《二次根式》教材分析

《二次根式》教材分析1

一、本章地位与作用

本章内容属于“数与代数”的基础内容，既是“整式”、“分式”之后引入的第三类重要代数式，也是“实数”之后对“数”的认识的深化．本章内容具有极强的“工具性”，教材中安排本章在“勾股定理”之后、“二次方程”之前，意在为解二次方程做好准备；本学期安排本章在“勾股定理”之前，能为解任意直角三角形的三边数值扫清障碍．

整式

数式

算术平方根

勾股定理

（解直角三角形）一元二次方程

分式

二次根式

)

0(≥a a 应用二、知识网络归纳

性质最简二次根式

二次根式

)

0(≥a a 定义

乘除运算加减运算

**同类二次根式

三、课标及中考要求

【课标要求】

了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算．（不要求进行根号下含字母的二次根式的四则运算，如

3a b ，

a b a

等．） 【中考要求】 考试要求 A

B

二次根式 及其性质 了解二次根式的概念，

会确定二次根式有意义的条件 能根据二次根式的性质对代数式作简单

变形；能在给定条件下，确定字母的值 二次根式的

理解二次根式的加、减、乘、

会进行二次根式的化简，会进行二次根式

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参考了之前几次同题教材分析稿，例题也大多沿用之。

化简和运算 除运算法则 的混合运算（不要求分母有理化）

四、课时安排建议

21．1 二次根式 约2课时 21．2 二次根式的乘除 约2课时 21．3 二次根式的加减 约3～4课时 数学活动与小结 约2课时

五、全章教学建议

1． 注意本章内容的“工具性”．二次根式相关知识的学习是为后续勾股定理、二次方程的学习打基础，

因此应重点落实二次根式的性质、化简和计算（特别是实数的化简和计算）的准确性，提高学生的计算能力．尽管课本中的例题相对简单，但不要忽视它们在学生建立知识结构的过程所起的过渡作用．

非实验班不建议在此补充涉及代数式化简、运算技巧的内容（如分母有理化等），相应地，学探诊测试6第6题及之后的题目可不作为基本教学要求．

2． 从提出二次根式的概念开始，就注意强化“二次根式在一定条件下才有意义”这一观念．避免教

材第7页小贴士“在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数”给学生带来的误解和误导．总有为数不少的学生将二次根式有意义的“非负性”条件误记为“正性”条件，可能与此有关．

3． 注意对“实数”一章知识的复习，体现“数式通性”的原则；注意与“整式”、“分式”相关知识

的联系，相关结论可以类比记忆．

4． 注意教材和学探诊中，有些题目需要用到勾股定理，可先回避．

六、各小节教学建议 21．1 二次根式

（1）实例引入，注意复习开平方、算术平方根的概念和符号表示． （2）二次根式的形式定义：

建议不要把精力放在辨别一个式子是否为二次根式上，而应该侧重于理解被开方数是非负数（不要误记为正数）的要求．

22作为单独一个数应属于单项式，非二次根式． 学探诊92页第6题：下列各式中，一定是二次根式的是：（A ）23-（B ）2(0.3)-（C ）2-D ）x ，答案B ．本人认为题干应该改为“下列各二次根式一定有意义的是”．

总之，真正该提醒学生的是“数式通性”：如果被开方数是一个常数，那么它不可以是负数；如果被开方数含字母，那么它有取值范围的限制（与分式类似）． （3）二次根式（根号）的双重非负性：)0(,0≥≥a a ； （4）教材要求掌握的公式：2() (0)a a a =≥2 (0)a a a ≥，

建议授课时提高要求，理解并掌握⎩

⎨

⎧<-≥==)0()

0(2a a a a a a ．

➢

2a 与2)(a 的对比：

① 运算顺序不同：2

)(a 是先求算术平方根再平方，2a 是先平方再求算术平方根；

② a 的取值不同：2

)(a 中a 的取值是0≥a ，而2a 中a 的取值是任意实数；

③ 运算结果不同：2

)(a =a （0≥a ）；2a =⎩

⎨

⎧<-≥=)0()

0(||a a a a a ．

（5）代数式的概念：建议适当补充一些代数式的书写规范（如果之前没有讲过）． 例1 ：当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

（11x - （21x - （31x -； （41

x -． 答案：（1）1x ≥； （2）1x ≤； （3）1x >； （4）0x ≥且1x ≠．

提高题：求下列函数解析式中自变量x 的取值范围：

（1）2y x =+－x 23-； （2）y x =-1

1

x +； （3）21

x y -=

（4）222y x x =-+

答案：（1）322x -≤≤

；（2）0x ≤且1x ≠-；（3）1

2

x ≥且2x ≠；（4）全体实数． 例2 ：若x 、y 为实数，且y ＝2-x ＋x -2＋3．求y x 的值． （y x =9） 例3 ：判断下列等式是否成立：

(1)2

19)19

(

)= (2)219)19

()-=-

2(19)19(

)-= (4)

2

()a b

a b -=-

2

()(

)a b a b

-=- (6)20)

().a a a =-≤

答案：（1）√；（2）×；（3）√；（4）√；（5）×；（6）√．

例4 ：已知c b a ,,为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= ． （a b c ++）

21．2 二次根式的乘除

（10,0)a b ab a b =

≥≥

➢ 理解二次根式乘除运算法则的合理性：可与()n n n a b ab =做形式上的类比； ➢

***

可以利用算术平方根的定义进行推理证明：

∵

2

2

2

a b

a

b

ab =⋅= 且0a b ≥≥，∴a b ab =．

➢ 从公式的适用范围看，包括了某些字母取0的情况；

为降低难度，如果遇到纯二次根式化简问题，可以默认为字母都表示正数； 当涉及字母的取值范围问题时，不能认为字母都是正数．

（2）公式的逆用：)0,0(≥≥⋅=

b a b a ab ；．

➢ 能利用这条性质对二次根式进行化简．注意学生不易理解“开得尽方的因数或因式”的含义， 教

材在第8页小贴士的解释：可以开方后移到根号外的因数或因式．在这里，不妨多举一些例子，让学生明确在化简时，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后再将能开得尽方的因数或因式开出来．

➢ 初步总结乘法运算的结果应满足以下两个要求：