∈R,若f(x+a)=f(x-a)，则函数的周期为2a 。

B-②函数y=f(x),x ∈R,若f(x+a)=-f(x)，则函数的周期为 2a 。

B-③函数y=f(x),x ∈R,若 ，则函数的周期为 2a 。

B-④函数f(x)时关于直线 x=a 与x=b 对称，那么函数f(x)的周期为||2a b -

了解证明过程：

证明：由已知得：

)(1)(x f a x f -=+)()(,)()(x b f x b f x a f x a f -=+-=+[][]

)2()(2x a b b f x a b f +-+=+-∴

||2a b T -=∴

B 特例：若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x=a 对称，那么其周期为 T=2a 。

A-⑤若函数f(x)关于直线x=a 对称，又关于点(b,0)对称那么函数f(x)的周期是4|b-a|。

B 特例：若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x=a 对称，那么其周期为 T=4a 。

三、例题分析与课堂练习

例1.已知定义在R 上函数y=f(x)满足

(2)(2)f x f x +=-且y=f(x)是偶函数,

C （1）求函数周期。

B （2）当[0,2]x ∈时， ()21,f x x =-求当[4,0]()x f x ∈-时，的解析式.

利用图像分析

变式练习:已知(2)()f x f x +=-(]时，当4,0∈x 1)(2+-=x x f , C （1）时，当)0,4(-∈x 求f(x)的解析式。

B （2）求f(x)的解析式。

解：(1) [](4)(2)2(2)()4f x f x f x f x T +=++=-+=∴=

设)4,0(4)0,4(∈+-∈x x ，则，2(4)(4)1f x x ∴+=-++

(2) (](]4,4440,4x n n n Z x n ∈+∈-∈设，则

2()(4)(4)1f x f x n x n ∴=-=--+，n Z ∈

例2．()(,)(2)(2),(7)(7)f x f x f x f x f x -∞+∞-=+-=+设函数在上满足且在闭区间

[0，7]上，只有(1)(3)0.f f ==

B-(Ⅰ）试判断函数的周期性；

A-(Ⅱ）试求方程()0f x =在闭区间[－20，20]上的根的个数，并证明你的结论.

解: 由)14()4()14

()()

4()()7()7()

2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=-

)10()(+=⇒x f x f

所以：此函数为周期函数，最小正周期为10 .

(II)由)10()(+=x f x f

又(3)(1)0(11)(13)(7)(9)0f f f f f f ==⇒==-=-=

故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有两个解,

从而可知函数)(x f y =在[0,20]上有4个解,

在[-20，0]上有4个解,

所以函数)(x f y =在[-20,20]上有8个解。

四、课堂小结

1.函数的周期性定义

2.特殊函数周期

3.利用函数的周期解决有关函数问题。

五、课后作业

C-1填空：①．函数y=f(x),x ∈R,若f(x+2)=f(x-2)，则函数的周期为 。

②若f(x+1)=-f(x)，则函数的周期为 。

③若 ，则函数的周期为 。

④函数f(x)时关于直线 x=1 与x=-3 对称，那么函数f(x)的周期为 。

⑤若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x=1对称，那么其周期为 。

2.定义在R 上的函数f(x)满足(2)()f x f x +=-,且当3[1,1]()x f x x ∈-=时，

C （1）求f(x)在[1，5]上的表达式.

B （2）若{|(),},A x f x a x R A =>∈≠∅且,求实数a 的取值范围.

3.设()y f x =是定义在{0}D x x =≠，且满足对任意12,x x D

∈，有

1212()()()f x x f x f x ⋅=+，

C （1）求(1)f 的值。

)

(1)3(x f x f -=+