最新湖南省常德市桃源一中自主招生数学试卷(解析版)

2015年湖南省常德市桃源一中自主招生数学试卷
一、选择题
1．不等式的解集是（）
A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣3
2．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有 1 到6 的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5 上的
概率为（）
A．B．C．D．
3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（）
A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r
4．如图所示，在边长为 a 的正方形中，剪去一个边长为 b 的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b 的恒等式为（）
2 2 2 2 2 2
A．（a﹣b）﹣2ab+b
=a B．（a+b）=a +2ab+b 2 2
2
C．a﹣b
=（a+b）（a﹣b）D． a +ab=a（a+b）
5．若直线x+2y=2m 与直线2x+y=2m+3 （m 为常数）的交点在第四象限，则整数m 的值为（）A．﹣3，﹣2，﹣1，0 B．﹣2，﹣1，0，1 C．﹣1，0，1，2 D．0，1，2，3
二、填空题（每小题4分，共24分）
6．定义新运算：a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大致是．7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8=．
8．函数y=的自变量x的取值范围是．
9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的
面积为．
10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为，cos∠ABC=．
2
11．已知实数x，y满足x+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为．
12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，⋯叫做三角形数，它有一定的规律．若把第一个数记
为a1，第二数记为a2，⋯，第n个数记为a n．计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，⋯，由此推算a10﹣
a9=，a2012=．
三．解答题：（共52分）
13．先化简：÷﹣，然后在0，1，2，3中选一个你认为合格
的a值，代入求值．
2
﹣x+p+1=0有两个实数根x1，x2． 1012?桃源县
校级自主招生）关于x的一元二次议程x
（1）求p的取值范围．
（2）[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，求p的值．
15．某服装厂批发应夏季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关
系如图所示，
（1）直接写出y 与x 的函数关系式；
（2）一个批发商一次购进250 件T 恤衫，所花的钱数是多少元？（其他费用不计）；
（3）若每件T 恤衫的成本价是20 元，当100＜x≤400 件，（x 为正整数）时，求服装厂所获利润w（元）与x（件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？
2
16．如图，抛物线y=ax +c（a＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底A D 在x 轴上，A 点到
原点的距离为2，梯形的高为3，C 点到y 轴的距离为1，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M 为y 轴上的任意一点，求点M 到A，B 两点的距离之和的最小值及此时点M 的坐标；（3）在第（2）的结论下，抛物线上的P 的使S△P AD=S△ABM 成立，求点P 的坐标．
1012?桃源县校级自主招生）如图所示，四边形OABC 是矩形，点A、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段B C 上的动点（与端点B、C 不重合），过点 D 作直线y=﹣+b 交折线OAB 于点
E．记△ODE 的面积为S．
（1）当点 E 在线段O A 上时，求S 与b 的函数关系式；并求出 b 的范围；
（2）当点 E 在线段A B 上时，求S 与b 的函数关系式；并求出 b 的范围；
（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究
OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
2015年湖南省常德市桃源一中自主招生数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．不等式的解集是（）
A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣3
考点：解一元一次不等式组．
分析：先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间找”来求不等式组的解集．
解答：解：由①得：x＞﹣3，
由②得：x≤2，
所以不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
故选B．
点评：解不等式组是考查学生的基本计算能力，求不等式组解集的时候，可先分别求出组成不等式
组的各个不等式的解集，然后借助数轴或口诀求出所有解集的公共部分．
2．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有 1 到6 的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5 上的
概率为（）
A．B．C．D．
考点：列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征．
分析：列举出所有情况，看落在直线y=﹣x+5 上的情况占总情况的多少即可．
解答：解：共有36 种情况，落在直线y=﹣x+5 上的情况有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）4 种
情况，概率是，故选C．
1 2 3 4 5 6
1 （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）
2 （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）
3 （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）
4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）
5 （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）
6 （6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）
点评：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现m种结果，那么事件A 的概率P（A ）= ，注意本题是放回实验．
3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇
形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（）
A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r
考点：圆锥的计算；弧长的计算．
专题：压轴题．
分析：让扇形的弧长等于圆的周长即可．
解答：解：根据扇形的弧长等于圆的周长，
∴扇形弧长等于小圆的周长，
即：=2πr，
解得R=4r，故选D．
点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
4．如图所示，在边长为 a 的正方形中，剪去一个边长为 b 的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b 的恒等式为（）
2 2 2 2 2 2
A．（a﹣b）﹣2ab+b
=a B．（a+b）=a +2ab+b 2 2
2
C． a ﹣b
=（a+b）（a﹣b）D． a +ab=a（a+b）
考点：平方差公式的几何背景．
专题：计算题．
分析：可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于a、b 的恒等式．
2 2
解答：解：正方形中，S 阴影=a ﹣b
；
梯形中，S 阴影= （2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）；
2 2
故所得恒等式为： a ﹣b
=（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
点评：此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
5．若直线x+2y=2m 与直线2x+y=2m+3 （m 为常数）的交点在第四象限，则整数m 的值为（）A．﹣3，﹣2，﹣1，0 B．﹣2，﹣1，0，1 C．﹣1，0，1，2 D．0，1，2，3
考点：两条直线相交或平行问题．
专题：计算题；压轴题．
分析：由直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则交点坐标的符号为（+，﹣），解关于x、y的方程组，使x＞0，y＜0，即可求得m的值．
解答：解：由题意得，
解得，
∵直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，
∴，解得：﹣3，
又∵m的值为整数，∴m=﹣2，﹣1，0，1，
故选B．
点评：考查了平面直角坐标系中点的符号，是一道一次函数综合性的题目，是中档题．
二、填空题（每小题4分，共24分）
6．定义新运算：a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大致是
．
考点：一次函数的图象；反比例函数的图象．
专题：新定义．
分析：根据题意可得y=3⊕x=，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案．
解答：解：由题意得y=3⊕x=，
当x≥3时，y=2；当x＜3且x≠0时，y=﹣，图象如图：，
故答案为：
点评：此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活
解题．
7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8=π．
考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．
专题：计算题．
分析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利
用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
解答：解：原式=π﹣3.14++3.14﹣=π，
故答案为：π
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．函数y=的自变量x的取值范围是x＜﹣1或x≥4．
考点：函数自变量的取值范围．
分析：根据被开方数为非负数和分母不能为0计算即可．
2
解答：解：由题意得，x﹣3x﹣4≥0，x+1≠0，
解得，x＜﹣1或x≥4，
故答案为：x＜﹣1或x≥4．
点评：本题考查的是函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二
次根式时，被开方数为非负数．
9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的2
面积为 a ．
考点：正多边形和圆．
分析：由于正三角形各边三等分，就把整个三角形平均分成9个小正三角形，以这六个分点为顶点构成一个正六边形正好相当于6个小正三角形的面积．
解答：解：如图所示：
∵新的正六边形有三个顶点在正三角形的三边上，且是三边的等分点，
∴连接正三角形的顶点与它对边的中点，可以看出新的正六边形的面积是六个小正三角形的面积之和，
∵边长为a的正三角形各边三等分，
∴小正三角形的边长为a，
2
∴每个小正三角形的面积是×a×=a×a= a
，
2 2
∴新的正六边形的面积= a
×6=a；
2
故答案为： a
．
点评：此题考查了正三角形的性质、正三角形面积的计算方法；熟练掌握正三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为60°，cos∠ABC=．
考点：圆周角定理；特殊角的三角函数值．
分析：由于AB是⊙O的直径，由圆周角定理可知∠ACB=90°，则∠A和∠ABC互余，欲求∠ABC 需先求出∠A的度数，已知了同弧所对的圆周角∠CDB的度数，则∠A=∠CDB，由此得解．
解答：解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠A+∠ABC=90°；
又∵∠A=∠CDB=30°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=60°，
∴cos∠ABC=．
故答案为：60°．
点评：此题主要考查了圆周角定理及其推论，半圆（弧）和直径所对的圆周角是直角，同弧所对的
圆周角相等，还考查了三角函数，掌握圆周角定理是解题的关键．
2
11．已知实数x，y 满足x +3x+y ﹣3=0，则x+y 的最大值为 4 ．
考点：二次函数的应用．
专题：压轴题．
2
分析：将函数方程x
+3x+y ﹣3=0 代入x+y，把x+y 表示成关于x 的函数，根据二次函数的性质求得最大值．
2
解答：解：由x
+3x+y ﹣3=0 得
2
﹣3x+3，把y 代入x+y 得：
y=﹣x
2 2 2
﹣3x+3=﹣x ﹣2x+3= ﹣（x+1）
x+y=x ﹣x +4≤4，
∴x+y 的最大值为4．
故答案为：4．
点评：本题考查了二次函数的性质及求最大值的方法，即完全平方式法．
12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，⋯叫做三角形数，它有一定的规律．若把第一个数记为a1，第二数记为a2，⋯，第n 个数记为a n．计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，⋯，由此推算a10﹣a9=
10 ，a2012= 2025078 ．
考点：规律型：数字的变化类．
分析：先计算a2﹣a1=3﹣1=2；a3﹣a2=6﹣3=3；a4﹣a3=10﹣6=4，则a10﹣a9=10，a2=1+2 ，a3=1+2+3 ，
a4=1+3+4 ，即第n 个三角形数等于 1 到n 的所有整数的和，然后计算n=2012 的a 的值．
解答：解：∵a2﹣a1=3﹣1=2；
a3﹣a2=6﹣3=3；
a4﹣a3=10﹣6=4，
∴a10﹣a9=10
∵a2=1+2，
a3=1+2+3 ，
a4=1+2+3+4 ，
⋯
∴a2012=1+2+3+4+ ⋯+2012= =2025078．
故答案为：10，2025078．
点评：本题考查了规律型：数字的变化类，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律
变化的因素，然后推广到一般情况是解答此题的关键．
三．解答题：（共52分）
13．先化简：÷﹣，然后在0，1，2，3 中选一个你认为合格的a 值，代入求值．
考点：分式的化简求值．
分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x 的值代入进行计算即可．
解答：解：原式= ? +a
=a+a
=2a．
当a=2 时，原式=4a．
点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
2
﹣x+p+1=0 有两个实数根x1，x2． 1012?
桃源县校级自主招生）关于x的一元二次议程x
（1）求p 的取值范围．
（2）[1+x 1（1﹣x2）] [1+x2（1﹣x1）] =9，求p 的值．
考点：根的判别式；根与系数的关系．
分析：（1）根据题意得出△≥0，求出即可；
2
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=1，x1?x2=p+1 ，整理后得出（1﹣x1?x2）+（x1+x2）（1﹣x1?x2）
+x1?x2=9，代入求出即可．
2
解答：解：（1）△=（﹣1）﹣4（p+1）=﹣3﹣4p，
当﹣3﹣4p≥0，即p≤﹣时，方程有两个实数根，
即p 的取值范围是p≤﹣；
（2）根据根与系数的关系得：x1+x2=1，x1?x2=p+1 ，
∵[1+x1（1﹣x2）][1+x 2（1﹣x1）]=9，
2
∴（1﹣x1?x2）+（x1+x2）（1﹣x1?x2）+x1?x2=9，
2
∴[1﹣（p+1）]
+1×[1﹣（p+1）]+（p+1）=9，
解得：p±2，
∵p≤﹣，
∴p=﹣2 ．
点评：本题考查了根与系数的关系，根的判别式的应用，能正确利用知识点进行计算是解此题的关
键，题目比较典型．
15．某服装厂批发应夏季T 恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x 为正整数）之间的函数关
系如图所示，
（1）直接写出y 与x 的函数关系式；
（2）一个批发商一次购进250 件T 恤衫，所花的钱数是多少元？（其他费用不计）；
（3）若每件T 恤衫的成本价是20 元，当100＜x≤400 件，（x 为正整数）时，求服装厂所获利润w（元）与x（件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？
考点：二次函数的应用．
分析：（1）由题意设出一次函数的解析式，再根据点在直线上待定系数法求出函数解析式；
（2）列出总利润的函数表达式，转化为求函数最值问题，最后求出最大利润；
（3）根据利润=单件利润×批发数量，列出二次函数表达式，再运用二次函数性质解决最值问题．
解答：解：（1）当0≤x＜100 时，y=60；
当x≥100 时，设y=kx+b ，由图象可以看出过（100，60），（400，40），则
，
，
∴y= ；
（2）∵250＞100，
∴当x=250 件时，y=﹣×250+ =50 元，
∴批发商一次购进250 件T 恤衫，所花的钱数是：50×250=12500 元；
2
（3）W= （﹣x+﹣20）×x=﹣x
+ x=﹣（x﹣350）2
+ ，
∴当一次性批发350 件时，所获利润最大，最大利润是元．
点评：本题考查了待定系数法求函数关系式以及运用函数的性质解决问题，根据题意列出函数表达
式是解决问题的关键．
2
16．如图，抛物线y=ax +c（a＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底A D 在x 轴上，A 点到
原点的距离为2，梯形的高为3，C 点到y 轴的距离为1，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M 为y 轴上的任意一点，求点M 到A，B 两点的距离之和的最小值及此时点M 的坐标；（3）在第（2）的结论下，抛物线上的P 的使S△P AD=S△ABM 成立，求点P 的坐标．
考点：二次函数综合题．
2
分析：（1）易知A（﹣2，0），C（1，﹣3），将A、C两点的坐标代入y=ax
+c，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）由于A、D关于抛物线对称轴即y轴对称，那么连接BD，BD与y轴的交点即为所求的M点，可先求出直线BD的解析式，即可得到M点的坐标；
（3）设直线BC与y轴的交点为N，那么S△ABM=S 梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM，由此可求出△ABM
和△PAD的面积；在△PAD中，AD的长为定值，可根据其面积求出P点纵坐标的绝对值，然后代
入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．
解答：解：（1）由题意可得：A（﹣2，0），C（1，﹣3），
2
∵抛物线y=ax
+c（a＞0）经过A、C两点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y=x 2﹣4；
（2）由于A、D关于抛物线的对称轴（即y轴）对称，连接BD，则BD与y轴的交点即为M点；设直线BD的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵B（﹣1，﹣3），D（2，0），
∴，
解得，
∴直线BD的解析式为y=x﹣2，
当x=0时，y=﹣2，
∴点M的坐标是（0，﹣2）；
（3）设BC与y轴的交点为N，则有N（0，﹣3），
∵M（0，﹣2），B（﹣1，﹣3），
∴MN=1，BN=1，ON=3，
∴S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM=（1+2）×3﹣×1×1﹣×2×2=2，
∴S△PAD=S△ABM=2．
∵S△PAD=AD?|y P|=2，AD=4，
∴|y P|=1．
2
当P点纵坐标为1时，x﹣4=1，解得x=±，
∴P1（，1），P2（﹣，1）；
2
当P点纵坐标为﹣1时，x﹣4=﹣1，解得x=±，
∴P3（，﹣1），P4（﹣，﹣1）；
故存在符合条件的P点，且P点坐标为：P1（，1），P2（﹣，1），P3（，﹣1），P4（﹣，﹣1）．
点评：此题是二次函数的综合题型，其中涉及到二次函数解析式的确定、函数图象交点及图形面积
的求法，轴对称的性质等．当所求图形不规则时，一般要将不规则图形转换为几个规则图形面积的
和差来求．
1012?桃源县校级自主招生）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=﹣+b交折线OAB于点
E．记△ODE的面积为S．
（1）当点E在线段OA上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；
（2）当点E在线段AB上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；
（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究
OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
考点：一次函数综合题．
专题：压轴题．
分析：（1）要表示出△ODE 的面积，要分两种情况讨论，①如果点 E 在OA 边上，只需求出这
个三角形的底边OE 长（E 点横坐标）和高（ D 点纵坐标），代入三角形面积公式即可；（2）如果点E 在AB 边上，这时△ODE 的面积可用长方形OABC 的面积减去△OCD、△OAE 、△BDE 的面积；
（3）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积
是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA 边上的线段长度是否变化．
解答：解：（1）∵四边形OABC 是矩形，点 A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），
∴B（3，1），
若直线经过点 A （3，0）时，则b=
若直线经过点B（3，1）时，则b=
若直线经过点C（0，1）时，则b=1
①若直线与折线OAB 的交点在OA 上时，即1＜b≤，如图1，
此时E（2b，0）
∴S= OE ?CO= ×2b×1=b；
（2）若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，即＜b＜，如图2
此时E（3，），D（2b﹣2，1），
∴S=S 矩﹣（S△OCD+S△OAE+S△D BE）
=3﹣[ （2b﹣2）×1+ ×（5﹣2b）?（﹣b）+ ×3（b﹣）]
2
= b﹣b
，
∴S= ；
（3）如图3，设O1A 1 与CB 相交于点M ，OA 与C1B1 相交于点N，则矩形O1A1B1C1 与矩形OABC
的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积．
由题意知，DM ∥NE，DN∥ME ，
∴四边形DNEM 为平行四边形
根据轴对称知，∠MED= ∠NED，
又∠MDE= ∠NED，
∴∠MED= ∠MDE ，
∴MD=ME ，
∴平行四边形DNEM 为菱形．
过点 D 作DH ⊥OA，垂足为H，
由题易知，D（2b﹣2，1），
对于y=﹣+b，令y=0，得x=2b，则E（2b，0），
∴DH=1，HE=2b﹣（2b﹣2）=2，设菱形DNEM的边长为a，
2
则在Rt△DHN中，由勾股定理知： a
=（2﹣a）2 2 +1
，
∴a=，
∴S四边形DNEM=NE?DH=．
∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．
点评：本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖，是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．。