高二上学期数学10月月考试卷真题
江苏省泰州中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
江苏省泰州中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．经过两点(0,3),(P Q -的直线的倾斜角为（ ） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0m < B ．12m <C ．1m >-D ．2m ≥3．平面内一点M 到两定点()10,3F -，()20,3F 的距离之和为10，则M 的轨迹方程是（ ）A ．2212516x y +=B ．2212516y x +=C ．2212516y x -=D ．2212516x y -=4．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ）A ．B ．C ．D ．5．若直线y x m =+与曲线x m 的取值范围是（ ）A ．m =B ．m m ≤C ．m D ．11m -<≤或m =6．已知点P 在圆22:(2)(1)4O x y -+-=上，点()()1,2,2,2A B --，则满足6AP BP ⋅=u u u r u u u r的点P的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．07．设直线 :10l x y +-=， 一束光线从原点 O 出发沿射线 ()0y kx x =≥ 向直线 l 射出， 经 l 反射后与 x 轴交于点 M ， 再次经 x 轴反射后与 y 轴交于点 N . 若MN =， 则 k 的值为（ ）A ．32B ．23C ．12D ．138．已知圆22:16O x y +=，点12,2F ⎛- ⎝，点E 是:2160l x y -+=上的动点，过E 作圆O 的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与EO 交于点M ，则||MF 的最小值为（ ）A ．32B C D二、多选题9．已知ABC V 中，()1,2A -，()1,0B ，()3,4C ，则关于ABC V 下列说法中正确的有（ ） A ．某一边上的中线所在直线的方程为2y = B ．某一条角平分线所在直线的方程为2y = C ．某一边上的高所在直线的方程为20x y += D ．某一条中位线所在直线的方程为210x y -+= 10．下列说法正确的是（ ）A ．直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充要条件C ．过点()1,2P 且在x 轴，y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=D ．设点()()2,3,3,2A B ---，若点P x ,y 在线段AB 上（含端点），则11y x --的取值范围是(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭11．已知圆O ：224x y +=，过圆O 外一点(),P a b 作圆O 的切线，切点为A ，B ，直线OP 与直线AB 相交于点D ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点P 在直线40x y ++=上，则直线AB 过定点()1,1-- B ．当PA PB ⋅u u u r u u u r取得最小值时，点P 在圆2232x y +=上C ．直线PA ，PB 关于直线22ax by a b +=+对称D ．OP 与OD 的乘积为定值4三、填空题12．求过点(1,4)P -且与圆()()22231x y -+-=相切的直线方程为.13．已知方程22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是14．已知P 为圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点，()()0,0,2,0O B ，则P O B 的最小值为.四、解答题15．已知点()()1,3,5,7A B --和直线:34200l x y +-=． (1)求过点A 与直线l 平行的直线1l 的方程； (2)求过AB 的中点与l 垂直的直线2l 的方程．16．已知以点()1,2A -为圆心的圆与______，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点．从①直线270x y ++=相切；②圆()22320x y -+=关于直线210x y --=对称．这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题． (1)求圆A 的方程；(2)当MN =l 的方程．17．如图，将一块直角三角形木板ABO 置于平面直角坐标系中，已知1AB OB ==，AB OB ⊥，点11,24P ⎛⎫⎪⎝⎭是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角形木板锯成AMN V ，设直线MN 的斜率为k .(1)用k 表示出直线MN 的方程，并求出M 、N 的坐标；(2)求锯成的AMN V 的面积的最小值.18．如图，圆()22:10C x a x y ay a -++-+=.(1)若圆C 与y 轴相切，求圆C 的方程；(2)当4a =时，圆C 与x 轴相交于两点,M N （点M 在点N 的左侧）.问：是否存在圆222:O x y r +=，使得过点M 的任一条直线与该圆的交点,A B ，都有ANM BNM ∠=∠？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由.19．已知()0,3A 、B 、C 为圆O ：222x y r +=（0r >）上三点．(1)若直线BC 过点()0,2，求ABC V 面积的最大值；(2)若D 为曲线()()22143x y y ++=≠-上的动点，且AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，试问直线AB 和直线AC的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.。
福建省莆田市第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
福建省莆田市第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知某数列为34562491625---L ，，，，，，按照这个规律，则该数列的第10项是（ ） A ．1081-B ．1081C ．11100-D ．111002．已知等比数列{}210416,n a a a ,＝,＝则6a =（ ） A ．8 B ．±8 C ．10 D ．±103．已知两点()()3,1,2,5M N -，直线l 过点()1,1P 且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)4,+∞C ．[]1,4-D ．(][),14,-∞-⋃+∞4．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，23a =，21n n n a a a +++=，则2024S 的值为（ ） A ．0B ．3C ．4D ．55．已知数列{}n a 满足()123232n a a a na n n ++++=+L ，则66a =（ ） A ．2B ．13366C ．13766D ．139666．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，《洛书》上的图案由45个黑白圆点分别组合，摆成方形，南西东北分别有1,3,7,9个点，四角各有2,4,6,8个点，中间有5个点，简化成如图33⨯的方格，填好数字后各行、各列以及对角线上的3个数字之和都等于15．推广到一般情况，将连续的正整数21,2,3,,n L 填入n n ⨯的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等，这样一个n 阶幻方就填好了，记n 阶幻方对角线上的数字之和为n S ，则8S 的值为（ ）A ．111B ．175C ．260D ．3697．在数列{}n a 中，25n a n n=+，则12232425a a a a a a -+-++-=L （ ） A ．25B ．32C ．62D ．728．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111,1,2,n n na n a a a n ++⎧==⎨⎩为奇数为偶数，则100S =（ ）A ．5132156⨯-B ．5132103⨯-C ．5032156⨯-D ．5032103⨯-二、多选题9．已知数列{}n a 的通项公式为()627nn a n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．1a 是数列{}n a 的最小项B ．4a 是数列{}n a 的最大项C ．5a 是数列{}n a 的最大项D ．当5n ≥时，数列{}n a 递减10．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，若16121410S S S S +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．260S =B ．若131S =-，则393S =C ．当13n =时，n S 取得最小值D ．当0d >时，满足0n S <的最大整数n 的值为2511．已知n T 是正项数列{}n a 的前n 项积，且n n n n a T a T +=，将数列{}n T 的第1项，第3项，第7项，…，第21n -项抽出来，按原顺序组成一个新数列{}n b ，令n n n c T b =，数列{}n c 的前n 项和为n S ，且不等式()1n n S λ>-⋅对*n ∀∈N 恒成立，则（ ）A ．数列{}n T 是等比数列B ．1+=n n a nC ．12n n S n +=⋅D ．实数λ的取值范围是(−4,16)三、填空题12．已知数列{}n a 的前n 项和()21n S n =+，则数列{}n a 的通项公式为13．等比数列 a n 中，112a =，44a =-，令1n n b a =，则数列 b n 前n 项和为n S =.14．已知函数31()31x x f x -=+，数列{}n a 满足121a a ==，()*3n n a a n +=∈N ，()()2340f a f a a ++=，则20241i i a ==∑．四、解答题15．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足11a =．若5a ，2a ，1a 成等比数列． (1)求{}n a 的通项公式；(2)设12n n n b a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n S16．已知直线l 过定点()1,4A ，且直线l 在x ，y 轴上的截距依次为m 和n . (1)若直线l 在x ，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若直线l 分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于B ，C 两点，求直线与两坐标轴正半轴围成三角形BOC 面积最小时直线l 的方程.17．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，*n N ∈．数列{}n b 满足11b =，11n n n S n S b n +-=+++，其中n S 为数列{}n b 是前n 项和．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)令()()21n n n b n c n a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1524n T ≤<． 18．记n S 是公差不为0的等差数列 a n 的前n 项和，已知3453a a S +=，154a a S =，数列 b n 满足()11322n n n b b n --=+≥，且111b a =-.(1)求 a n 的通项公式；(2)证明数列12n nb ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列 b n 的通项公式； (3)求证：对于任意正整数n ，2221211112n a a a ++⋅⋅⋅+<19．已知数列{}n a 满足：11a =，25a =，2144n n n a a a ++=-. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)对于数列{}n b ，规定{}n b ∆为数列{}n b 的一阶差分数列，其中1n n n b b b +∆=-.如果{}n b 的一阶差分数列满足()*,,i j b b i j i j ∆≠∆∀∈≠N ，则称{}n b 是“绝对差异数列”.判断数列{}n a 是否为“绝对差异数列”并给出证明.(3)设12231nn a c n =+-，()()()112121nn n n n c d +-=++，记数列{}n d 的前n 项和为n T ，若对任意的n *∈N ，n m T ≥恒成立，求m 的取值范围.。
四川省成都2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学含答案
成都2024—2025学年度高二上期10月月考数学试卷（答案在最后）注意事项：1．本试卷分第I 卷和第II 卷两部分；2．本堂考试120分钟，满分150分；3．答题前，考生务必将自己的姓名、学号正确填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂；4．考试结束后，将答题卡交回．第I 卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．1．现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（）A ．①随机数法，②抽签法B ．①随机数法，②分层抽样C ．①抽签法，②分层抽样D ．①抽签法，②随机数法2．已知向量()1,2,1a =- ，()3,,b x y = ，且//a b r r，那么实数x y +等于（）A ．3B ．-3C ．9D ．-93．若,l n 是两条不相同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A ．若l n ⊥，n β⊥，则l //βB ．若αβ⊥，l α⊥，则l //βC ．若//αβ，l α⊂，则l //βD ．若//l α，//αβ，则l //β4．如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 为BC 中点，点N 在侧棱OA上，且2ON NA =，则MN =（）A ．121232a b c--+B ．211322a b c-++C ．211322a b c-- D ．111222a b c+-5．为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分别为53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）A ．58或64B ．59或64C ．58D ．596．已知点D 在ABC V 确定的平面内，O 是平面ABC 外任意一点，正数,x y 满足23DO xOA yOB OC =+- ，则yx 21+的最小值为（）A ．25B ．29C ．1D ．27．现有一段底面周长为12π厘米和高为12厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行π厘米后再向下爬行3厘米到达P 点，另一只从B 沿下底部圆弧逆时针方向爬行π厘米后再向上爬行3厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（）A ．B ．C ．6D ．128．如图，四边形,4,ABCD AB BD DA BC CD =====ABD △沿BD 折起，当二面角A BD C --的大小在[,63ππ时，直线AB 和CD 所成角为α，则cos α的最大值为（）A ．16B C ．16D ．8二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题中，正确的是（）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()2,0,1a =-，()4,0,2b =- ，则12//l l B ．直线l 的方向向量()1,1,2c =-，平面α的法向量是()6,4,1m =- ，则l α⊥C ．两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =-，()3,4,2v =- ，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量()0,1,1d = ，平面α的法向量()1,0,1n =，则直线l 与平面α所成角的大小为π310．小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（）A ．娱乐开支比通信开支多5元B ．日常开支比食品中的肉类开支多100元C ．娱乐开支金额为100元D ．肉类开支占储蓄开支的1311．已知四面体OABC 的所有棱长都为1,,D E 分别是,OA BC 的中点.N M ,是该四面体内切球球面上的两点，P 是该四面体表面上的动点.则下列选项中正确的是（）A.DE 的长为44B.D 到平面ABC 的距离为66C.当线段MN 最长时，PN PM ⋅的最大值为31D.直线OE 与直线AB 所成角的余弦值为33第II 卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某校高一年级共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，则应从高一2班抽取的人数是．13．已知(2,1,3),(1,4,2)a b =-=-- ，c (4,5,)λ=，若,,a b c 三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数λ的值为.14．在正方体ABCD A B C D -''''中，点P 是AA '上的动点，Q 是平面BB C C ''内的一点，且满足A D BQ '⊥，则平面BDP 与平面BDQ 所成角余弦值的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（满分13分）15．已知向量()6a m = ,，()1,0,2=b ，()()2R c m =∈ (1)求()a b c ⋅-的值；(2)求cos b c ,；(3)求a b - 的最小值.（满分15分）16．成都市政府委托市电视台进行“创建文明城市”知识问答活动，市电视台随机对该市1565～岁的人群抽取了n人，绘制出如图所示的频率分布直方图，回答问题的统计结果如表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第一组[15，25)500.5第二组[25，35)180a第三组[35，45)x0.9第四组[45，55)90b第五组[55，65)y0.6a b x y的值；（1）分别求出,,,（2）从第二、三、四、五组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取7人，则从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应各抽取多少人.-中，ABCD是边长为2的正方形，平面PBC⊥（满分15分）17．如图，在四棱锥P ABCDPC=.平面ABCD，直线PA与平面PBC所成的角为45︒，2（1）若E，F分别为BC，CD的中点，求证：直线AC⊥平面PEF；（2）求二面角D PA B--的正弦值.（满分17分）18．随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准.根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是20%至25%，男性的正常范围是15%至18%.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了1000名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图,如图.(1)求a ；(2)如果女性体脂率为25%至30%属“偏胖”，体脂率超过30%属“过胖”，那么全市女性“偏胖”，“过胖”各约有多少人？(3)小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低？（精确到小数点后2位）（满分17分）19．如图，四面体ABCD 中，2,AB BC BD AC AD DC ======(1)求证：平面ADC ⊥平面ABC ；(2)若(01)DP DB λλ=<<，①若直线AD 与平面APC 所成角为30°，求λ的值；②若PH ⊥平面,ABC H 为垂足，直线DH 与平面APC 的交点为G ．当三棱锥CHP A -体积最大时，求DGGH的值．高二上10月月考数学答案一、单选题：C D C C A B A B二、多选题：AC;BCD;BC3三、填空题：10；5；318:（1）由频率直方图可得，（2）由频率分布直方图可得样本中女性⨯=，所以全市女性50.020.1⨯=，10000000.1100000。
湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
高二数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一，二册占60%，选择性必修第一册第一章至第二章第4节占40%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}1,4,5B =，则()UB A ⋂=ð（）A.{}3B.{}4C.{}1,4 D.{}1,5【答案】D 【解析】【分析】利用补集与交集的定义可求解.【详解】因为全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，所以{}U 1,3,5A =ð，又因为{}1,4,5B =，(){}{}{}U 51,3,51,4,51,A B == ð.故选：D.2.已知复数1i z a =+（0a >），且3z =，则a =（）A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用复数的模的定义即可求解.【详解】因为1i z a =+，3z =3=，解得a =±，因为0a >，所以a =故选：D,3.已知1sin 3α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πcos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.9B.19-C.79-D.9-【答案】A 【解析】【分析】根据同角三角函数关系得出余弦值，再结合诱导公式化简后应用二倍角正弦公式计算即可.【详解】因为221sin ,sin cos 13ααα=+=,又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 3α===,所以π12242cos 2sin22sin cos 22339αααα⎛⎫-===⨯⨯ ⎪⎝⎭.故选：A.4.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时，()22x af x =+，则()1f =（）A.2B.4C.2- D.4-【答案】A 【解析】【分析】利用题意结合奇函数的定义判断()f x 是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数，且()00f =，故0202a+=，解得2a =-，故当0x ≤时，()222x f x =-+，由奇函数性质得()()11f f =--，而()121222f --=-+=-，故()()112f f =--=，故A 正确.故选：A5.在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1B AC B --的正切值为（）A.2B.3C.3D.【答案】D 【解析】【分析】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，可得1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，求解即可.【详解】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，由正方体1111ABCD A B C D -，可得11,AB B C AB BC ==，所以1,B M AC BM AC ⊥⊥，所以1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，可得AC =，所以BM =在1Rt B B M 中，11tan B B B MB BM =∠==,所以二面角1B AC B --.故答案为：D.6.已知线段AB 的端点B 的坐标是()3,4，端点A 在圆()()22124x y -+-=上运动，则线段AB 的中点P的轨迹方程为（）A.()()22232x y -+-= B.()()22231x y -+-=C.()()22341x y -+-= D.()()22552x y -+-=【答案】B 【解析】【分析】设出动点P 和动点A 的坐标，找到动点P 和动点A 坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可.【详解】设(,)P x y ，11(,)A x y ，由中点坐标公式得1134,22x y x y ++==，所以1123,24x x y y =-=-，故(23,2)A x y --4，因为A 在圆()()22124x y -+-=上运动，所以()()222312424x y --+--=，化简得()()22231x y -+-=，故B 正确.故选：B7.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵111ABC A B C -中，π2ABC ∠=，1AB BC AA ==，,,D E F 分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可.【详解】在从左往右第一个图中，因为π2ABC ∠=，所以AB BC ⊥，因为侧棱垂直于底面，所以1AA ⊥面ABC ，如图，以B 为原点建立空间直角坐标系，设12AB BC AA ===，因为,,D E F 分别是所在棱的中点，所以(0,0,0),(0,1,0),(1,0,2),(1,1,0)B E D F所以(1,1,0)BF = ，(1,1,2)DE =-- ，故110BF DE ⋅=-+=，即BF DE ⊥得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,2),(0,1,1)B E D F ，所以(0,1,1)BF = ，(0,1,2)DE =-，故121BF DE ⋅=-=-，所以,BF DE 不垂直，在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,0),(1,1,2)B E D F ，故(1,1,2)BF = ，(0,1,0)DE = ，即1BF DE ⋅=，所以,BF DE 不垂直，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有1个，故B 正确.故选：B8.已知过点()1,1P 的直线l 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点，则22OA OB+的最小值为（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知直线l 的斜率存在设为(0)k k <，分别解出,A B 两点的坐标，表示出22OA OB +的表达式由基本不等式即可求得最小值.【详解】由题意知直线l 的斜率存在．设直线的斜率为(0)k k <，直线l 的方程为1(x 1)y k -=-，则1(1,0),(0,1)A B k k--，所以222222121(1)(1)112OA OB k k kk k k+=-+-=-++-+22212(2)28k k k k =+--++≥++=，当且仅当22212,k k k k-=-=，即1k =-时，取等号.所以22OA OB +的最小值为8.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分．9.已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π85x =对称C.()f x 的图象关于点π,18⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D.()f x 的值域为[]1,1-【答案】ABD 【解析】【分析】求得最小正周期判断A ；求得对称轴判断B ；求得对称中心判断C ；求得值域判断D.【详解】因为()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以的最小正周期为2ππ2T ==，故A 正确；由ππ2π,Z 42x k k +=+∈，可得ππ,Z 28k x k =+∈，所以()f x 图象的对称轴为ππ,Z 28k x k =+∈，当1k =时，图象的关于π85x =对称，故B 正确；由Z 2ππ,4k x k =∈+，可得ππ,Z 28k x k =-∈，所以()f x 图象的对称中心为ππ(,0),Z 28k k -∈，当0k =时，图象的关于点()π8,0-对称，故C 不正确；由()πsin 2[1,1]4f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]1,1-，故D 正确.故选：ABD.10.若数据1x ，2x ，3x 和数据4x ，5x ，6x 的平均数、方差、极差均相等，则（）A.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的平均数相等B.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的方差相等C.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的极差相等D.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的中位数相等【答案】ABC 【解析】【分析】运用平均数，方差，极差，中位数的计算方法和公式计算，通过已知两组数据的平均数、方差、极差均相等这个条件，来分析这两组数据组合后的相关统计量与原数据的关系.【详解】设数据123,,x x x 的平均数为x ，数据456,,x x x 的平均数也为x .那么数据123456,,,,,x x x x x x 的平均数为123456()()3366x x x x x x x xx ++++++==，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的平均数相等，A 选项正确.设数据123,,x x x 的方差为2s ，数据456,,x x x 的方差也为2s .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其方差计算为2222221234561[()((()()()]6x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-2222221234561[3(()(())3(((())]6x x x x x x x x x x x x =⨯-+-+-+⨯-+-+-2221(33)6s s s =+=,所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的方差相等，B 选项正确.设数据123,,x x x 的极差为R ，数据456,,x x x 的极差也为R .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其极差是这六个数中的最大值减去最小值，由于前面两组数据的极差相等，所以组合后数据的极差依然是R ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的极差相等，C 选项正确.设数据123,,x x x 按从小到大排列为123x x x ≤≤，中位数为2x .设数据456,,x x x 按从小到大排列为456x x x ≤≤，中位数为5x .对于数据123456,,,,,x x x x x x 按从小到大排列后，中位数不一定是2x ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的中位数不一定相等，D 选项错误.故选：ABC11.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为6的菱形，1AA ⊥平面ABCD ，13AA =，π3DAB ∠=，点P 满足1AP AB AD t AA λμ=++，其中λ，μ，[]0,1t ∈，则（）A.当P 为底面1111D C B A 的中心时，53t λμ++=B.当1t λμ++=时，AP 长度的最小值为2C.当1t λμ++=时，AP 长度的最大值为6D.当221t λμλμ++==时，1A P为定值【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，利用空间向量进行逐项进行分析求解判断.【详解】对于A ，当P 为底面1111D C B A 的中心时，由1AP AB AD t AA λμ=++ ，则11,,122t λμ===故2t λμ++=，故A 错误；对于B ，当1t λμ++=时，()22222222112·AP AB AD t AA AB AD t AA AB ADλμλμλμ=++=+++()()222223693636936t t λμλμλμλμ=+++=++-22245723636457236362t t t t λμλμ+⎛⎫=-+-≥-+- ⎪⎝⎭223273654273644t t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭当且仅当13,84t λμ===，取最小值为2，故B 正确;对于C ，当1t λμ++=时，1AP AB AD t AA λμ=++，则点P 在1A BD 及内部，而AP是以A 为球心，以AP 为半径的球面被平面1A BD 所截图形在四棱柱1111ABCD A B C D -及内的部分，当=1=0t λμ=，时，=6AP ，当=0=10t λμ=，，时，=6AP ，可得1A P最大值为6，故C 正确；对于D ，221t λμλμ++==，()22223693636945AP t λμλμ=+++=+= ，而11=A P A A AP +，所以()22222111111=+2·=+2A P A A AP A A AP A A AP A A AB AD t AA λμ++⋅++ 22211=29452936A A AP t A A +-=+-⨯= ，则16A P = 为定值，故D 正确.故答案选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()1,2a =- ，(),4b m =-．若()a ab ⊥+ ，则m =________．【答案】3-【解析】【分析】利用非零向量垂直时数量积为0，计算即可.【详解】()1,2a b m +=--．因为()a ab ⊥+ ，所以()1220m ---⨯=，解得3m =-．故答案为：3-.13.已知在正四棱台1111ABCD A B C D -中，()0,4,0AB = ，()13,1,1CB =- ，()112,0,0A D =-，则异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值为__________.【答案】19【解析】【分析】利用向量的线性运算求得1DB，根据向量的夹角公式可求异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值.【详解】111(0,4,0)(3,1,1)(3,3,1)DB DC CB AB CB =+=+=+-=，所以111111111·cos,19·DB A DDB A DDB A D==-，所以异面直线1DB与11A D所成角的余弦值为19.故答案为：1914.已知函数()21xg x=-，若函数()()()()()2121f xg x a g x a=+--+⎡⎤⎣⎦有三个零点，则a的取值范围为__________.【答案】()2,1--【解析】【分析】令()0f x=，可得()2g x=或()1g x a=--，函数有三个零点，则需方程()1g x a=--有两个解，则=与1y a=--的图象有两个交点，数形结合可求解.【详解】令()0f x=，可得()()()()21210g x a g x a⎡⎤+--+=⎣⎦，所以()()()[2][1]0g x g x a-++=，所以()2g x=或()1g x a=--，由()2g x=，又()21xg x=-，可得212x-=，解得21x=-或23x=，方程21x=-无解，方程23x=有一解，故()2g x=有一解，要使函数()()()()()2121f xg x a g x a⎡⎤=+--+⎣⎦有三个零点，则()1g x a=--有两解，即=与1y a=--的图象有两个交点，作出函数=的图象的示图如下：由图象可得011a<--<，解得21a-<<-.所以a的取值范围为(2,1)--.故答案为：(2,1)--.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos c b a B +=．（1）若π2A =，求B ；（2）若a =1b =，求ABC V 的面积.【答案】（1）π4（2）12【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合内角和定理与两角和与差的正弦公式化简等式得sin sin()B A B =-，代入π2A =求解可得；（2）由sin sin()B A B =-根据角的范围得2A B =，由正弦定理结合二倍角公式可得cos 2B =，从而得π4B =，再利用余弦定理求边c ，由面积公式可求结果.【小问1详解】因为2cos c b a B +=，所以由正弦定理得，sin sin 2sin cos C B A B +=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+代入上式得，所以()sin sin cos cos sin sin =-=-B A B A B A B ，由π2A =，则B 为锐角，且c sin s os n π2i B B B ⎛⎫-= ⎭=⎪⎝，所以π4B =.【小问2详解】由（1）知，()sin sin B A B =-，因为a =1b =，所以A B >，则0πA B <-<，π02B <<，故B A B =-，或πB A B A +-==（舍去）.所以2A B =，又a =1b =，由正弦定理得sin sin 22cos sin sin A B aB B B b====，则cos 2B =，则π4B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，则2122c =+-，化简得2210c c -+=，解得1c =，所以111sin 2222ABC S ac B === .故ABC V 的面积为12.16.甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为12.（1）求甲连续打四局比赛的概率；（2）求在前四局中甲轮空两局的概率；（3）求第四局甲轮空的概率.【答案】（1）18（2）14（3）38【解析】【分析】（1）由题意知甲前三局都要打胜，计算可得甲连续打四局比赛的概率；（2）甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，计算即可；（3）分析可得甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，计算即可.【小问1详解】若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，所以甲连续打四局比赛的概率311(28=；【小问2详解】在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，故在前四局中甲轮空两局的概率111(1(1)224-⨯-=；【小问3详解】甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，第1种情况的概率111(1)(1224-⨯-=；第2种情况的概率1111(12228⨯⨯-=；由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为113488+=.17.如图，在几何体PABCD 中，PA ⊥平面ABC ，//PA DC ，AB AC ⊥，2PA AC AB DC ===，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点.（1）证明：//EF 平面PAC ．（2）证明：AB EF ⊥.（3）求直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行.（2）先证AB ⊥平面PACD ，得到AB PC ⊥，结合（1）中的结论，可得AB EF ⊥.（3）问题转化为直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.设1CD =，表示CP 的长，利用体积法求C 到平面PBD 的距离，则问题可解.【小问1详解】如图，连接CP .在BCP 中，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点，所以//EF CP ,，又EF ⊄平面PAC ，CP ⊂平面PAC .所以//EF 平面PAC .【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，又AB AC ⊥,,PA AC ⊂平面PAC ，且PA AC A = ，所以AB ⊥平面PAC .因为CP ⊂平面PAC ，所以AB CP ⊥.又因为//EF CP ，所以AB EF ⊥.【小问3详解】因为//EF CP ，所以直线EF 与平面PBD 所成角与直线PC 与平面PBD 所成角相等，设为θ.不妨设1CD =，则=PC 设C 到平面PBD 的距离为h .则13C PBD PBD V S h -=⋅ .又11212333C PBDB PCD PCD V V S AB --==⋅=⨯⨯= .在PBD △中，PB =BD PD ==，所以12PBD S =⨯= .所以33C PBD PBD V h S -=== .所以63sin θ6h PC ===.故直线EF 与平面PBD.18.设A 是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a ，b ，c A Î，使得a b b c -=-，则称A 为“等差集”．（1）若集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，且B 是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B ；（2）若集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，求m 的值；（3）已知正整数3n ≥，证明：{}23,,,,nx x x x ⋅⋅⋅不是“等差集”．【答案】（1）答案见解析（2）2m =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差集的定义结合子集的定义求解即可；（2）根据等差集定义应用a b b c -=-，即2a c b +=逐个计算判断即可；（3）应用反证法证明集合不是等差集.【小问1详解】因为集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，存在3个不同的元素a ，b ，c B ∈，使得a b b c -=-，则{}1,3,5,9B =或{}1,3,5B =或{}1,5,9B =.【小问2详解】因为集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，所以221m m =+-或2211m m =+-或()2221m m +=-,计算可得1132m -±=或0m =或2m =或1334m =，又因为m 正整数,所以2m =.【小问3详解】假设{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅是“等差集”，则存在{},,1,2,3,,,m n q n m n q ∈<< ,2n m q x x x =+成立，化简可得2m n q n x x --=+,0m n x ->因为*N ,1x q n ∈-≥,所以21q n x x ->≥≥,所以=1与{}22,,,,nx x x x ⋅⋅⋅集合的互异性矛盾，所以{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅不是“等差集”．【点睛】方法点睛：解题方法是定义的理解，应用反证法设集合是等差集，再化简计算得出矛盾即可证明.19.过点()00,A x y 作斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，若()120k k μμ=≠，则称直线1l ，2l 是()A K μ定积直线或()()00,x y K μ定积直线．（1）已知直线a ：()0y kx k =≠，直线b ：13y x k=-，试问是否存在点A ，使得直线a ，b 是()A K μ定积直线？请说明理由．（2）在OPM 中，O 为坐标原点，点P 与点M 均在第一象限，且点()00,M x y 在二次函数23y x =-的图象上．若直线OP 与直线OM 是()()0,01K 定积直线，直线OP 与直线PM 是()2P K -定积直线，直线OM与直线PM 是()00,202x y K x ⎛⎫- ⎪⎝⎭定积直线，求点P 的坐标．（3）已知直线m 与n 是()()2,44K --定积直线，设点()0,0O 到直线m ，n 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 的取值范围．【答案】（1）存在，理由见解析（2）()1,2（3）[)0,8【解析】【分析】（1）由定积直线的定义运算可求结论；（2）设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，利用定积直线的定义可得01x λ=或1-，进而2003x x λ-=，计算即可；（3）设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y x t-=-+，其中0t ≠，计算得12d d =，利用基本不等式可求12d d 的取值范围.【小问1详解】存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，理由如下：由题意可得1133k k ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，由()013y kx k y x k ⎧=≠⎪⎨=-⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，故存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，且13μ=-．【小问2详解】设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，直线PM 的斜率为2λ-．依题意得()2022x λλ⋅-=-，得2201x λ=，即01x λ=或1-．直线OM 的方程为y x λ=，因为点()200,3M x x -在直线OM 上，所以2003x x λ-=．因为点M 在第一象限，所以20031x x λ-==，解得02x =或2-（舍去），12λ=，()2,1M ，所以直线OP 的方程为12y x x λ==，直线PM 的方程为()2213y x x λ=--+=-+，由23y x y x =⎧⎨=-+⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，即点P 的坐标为()1,2．【小问3详解】设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y xt-=-+，其中0t ≠，则12d d ===2216171725t t ++≥=，当且仅当2216t t =，即24t =时，等号成立，所以08≤<，即1208d d ≤<，故12d d 的取值范围为[)0,8．【点睛】思路点睛：理解新定义题型的含义，利用定积直线的定义进行计算求解，考查了运算求解能力，以及基本不等式的应用.。
山东省淄博第七中学2024-2025学年高二上学期10月月考 数学试卷(含解析)
2024-2025学年山东省淄博第七中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于x 轴对称的点坐标是（）A ．()2,1,4--B ．()2,1,4C ．()2,1,4---D ．()2,1,4-答案：C解：在空间直角坐标系中，点(2,1,4)-关于x 轴对称的点坐标为(2,1,4)---.故选：C.2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为15，和棋的概率为12，则乙不输的概率为（）A ．45B ．310C ．12D ．15答案：A解：∵乙不输与甲获胜对立事件，∴乙不输的概率是14155-=，故选：A.3．对于空间任意一点O 和不共线的三点,,A B C ，有如下关系：111632OP OA OB OC =++，则（）A ．,,,O A B C 四点必共面B ．,,,P A B C 四点必共面C ．,,,O P B C 四点必共面D ．,,,,O P A B C 五点必共面答案：B解：对于空间任一点O 和不共线三点,,A B C ，若点P 满足(,,)OP xOA yOB zOC x y z =++∈R且1x y z ++=，则,,,P A B C 四点共面.而111632OP OA OB OC =++ ，其中1111632++=，所以,,,P A B C 四点共面.故选：B.4．如图所示，在正方体ABCD A B C D -''''中，点E 是棱BC 的中点，点G 是棱DD '的中点，则异面直线GB 与B E '所成的角为（）A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°答案：B解：以D 为原点，建立如图所示的空间直线坐标系D xyz -，设正方体ABCD A B C D -''''的棱长为2，则(0G ，0，1)，(2B ，2，0)，(2B '，2，2)，(1E ，2，0)，∴(2,2,1)GB =- ，(1,0,2)B E '=--，2020GB B E ⋅'=-++=，∴GB B E ⊥'，∴异面直线GB 与B E '所成的角为90︒．故选：B ．5．如图，在四面体OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，则MN = （）A ．111222OB OC OA+-B ．111222OA OC OB--C ．111222OB OC OA++D ．111222OA OC OB+-答案：A解： 在四面体OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，()()11112222111111222222MN MA AN OA AB AC OA OB OA OC OAOA OB OC OA OB OC OA ∴=+=++=+-+-=++-=+-故选：A ．6．已知随机事件A ，B 满足1()3P A =，3()4P B =，5()6P A B = ，则()P A B = （）A ．116B ．18C ．316D ．14答案：D解：依题意，1351()()()()3464P A B P A P B P A B =+-=+-= .故选：D7．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若点P 满足1311534AP AB AD AA =++，则点P 到直线AB 的距离为（）A ．25144B ．512C ．1320D答案：B解：解：如图，过P 作PM ⊥平面ABCD 于点M ，过M 作NM AB ⊥于点N ，连接PN ，则PN 即为所求，因为满足1311534AP AB AD AA =++，所以35AN =，13MN =，14MP =，所以512PN =，故选：B ．8．已知直线l 的方向向量为()1,2,2u =-，则向量()1,1,2a =- 在直线l 上的投影向量坐标为（）A ．122,,333⎛⎫- ⎝⎭B ．112,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．112,,999⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．122,,999⎛⎫- ⎝⎭答案：D解：直线l 的方向向量为()1,2,2u =-和()1,1,2a =- ，可得2221,1(2)23u u a ⋅==+-+=r r r ，则向量()1,1,2a =-直线l 上的投影向量的坐标为1221,2,2(,,993911()3u a u uu -⋅⋅=⋅=-.故选：D.二、多选题9．下面结论正确的是（）A ．若()()1P A PB +=，则事件A 与B 是互为对立事件B ．若()()()P AB P A P B =，则事件A 与B 是相互独立事件C ．若事件A 与B 是互斥事件，则A 与B 也是互斥事件D ．若事件A 与B 是相互独立事件，则A 与B 也是相互独立事件答案：BD根据互斥事件、对立事件的知识判断AC 两个选项的正确性，根据相互独立事件的知识判断BD 两个选项的正确性.解：对于A 选项，要使,A B 为对立事件，除()()1P A P B +=还需满足()0P AB =，也即,A B 不能同时发生，所以A 选项错误.对于C 选项，A 包含于B ，所以A 与B 不是互斥事件，所以C 选项错误.对于B 选项，根据相互独立事件的知识可知，B 选项正确.对于D 选项，根据相互独立事件的知识可知，D 选项正确.故选：BD10．已知1111ABCD A B C D -是正方体，以下正确命题有（）A ．()2211111113A A A D A B A B ++= B ．()11110A C AB A A ⋅-=C ．向量AD与向量1A B uuu r 的夹角为60°D ．正方体1111ABCD A B C D -的体积为1AB AA AD⋅⋅答案：A解：设正方体的边长为1，A 选项，()()222211111111111*********2A A A D A B A A A D A B A A A D A A A B A D A B +++++⋅+⋅+⋅= 222111111113A A A D A B ++=++== .21133A B = ，所以A 选项正确.B 选项，()111111111A C A B A A A C A B A C A A ⋅-=⋅-⋅ 是数量积运算，结果是实数，0是向量，所以B 选项错误.C 选项，11//AD A D ，根据正方体的性质可知111A D A B ⊥，所以1AD A B ⊥，即向量AD与向量1A B uuu r 的夹角为90︒，C 选项错误.D 选项，正方体的体积为31=1，100AB AA AD AD ⋅⋅=⋅=，所以D 选项错误.故选：A四、多选题11．已知向量(,,0)m a b = ，(,,1)n c d =，其中22221a b c d +=+=，则以下命题正确的是（）A ．向量n与z 轴正方向的夹角恒为定值（即与c ，d 无关）；B ．m n ⋅C ．,m n （m ，n的夹角）的最大值为3π4；D ．若定义sin ,u v u v u v ⨯= ，则m n ⨯答案：ACD解：对于A ，取z 轴的正方向单位向量()0,0,1a =，则cos ,2n an a n a ⋅===，∴向量n与z 轴正方向的夹角恒为定值π4，故A 正确；对于B ，222222*********a cb d ac bd m n ac bd ++++++⋅=+≤+===，当且仅当,a c b d ==时取等号，因此m n ⋅的最大值为1，故B 错误；对于C ，由B 可得1m n ⋅≤ ，∴11m n -≤⋅≤，∴cos ,2m nm n m n ⋅==≥=-，∴,m n 的最大值为3π4，故C 正确；对于D ，由C可知：cos ,22m n ≤≤，∴π3π,44m n ≤≤，sin ,12m n ≤≤ ，∴sin ,1m n m n m n ⨯=⨯⨯≤D 正确．故选：ACD.12．已知空间向量(1,2,3)a =- ，则向量a在坐标平面Oyz 上的投影向量是.答案：()0,2,3解：向量(1,2,3)a =-在坐标平面Oyz 上的投影向量是()0,2,3.故答案为：()0,2,3.13．已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，12AA =，1AD =，E 为CD 的中点，则点1B 到平面1AD E 的距离为．解：解：以D 为坐标原点，射线DA 、DC 、1DD 依次为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则点(0E ，2，0)，1(0D ，0，2)，(1A ，0，0)，1(1B ，4，2)，从而1(1D A = ，0，2)-，(1AE =- ，2，0)，11(1D B =，4，0)，设平面1AD E 的法向量为(n x =，y ，)z ，由1·0·0n D A n AE ⎧=⎨=⎩可得2020x z x y -=⎧⎨-+=⎩，令()2,1,1n =，所以点1B 到平面1AD E的距离为：11||||n D B d n ===．14．已知矩形ABCD ，20AB =，15BC =，沿对角线AC 将ABC V 折起，使得BD =，则二面角B AC D--的大小是.答案：23π作出二面角的平面角，建立空间坐标系，设二面角B AC D --的大小为α，表示出B 、D 两点坐标，根据距离公式列方程解出α.解：在矩形ABCD 中，作DE AC ⊥于点O ，交AB 于点E ，作BF AC ⊥于点F ，20AB = ，15BC =，25AC ∴==，20151225AB BC DO BF AC ⋅⨯∴====，9AO CF ====，25927OF ∴=-⨯=，在翻折后，以O 为原点，以OE 、OC 所在直线为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则DOE ∠为二面角B AC D --的平面角，设()0DOE ααπ∠=<<，则()12cos ,0,12sin D αα，()12,7,0B ，()2212cos 1249144sin 337288cos 481BD ααα∴=-++=-=，得1cos 2α=-，0απ<< ，23πα∴=.因此，二面角B AC D --的大小是23π.故答案为：23π.15．已知空间中三点()2,0,2A -，()1,1,2B --，()3,0,4C -，设a AB = ，b AC =.(1)已知()a kb b +⊥ ，求k 的值；(2)若6c = ，且c ∥BC ，求c的坐标.答案：(1)15(2)(4,2,4)c =-或(4,2,4)--解：（1）由题知()1,1,0a AB ==--，()1,0,2b AC ==- ，所以()1,1,2a kb k k +=---，因为()a kb b +⊥ ，所以()0a kb b +⋅= ⇒140k k -+=⇒15k =.（2）因为c ∥BC，()2,1,2BC =- ，所以()2,,2c BC λλλλ==- ，R λ∈，因为6c = ，所以()()222222936λλλλ++-==，解得2λ=±，所以()4,2,4c =-或()4,2,4--.16．已知A ，B ，C 为三个独立事件，若事件A 发生的概率是12，事件B 发生的概率是23，事件C 发生的概率是34，求下列事件的概率：（1）事件A ，B ，C 只发生两个的概率；（2）事件A ，B ，C 至多发生两个的概率．答案：（1）1124；（2）34．解：（1）记“事件A ，B ，C 只发生两个”为A 1，则事件A 1包括三种彼此互斥的情况：AB C ，A B C ，A BC ，由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，得P (A 1)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝112＋18＋14＝1124，∴事件A ，B ，C 只发生两个的概率为1124．（2）记“事件A ，B ，C 至多发生两个”为A 2，则包括彼此互斥的三种情况：事件A ，B ，C 一个也不发生，记为A 3，事件A ，B ，C 只发生一个，记为A 4，事件A ，B ，C 只发生两个，记为A 5，故P (A 2)＝P (A 3)＋P (A 4)＋P (A 5)＝124＋624＋1124＝34．∴事件A ，B ，C 至多发生两个的概率为34．17．已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒．(1)求1AD AC ⋅ ；(2)求1AC ．答案：(1)310解：（1）设AB a = ，AD b = ，1AA c =，由题意得：||1a = ，||1b = ，||2= c ，0a b ⋅= ，1a c ⋅= ，1b c ⋅= ，21()()11013AD AC b c b a b b c b a a c ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅=+++=；（2）2221||22211422010AC a b c a b c a c b c a b =++=+++⋅+⋅+⋅=+++++=18．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)现从抽出的7名同学中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.①写出样本空间；②设事件M =“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率.答案：(1)甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人(2)①答案见解析；②521解：（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人；（2）①设甲年级的是,,A B C ，乙年级的是,D E ，丙年级的是,F G ，则样本空间为()()()()()()()(){(),,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A D A E A F A G B C B D B E()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B F B GCD CE CF CG D E D F D G E F E G ()},F G ；②由①得，事件M 包含的基本事件为()()()()(),,,,,,,,,A B A C B C D E F G 共5种，所以()521P M =.19．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC （不与端点重合）上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1，（1）求证：平面PBC ⊥平面PQB ；（2）当PM 的长为何值时，平面QMB 与平面PDC 所成的角的大小为60°？答案：（1）证明见解析；（2）当PM=2时，平面QMB 与平面PDC 所成的角大小为60°.解：（1）∵AD //BC ，Q 为AD 的中点，BC=12AD ，∴BC //QD ，BC=QD ，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴BQ //CD.∵∠ADC=90°，∴BC ⊥BQ.∵PA=PD ，AQ=QD ，∴PQ ⊥AD.又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，∴PQ ⊥平面ABCD ，∴PQ ⊥BC.又∵PQ ∩BQ=Q ，∴BC ⊥平面PQB.∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PQB.（2）由（1）可知PQ ⊥平面ABCD.如图，以Q 为原点，分别以QA ，QB ，QP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则Q (0，0，0)，D (-1，0，0)，P (0，0，3)，B (0，3，0)，C (-1，3，0)，∴QB =(0，3，0)，DC =(0，3，0)，DP =(1，0，3)，PC =(-1，3，-3)，PC=222(-1)(3)(-3)7++=.设PM =λPC ，则PM =(-λ，3λ，-3λ)，且0<λ<1，得M (-λ，3λ，33-λ)，∴QM=(-λ，3λ，3(1-λ)).设平面MBQ 的法向量为m →=(x ，y ，z )，则·0·0QM m QB m ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，，，即-33(1-)030.x y z y λλλ⎧++=⎪⎨=⎪⎩，令x=3，则y=0，z=1-λλ，∴平面MBQ 的一个法向量为m →=3，0，1-λλ.设平面PDC 的法向量为n →=(x'，y'，z')，则·0·0DC n DP n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即3'0'3'0.x ==⎪⎩，令x'=3，则y'=0，3∴平面PDC 的一个法向量为n →=(3，0，3.∴平面QMB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为60°，∴cos60°=233-3||11-2||||1231-n m n m λλλλ→→→→⋅⋅==⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭，∴λ=12.∴PM=1272.即当PM=2时，平面QMB与平面PDC所成的角大小为60°.。
北京市顺义区2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷含答案
顺义2024-2025学年第一学期月考高二年级数学试卷（答案在最后）一、选择题（每小题5分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填涂在答题卡相应的位置上）1.空间任意四个点,,,A B C D ，则DA CD CB +-=（）A.DBB.ACC.ABD.BA【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量加减运算法则得到答案.【详解】C D C A A D B CA B CB +-=-=.故选：D2.直线20x --=的倾斜角是（）A.30︒B.45︒C.60︒D.75︒【答案】A 【解析】【分析】先得到直线斜率，从而求出倾斜角.【详解】3232033x y x --=⇒=-，故斜率为33，故倾斜角为30︒.故选：A3.若直线经过()(1,0,A B 两点，则直线AB 的倾斜角为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.135︒【答案】C 【解析】【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，进而求出倾斜角.【详解】由直线经过()(1,0,A B 两点，可得直线的斜率为3021-=-，设直线的倾斜角为θ，有tan θ=，又0180θ≤< ，所以60θ= .故选：C.4.已知直线l 的一个方向向量为()3,2a =-，则直线l 的斜率为（）A.32-B.23-C.23 D.32【答案】B 【解析】【分析】根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率.【详解】因为直线l 的一个方向向量为()3,2a =-，所以直线l 的斜率为23-.故选：B5.过点(1,3)P -且垂直于直线230x y -+=的直线方程为（）A.210x y +-=B.250x y +-= C.250x y +-= D.270x y -+=【答案】A 【解析】【分析】由题意可得直线230x y -+=的斜率为12，由垂直得垂直直线的斜率，然后由点斜式写出直线方程，化为一般式可得结果．【详解】解：由题意可得直线230x y -+=的斜率为12，则过点(1,3)P -且垂直于直线230x y -+=的直线斜率为2-，直线方程为32(1)y x -=-+，化为一般式为210x y +-=．故选：A ．6.若直线l 的方向向量为()2,1,m ，平面α的法向量为11,,22⎛⎫⎪⎝⎭，且l α⊥，则m =（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】由l α⊥可知，直线l 的方向向量与平面α的法向量平行，列方程组求解即可.【详解】∵直线l 的方向向量为()2,1,m ，平面α的法向量为11,,22⎛⎫⎪⎝⎭，且l α⊥，∴直线l 的方向向量与平面α的法向量平行，则存在实数λ使()12,1,1,,22m λ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴21122m λλλ=⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得2,4m λ==，故选：D.7.如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且23OM OA = ，点N 为BC 中点，则MN等于（）A.111222a b c +-B.211322a b c-++C.221332a b c +- D.221332a b c-+- 【答案】B 【解析】【分析】根据给定的几何体，利用已知的空间基底表示向量MN.【详解】在空间四边形OABC 中，11111((323))2)2(MN MA AN OA AB AC OA OB OA OC OA =+=++=+-+- 211211322322OA OB OC a b c =-++=-++.故选：B8.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11A C 的中点，Q 为线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点Q ，使得//PQ BDB.存在点Q ，使得PQ ⊥平面11AB C DC.三棱锥Q APD -的体积是定值D.存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为π6【答案】B 【解析】【分析】A 由11//BD B D 、11B D PQ P = 即可判断；B 若Q 为1BC 中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；C 只需求证1BC 与面APD 是否平行；D 利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.【详解】A ：正方体中11//BD B D ，而P 为线段11A C 的中点，即为11B D 的中点，所以11B D PQ P = ，故,BD PQ 不可能平行，错；B ：若Q 为1BC 中点，则1//PQ A B ，而11A B AB ⊥，故1PQ AB ⊥，又AD ⊥面11ABB A ，1A B ⊂面11ABB A ，则1A B AD ⊥，故PQ AD ⊥，1AB AD A ⋂=，1,AB AD ⊂面11AB C D ，则PQ ⊥面11AB C D ，所以存在Q 使得PQ ⊥平面11AB C D ，对；C ：由正方体性质知：11//BC AD ，而1AD 面APD A =，故1BC 与面APD不平行，所以Q 在线段1BC 上运动时，到面APD 的距离不一定相等，故三棱锥Q APD -的体积不是定值，错；D ：构建如下图示空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0)A ，(1,1,2)P ，(2,2,)Q a a -且02a ≤≤，所以(2,0,0)DA = ，(1,1,2)PQ a a =--，若它们夹角为θ，则222cos ||2(1)1(2)233a a a a θ==⨯-++-⋅-+令1[1,1]t a =-∈-，则22cos 112121t t t tθ==⋅++⋅++，当(0,1]t ∈，则[)11,t ∈+∞，6cos (0,]6θ∈；当0t =则cos 0θ=；当[1,0)t ∈-，则(]1,1t∞∈--，2cos (0,2θ∈；所以π3cos62=不在上述范围内，错.故选：B二、填空题（每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡相应的位置上）9.已知()2,1,3a =- ，()1,2,1b =- ，则a b ⋅= ______；a 与b夹角的余弦值为______．【答案】①.7②.2161216【解析】【分析】利用空间向量数量积公式和夹角余弦公式进行求解【详解】()()2,1,31,2,12237a b ⋅=-⋅-=++=，a 与b夹角的余弦值为216419141a b a b⋅==++⨯++⋅ .故答案为：7，21610.设()3,5,4a =- ，()2,1,2b =-- ，则2a b =-r r ______；2a b -= ______．【答案】①.()1,7,0-②.52【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则得到()1,72,0a b =--rr ，并利用模长公式求出答案.【详解】()()()()()23,5,422,1,23,5,440,2,41,7,a b =-=------=---rr；214902a b -=++故答案为：()1,7,0,52-11.若直线1:10+-=l mx y 与2:(43)10l m x my -+-=平行，则实数m =______.【答案】3【解析】【分析】根据两直线平行，列出有关m 的等式，即可求出实数m 的值，再验证直线的关系.【详解】由于1l 与2l 平行，则()2430m m --=，则1m =或3m =，当1m =时，1:10l x y +-=，2:10l x y +-=，两直线重合，当3m =时，1:310l x y +-=，2:9310l x y +-=，两直线平行.故答案为：3.12.如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①直线DD 1的一个方向向量为()0,0,1；②直线BC 1的一个方向向量为()0,1,1；③平面ABB 1A 1的一个法向量为()0,1,0；④平面B 1CD 的一个法向量为 恈 恈 ；则上述结论正确的是___________（填序号）【答案】①②③【解析】【分析】根据向量的平行、方向向量、法向量及坐标运算求解即可.【详解】设正方体的棱长为1.因为11//AA DD ，且()10,0,1AA =，所以①正确；因为11//AD BC ，()10,1,1AD =，所以②正确；因为AD ⊥平面11ABB A ，()0,1,0AD =，所以③正确；因为正方体中CD ⊥平面11B BCC ，1BC ⊂平面11B BCC ，所以1CD BC ⊥，又11BC B C ⊥，1B C CD C ⋂=，1,B C CD ⊂平面1B CD ，所以1⊥BC 平面1B CD ，而1BC 与1AC 相交，不平行，1AC 与平面1B CD 不垂直，故()11,1,1AC =不是平面1B CD 的法向量，所以④错误.故答案为：①②③.三、解答题（共4小题，共60分，在答题卡相应位置上写出详细的解答过程）13.已知ABC V 的三个顶点为()4,0A ，()0,2B ，()2,6C ．（1）求AC 边所在的直线方程．（2）求AC 边上的高BD 所在直线的方程；（3）求BC 边上的中线AE 所在直线的方程．【答案】（1）3120x y +-=（2）360x y -+=（3）43160x y +-=【解析】【分析】（1）两点式求出直线AC 的方程，化为一般式即可；（2）根据垂直关系，设出BD 所在直线方程为30x y t -+=，将()0,2B 代入，求出6t =，得到答案；（3）求出()1,4E ，两点式求出直线方程，化为一般式即可.【小问1详解】AC 边所在的直线方程为046024y x --=--，即3120x y +-=；【小问2详解】设AC 边上的高BD 所在直线方程为30x y t -+=，将()0,2B 代入得060t -+=，解得6t =，故AC 边上的高BD 所在直线方程为360x y -+=；【小问3详解】线段BC 的中点坐标为0226,22E ++⎛⎫⎪⎝⎭，即()1,4E ，故BC 边上的中线AE 所在直线方程为410441y x --=--，即43160x y +-=.14.已知1111ABCD A B C D -是正方体，点E 为11A B 的中点，点F 为11B C 的中点．（1）求证：1⊥BD EF ；（2）求平面EFC 与平面BFC 夹角的余弦值．（3）求点1C 到直线1BD 的距离．【答案】（1）证明过程见解析（2）23（3）3【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到10BD EF ⋅=，求出垂直关系；（2）求出两平面的法向量，利用面面角的余弦夹角公式得到答案；（3）利用点到直线距离向量公式求出答案.【小问1详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()()()()()12,2,0,0,0,2,2,1,2,1,2,2,0,2,0B D E F C ，故()()12,2,21,1,0220BD EF ⋅=--⋅-=-= ，故1BD EF ⊥uuu r uu u r ，所以1⊥BD EF ；【小问2详解】由图可知，平面BFC 的法向量为()0,1,0m =，设平面EFC 的法向量为(),,n x y z =，则()()()(),,1,1,00,,1,0,220n EF x y z x y n CF x y z x z ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩ ，令1z =得2,2x y =-=-，故()2,2,1n =--，平面EFC 与平面BFC 夹角的余弦值为()()0,1,02,2,123441m nm n ⋅--⋅==⋅++；【小问3详解】()10,2,2C ，()12,2,2BD =-- ，()()()12,2,00,2,22,0,2C B =-=-，点1C 到直线1BD 的距离为()()22211112,0,22,2,264043444C B BD d C B BD ⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅ ⎪=-=++- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==．（1）求证：//AD 平面PBC ；（2）求直线BD 平面PCD 夹角的正弦值；（3）求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）12（3【解析】【分析】（1）由线线平行得到线面平行即可证明；（2）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，由线面角的夹角向量公式求出直线BD 平面PCD 夹角的正弦值；（3）在（2）基础上，由点到平面距离向量公式求出答案.【小问1详解】因为底面ABCD 为正方形，所以//AD BC ，因为AD ⊄平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，所以//AD 平面PBC ；【小问2详解】因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,2,0B D P C ，设平面PCD 的法向量为 恈 恈 ，则()()()(),,2,2,22220,,0,2,2220m PC x y z x y z m PD x y z y z ⎧⋅=⋅-=+-=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩ ，令1y =，则1,0z x ==，则()0,1,1m =，直线BD 平面PCD 夹角的正弦值为1cos ,2BD m BD m BD m⋅===⋅ ；【小问3详解】由（2）知，平面PCD 的法向量为()0,1,1m =，点B 到平面PCD 的距离为BC m m ⋅=== 16.如图，在四面体ABCD 中，AD⊥平面ABC ，点M 为棱AB 的中点，2,2AB AC BC AD ====.（1）证明：AC BD ⊥；（2）求平面BCD 和平面DCM 夹角的余弦值；（3）在线段BD 上是否存在一点P ，使得直线PC 与平面DCM 所成角的正弦值为6？若存在，求BP BD 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）223（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由勾股定理得AB AC ⊥，由AD ⊥平面ABC 得AD AC ⊥，从而AC ⊥平面ABD ，进而得出结论；（2）以A 为坐标原点，以,,AB AC AD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BCD 与平面DCM 的法向量，利用向量夹角公式求解；（3）设()01BP BD λλ=≤≤，则BP BD λ= ，求得22,0(,2)P λλ-，设直线PC 与平面DCM 所成角为θ，由题意sin cos ,PC n PC n PC n θ⋅== ，列式求解即可.【小问1详解】∵2,AB AC BC ===，∴222AB AC BC +=，∴AB AC ⊥，∵AD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴AD AC ⊥，∵AB AD A ⋂=，,AB AD ⊂平面ABD ，∴AC ⊥平面ABD ，∵BD ⊂平面ABD ，∴AC BD ⊥.【小问2详解】以A 为坐标原点，以,,AB AC AD 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0)A B C D M ，(2,2,0),(0,2,2),(1,2,0)BC CD CM =-=-=- ,设平面BCD 的法向量为111(,,)m x y z = ，由1111220220m BC x y m CD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令11x =，则111,1==y z ，(1,1,1)m = ，设平面DCM 的法向量为222(,,)n x y z = ，由222222020n CD y z n CM x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21y =，则222,1x z ==，(2,1,1)n = ，∴cos ,3m n m n m n ⋅=== ，∴平面BCD 和平面DCM夹角的余弦值为3.【小问3详解】设()01BP BDλλ=≤≤，则BP BD λ= ，设(,,)P x y z ，则()()2,,2,0,2x y z λ-=-，得22,0,2x y z λλ-=-==，∴22,0(,2)P λλ-，()22,2,2PC λλ=-- ，平面DCM 的法向量为(2,1,1)n = ，设直线PC 与平面DCM 所成角为θ，由题意，6sin cos ,6PC n PC n PC n θ⋅==== ，∴210λ+=，此方程无解，∴在线段BD 上是不存在一点P ，使得直线PC 与平面DCM 所成角的正弦值为66.。
四川省成都市石室中学2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学含解析
成都石室中学2024-2025学年度上期高2026届十月考试数学试题（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足：()i 12i 34z +=-，则复数z 的共轭复数z 的虚部为（ ）A. 2iB. -2C. 2D. 2i-2. 在一个实验中，某种豚鼠被感染A 病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[]0,9之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：192 907 966 925 271 932 812 458 569 683257 393 127 556 488 730 113 537 989 431据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为（ ）A. 0.25B. 0.4C. 0.6D. 0.753. 如图，在圆锥PO 中，轴截面PAB 的顶角60A P B Ð=°，设D 是母线PA 的中点，C 在底面圆周上，且PC AB ^，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为（ ）A.15°B.30°C. 45°D.60°4. 已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ^底面A B C ，则“1CB BB ^”是“CB AB ^”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面ABCD 是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（ ）A. AB BC EF =+B. 2BC AB EF =+C. 2EF AB BC =+ D. 2AB BC EF =-6. 两条异面直线,a b 所成的角为60°，在直线,a b 上分别取点,A E 和点,B F ，使AB a ^，且AB b ^.已知6,8,14AE BF EF ===的长为（A. 20或12B. 12或或 D. 207. 已知55ln ,lg 22a ab b +=+=，则（ ）A. 2a b << B. 2b a << C. 2b a << D. 2a b <<8. 正四面体的棱长为3，MN 是它内切球的直径，P 为正四面体表面上的动点，PM PN ×uuuu r uuu r 的最大值为（ ）A. 2B. 94 C. 52 D. 3二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）A. 乙发生的概率为12B. 丙发生的概率为12C. 甲与丁相互独立 D. 丙与丁互为对立事件10. 如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，,E F 为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则（ ）A.点P 到平面QEF 的距离为定值B.三棱锥P QEF -的体积为定值C.直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值D.二面角P EF Q --的大小为定11. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()()()22,12,1f x y f x y f x f y f f x +×-=-=+为偶函数，则（ ）A. ()32f = B. ()f x 为偶函数C. ()20f = D. 20241()0k f k ==å三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上.12. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点B 到直线1AC 的距离为_________．13. 把正方形ABCD 沿对角线AC 折成60°的二面角，,E F 分别是,BC AD 的中点，O 是原正方形ABCD 的中心，则EOF Ð的余弦值为_________．14. 已知函数()()πsin 0,2f x x w j w j æö=+><ç÷èø．直线y =与曲线()y f x =的两个交点,A B 如图所示，若π4AB =，且()f x 在区间5π11π,1212æöç÷èø上单调递减，则w =_______；j =_______．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在A B C △中，2,120AB BC ABC ==Ð=°，将A B C △绕着BC 旋转到BDC △的位置，如图所示．（1）求直线AD 与直线BC 所成角的大小；（2）当三棱锥D ABC -的体积最大时，求平面ABD 和平面B D C 的夹角的余弦值．16.（本小题满分15分）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组[)20,25、第2组[)25,30、第3组[)30,35、第4组[)35,40、第5组[]40,45.（1）求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[)35,40的人数；（2）估计抽出的100名志愿者年龄的第75百分位数；（3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.17.（本小题满分15分）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2cos 2b C a c =+．（1）求角B（2）若b =D 为AC 边上的一点，1BD =，且______，求ABC V 的面积．请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．①BD 是ABC Ð的平分线；②D 为线段AC 的中点．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）18.（本小题满分17分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为BC 的中点，点M 在1BD 上．再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M 唯一确定，并解答问题．条件①：MA MC =；条件②：EM AD ^；条件③：//EM 平面11CDD C ．（1）求证：M 为1BD 的中点；（2）求直线EM 与平面MCD 所成角的大小；（3）求点E 到平面MCD 的距离．注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．19. （本小题满分17分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，90ACB Ð=°，11,2BC AC CC ===.（1）证明：11AC A B ^；（2）设直线1AA 与平面11BCC B ，求平面11A ABB 与平面ABC 的夹角的余弦值.成都石室中学2024-2025学年度上期高2026届10月月考数学试题（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足：()i 12i 34z +=-，则复数z 的共轭复数z 的虚部为（ ）A. 2iB. -2C. 2D. 2i-【答案】C2. 在一个实验中，某种豚鼠被感染A 病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[]0,9之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：192 907 966 925 271 932 812 458 569 683257 393 127 556 488 730 113 537 989 431据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为（ ）A. 0.25B. 0.4C. 0.6D. 0.75【答案】A3. 如图，在圆锥PO 中，轴截面PAB 的顶角60A P B Ð=°，设D 是母线PA 的中点，C 在底面圆周上，且PC AB ^，则异面直线C D 与PB 所成角的大小为（ C ）A.15°B.30°C. 45°D.60°4. 已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ^底面A B C ，则“1CB BB ^”是“CB AB ^”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 5. 庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面ABCD 是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（ ）A. AB BC EF =+B. 2BC AB EF =+C. 2EF AB BC =+D. 2AB BC EF=-【答案】A 6. 两条异面直线,a b 所成的角为60°，在直线,a b 上分别取点,A E 和点,B F ，使AB a ^，且AB b ^.已知6,8,14AE BF EF ===，则线段AB 的长为（ ）A. 20或12B. 12或C. D. 20【答案】B7. 已知55ln ,lg 22a ab b +=+=，则（ ）A. 2a b << B. 2b a <<C. 2b a<< D. 2a b<<【答案】D 8. 正四面体的棱长为3，MN 是它内切球的直径，P 为正四面体表面上的动点，PM PN ×uuuu r uuu r 的最大值为（ ）A. 2B. 94C. 52D. 3【答案】D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）A. 乙发生的概率为12B. 丙发生的概率为12C. 甲与丁相互独立D. 丙与丁互为对立事件【答案】ACD10. 如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，,E F 为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则（ ABD ）A.点P 到平面QEF 的距离为定值B.三棱锥P QEF -的体积为定值C.直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值D.二面角P EF Q --的大小为定值11. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()()()22,12,1f x y f x y f x f y f f x +×-=-=+为偶函数，则（ ）A. ()32f = B. ()f x 为偶函数C. ()20f = D. 20241()0k f k ==å【答案】CD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上.12. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点B 到直线1AC 的距离为_________．13. 把正方形ABCD 沿对角线AC 折成60°的二面角，,E F 分别是,BC AD 的中点，O 是原正方形ABCD 的中心，则EOF Ð的余弦值为_________．【答案】14-14. 已知函数()()πsin 0,2f x x w j w j æö=+><ç÷èø．直线y =与曲线()y f x =的两个交点,A B 如图所示，若π4AB =，且()f x 在区间5π11π,1212æöç÷èø上单调递减，则w =_______；j =_______．【答案】 ①. 2 ②. π3-四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在A B C △中，2,120AB BC ABC ==Ð=°，将A B C △绕着BC 旋转到BDC △的位置，如图所示．（1）求直线AD 与直线BC 所成角的大小；（2）当三棱锥D ABC -的体积最大时，求平面ABD 和平面B D C 的夹角的余弦值．【解析】（1）取A D 的中点E ，连接,CE BE ，由题意可知,AC D C AB D B ==，所以,CE AD BE AD ^^；因为,,CE BE E CE BE Ç=Ì平面B C E ，所以AD ^平面B C E ；因B C Ì平面B C E ，所以BC AD ^，直线AD 与直线BC 所成角为90°.（2）由题意可知三棱锥D ABC -的体积最大时，平面D B C ^平面A B C ；在平面D B C 内作出DO BC ^，且与CB 的延长线交于点O ，连接OA ；因为平面D B C ^平面A B C ，平面D B C I 平面ABC BC =，DO BC ^，所以DO ^平面A B C ；根据旋转图形的特点可知，,,OD OA OC 两两垂直，以O 为坐标原点，,,OA OC OD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为2,120AB BC ABC ==Ð=°，所以1OA OD OB ===；())(()0,1,0,,,0,3,0B AD C；)(1,0,0,BA BD =-=-uuu r uuu r ，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则00n BA n BD ì×=ïí×=ïîuu u r r uuu r r，00y y -=-=，令y =，则()n =r；易知平面B D C的一个法向量为)OA =uuu r,为设平面ABD 和平面B D C 的夹角为q，则cos OA n OA nq ×===uuu r r uuu r r 所以平面ABD 和平面B D C.16. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组[)20,25、第2组[)25,30、第3组[)30,35、第4组[)35,40、第5组[]40,45.（1）求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[)35,40的人数；（2）估计抽出的100名志愿者年龄的第75百分位数；（3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.【答案】（1）150（2）37.5（3）415【解析】（1）由直方图知：(0.14)51x +´=，可得0.06x =，∴500名志愿者中年龄在[)35,40的人数为0.065500150´´=人. ………2分（2）因为()0.010.040.0750.60.75++´=<，()0.010.040.070.0650.90.75+++´=>，所以第75百分位数在[)35,40区间内，若该数为a ，∴0.60.06(35)0.75a +´-=，解得37.5a =.………6分（3）由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为2:3:1，知6名志愿者有2名来自[)25,30，3名来自[)35,40，1名来自[)40,45， ………8分不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为12123,,,,,a a b b b c ，则抽取两人的基本事件有()()()()()()()1211112122123,,,,,,,,,,,,,a a a a a a c a b a b b b b ，()()232,,,,a b a c ()()()()()()121312323,,,,,,,,,,,b b b b b c b b b c b c ，共15个，………12分∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率415P =.………13分17.（本小题满分15分）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2cos 2b C a c =+．（1）求角B 的大小；（2）若b =D 为AC 边上的一点，1BD =，且______，求ABC V 的面积．请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．①BD 是ABC Ð的平分线；②D 为线段AC 的中点．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）【解析】（1）由正弦定理知，2sin cos 2sin sin B C A C =+，∵()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，代入上式得2cos sin sin 0B C C +=，………3分∵()0,πC Î，∴sin 0C >，1cos 2B =-，∵()0,πB Î，∴2π3B =．………5分（2）若选①：由BD 平分ABC Ð得，ABC ABD BCD S S S =+△△△，∴12π1π1πsin 1sin 1sin 232323ac c a =´´+´´，即ac a c =+．………8分在ABC V 中，由余弦定理得2222π2cos 3b ac ac =+-，又b =，∴2212a c ac ++=，………10分联立2212ac a c a c ac =+ìí++=î得()2120ac ac --=，解得4ac =，3ac =-（舍去），∴12π1sin 4232ABC S ac ==´=△………15分若选②：因为()12BD BA BC =+uuu r uuu r uuu r，所以()()222211244BD BA BC BA BA BC BC =+=+×+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，即2212π12cos 43c ac a æö=++ç÷èø，得224a c ac +-=，………10分在ABC V 中，由余弦定理得2222π2cos 3b ac ac =+-，即2212a c ac ++=，联立2222412a c ac a c ac ì+-=í++=î，可得4ac =，∴12π1sin 4232ABC S ac ==´=△………15分18.（本小题满分17分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为BC 的中点，点M 在1BD 上．再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M 唯一确定，并解答问题．条件①：MA MC =；条件②：EM AD ^；条件③：//EM 平面11CDD C ．（1）求证：M 为1BD 的中点；（2）求直线EM 与平面MCD 所成角的大小；（3）求点E 到平面MCD 的距离．注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】（1）证明：选条件①：由MA MC =，根据正方体1111ABCD A B C D -的对称性，此时点M 为1BD 上的任意一点，所以不成立；选条件②：EM AD ^．连接1CD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，由BC ^平面11CDD C ，因为1CD Ì平面11CDD C ，所以1BC CD ^，又因为EM AD ^，//AD BC ， 所以EM BC ^，因为1,EM CD Ì平面1BCD ，所以1//EM CD ，又因为E 为BC 的中点， 所以M 为1BD 的中点．………6分选择条件 ③：//EM 平面11CDD C ．连接1CD ，因为//EM 平面11CDD C ，EM Ì平面1BCD ，且平面1BCD Ç平面111CDD C CD =，所以所以1//EM CD ，因为E 为BC 的中点，所以M 为1BD 的中点． ………6分（2）在正方体1111ABCD A B C D -中，1,,DA DC DD 两两互相垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(1,1,1)D C E M ，所以(0,2,0)DC =uuu r ，(1,1,1)DM =uuuu r ，(,,)011=-EM u u u r，设平面MCD 的法向量为(,,)m x y z =u r ，则0m DC y m DM x y z ì×==ïí×=++=ïîuuu r r uuuu rr ，令1x =，则0,1y z ==-．于是(1,0,1)m =-u r，………13分设直线EM 与平面MCD 所成的角为q ，则1sin cos ,2m EM m EM m EM q ×===×uuuu r r uuuur r uuuu r r ，所以直线EM 与平面MCD 所成角的大小为30o ，………15分（3）点E 到平面MCD的距离为sin sin 30d EM q ===o uuuu r .………17分19. （本小题满分17分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，90ACB Ð=°，11,2BC AC CC ===.（1）证明：11AC A B ^；（2）设直线1AA 与平面11BCC B，求平面11A ABB 与平面ABC 的夹角的余弦值.解法一：（1）1A D ^平面ABC ，1A D Ì平面11AA C C ，故平面11AA C C ^平面ABC ．又BC AC ^，BC \^平面11AA C C ．连结1A C ，又1A C Ì平面11AA C C ，1BC A C \^∵侧面11AA C C 为菱形，11AC A C ^，1A C BC C Ç=，1AC \^平面1A BC ，又1A B Ì平面1A BC ，11AC A B \^；………6分（2）BC ^平面11,AA C C BC Ì平面11BCC B ，故平面11AA C C ^平面11BCC B ．作11,A E CC E ^为垂足，则1A E ^平面11BCC B ．………9分又直线1AA ∥平面11BCC B ，因而1A E1AA 与平面11BCC B 的距离，1A E =．∵1A C 为1ACC Ð的角平分线，故11A D A E ==………12分．作,DF ABF ^为垂足，连结1A F ，1A F AB ^，故1A FD Ð为二面角1A AB C --的平面角．………15分由1AD==得D 为AC的中点，12AC BC DF AB ´=´=，1A F ===，11cos 4A FD Ð=∴平面11A ABB 与平面ABC 的夹角的余弦值为14.………17分解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -．由题设知1A D 与z 轴平行，z 轴在平面11AA C C（1）设()1,0,A a c ，由题设有()()2,2,0,0,0,1,0,a A B £则()()()()11112,1,0,2,0,,4,0,,,1,.AB AC a c AC AC AA a c BA a c =-=-=+=-=-uuu r uuu r uuur uuuu r uuu r uuur uuur由12AA =uuur 得2=，即2240a a c -+=（①）．于是22111140,AC BA a a c AC A B ×=-+=\^uuuu r uuur．………6分（2）设平面11BCC B 的法向量(),,,m x y z =u r则1,,m CB m BB ^^u r uuu r u r uuur 即10,0m CB m BB ×=×=u r uuu r u r uuur ．()0,1,0,CB =uuu r Q ()112,0,,BB AA a c ==-uuur uuur故0y =，且()20a x cz -+=．令x c =，则()2,,0,2z a m c a =-=-u r，点A 到平面11BCC B 的距离为cos ,CA m c ×=uuu r u r ．又依题设，点A 到平面11BCC B 的距离为,c \=．代入①解得3a =（舍去）或1a =．于是(11,0,AA =-uuur．………10分设平面1ABA 的法向量),,n q r r，则1,n AA n AB ^^r uuur r uuu r ，即10,0,0n AA n AB p ×=×=\-+=r uuur r uuu r，故且20p q -+=．令p =1,q r ==111)n =r ．………15分又()0,0,1p =u r 为平面ABC 的法向量，故1cos ,4n p n p n p ×==×r u rr u r r u r ，∴平面11A ABB 与平面ABC 的夹角的余弦值为14.………17分。
江苏省扬州中学2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学(含答案)
2024—2025学年第一学期高二上10月自主学习效果评估数学试卷2024.10.08一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）A B. C. 或 D. 或2. 若圆与圆相切，则（）A. 6B. 3或6C. 9D. 3或93. 已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）A. B. C. D.4. 若点在圆内，则直线与圆C 的位置关系为（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定5. 圆心为，且与直线相切的圆的方程为（ ）A. B. C. D.6. 已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.7. 已知圆关于直线对称，则实数（ ）.()()2,02,3A B ､l ()1,2P AB l k 21k -≤≤112k -≤≤12k ≤-1k ≥2k ≤-1k ≥()2221:(4)0O x y r r ++=>222:(2)9O x y -+=r =1:10l x y -+=2:210l x y --=1l 2l 3450x y +-=3410x y --=3410x y -+=4310x y --=4310x y -+=(),P a b221Cx y +=：1ax by +=(2,1)M -2+1=0x y -22(2)(1)5x y -+-=22(2)(1)5x y -++=22(2)(1)25x y -++=22(2)(1)25x y -+-=224x y +=y x b =+b ()2,2-(()1--()1,1-22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =A 1或 B. 1 C. 3 D. 或38. 若圆与圆交于两点，则的最大值为（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 若直线与圆交于两点，则（ ）A. 圆的圆心坐标为B. 圆的半径为3C. 当时，直线倾斜角为D. 的取值范围是10. 已知点在上，点，，则（ ）A. 点到直线的距离最大值是B. 满足的点有2个C. 过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，则直线过定点D. 的最小值为11. 设直线系（其中均为参数，），则下列命题中是真命题的是（）A. 当时，存在一个圆与直线系中所有直线都相切B. 当时，若存在一点，使其到直线系中所有直线的距离不小于1，则C. 存在，使直线系中所有直线恒过定点，且不过第三象限D. 当时，坐标原点到直线系中所有直线的距离最大值为1三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分..的3-1-22:(cos )(sin )1(02π)M x y θθθ-+-=≤<22:240N x y x y +--=A B ､tan ANB ∠344543:2cos 0l x y θ-⋅=22:10E x y +--=,A B E ()-E 1cos 2θ=l π4AB ⎡⎢⎣P 22:4O x y +=e ()3,0A ()0,4B P AB 125AP BP ⊥P AB O e ,M N MN 4,13⎛⎫ ⎪⎝⎭2PA PB +:cos sin 1m n M x y θθ+=,,m n θ{}02π,,1,2m n θ≤≤∈1,1m n ==M 2,1m n ==(),0A a M 0a ≤,m n M m n =M12. 已知直线，圆，写出满足“对于直线上任意一点，在圆上总存在点使得”的的一个值______．13. 已知二次函数与轴交于两点，点，圆过三点，存在一条定直线被圆截得弦长为定值，则该定值为__________.14. 如图，点C 是以AB 为直径的圆O 上的一个动点，点Q 是以AB 为直径的圆O 的下半个圆（包括A ，B 两点）上的一个动点，，则的最小值为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知直线与直线．（1）若，求m 的值；（2）若点在直线上，直线过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．16. 已知：及经过点的直线.（1）当平分时，求直线的方程；（2）当与相切时，求直线的方程.17. 如图，已知，直线.（1）若直线等分的面积，求直线的一般式方程；（2）若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）､（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程.的:1l x my =--22:6890O x y x y ++++=l A O B π2ABO ∠=m ()()223411y x m x m m =+---∈R x ,A B ()1,3CG ,,A B C l G ,3,2PB AB AB PB ⊥==1)3AP BA QC +⋅（()1:280l m x my ++-=2:40,R l mx y m +-=∈12l l //()1,P m 2l l l C e ()()22124x y -+-=()1,1P --l l C e l l C el (()(),0,0,12,0A BC (():20l k x y k k +--=∈R l ABC Vl (2,P P BC K AC I P PK18. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.（1）求圆的标准方程；（2）若直线与圆交于两点，当数的值；（3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值.19. 在数学中，广义距离是泛函分析中最基本概念之一．对平面直角坐标系中两个点和，记，称为点与点之间的“距离”，其中表示中较大者．（1）计算点和点之间的“距离”；（2）设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以为半径的“圆”．求以原点为圆心，以为半径的“圆”的面积；（3）证明：对任意点．的M 340x -+=(M x M ()()():21174l m x m y m m +++=+∈R M ,P Q PQ =m M x M ,A B O ,OA OB 8x =,C D ,OAB OCD V V 12,S S 12S S ()111,P x y ()222,P x y 1212121212max ,11tx x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭12t PP 1P 2P t -{}max ,p q ,p q ()1,2P ()2,4Q t -()000,P x y 0r >0P t -r 0P r t -O 12t -()()()111222333131223,,,,,,t t t P x y P x y P x y PP PP P P ≤+2024—2025学年第一学期高二上10月自主学习效果评估数学试卷2024.10.08一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】ABC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1（答案不唯一）【13题答案】【14题答案】【答案】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1） （2）或【16题答案】【答案】（1） （2）或.【17题答案】【答案】（1； （2）.【18题答案】【答案】（1） （2）. （3）.【19题答案】【答案】（1）； （2）4；（3）证明见解析.3--1m =-10x y -+=20x y -=3210x y -+=1x =-51270x y --=170y +-=2100x -=22(4)16x y -+=23m =-1423。
福建师大附中2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(解析版)
福建师大附中2024-2025学年第一学期高二第一次月考数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1. 若角α的终边上一点的坐标为(11)−，，则cos α=( )A. 1−B.C.D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.【详解】∵角α的终边上一点的坐标为(11)−，，它与原点的距离r=，∴cos x r α==， 故选：C.2. 下列函数中，在区间()1,2上为增函数的是 A. 1y x=B. y x =C. 21y x =−+D. 243y x x =−+【答案】B 【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性判断出各选项中函数在区间()1,2上的单调性，可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数1y x=在区间()1,2上为减函数； 对于B 选项，当()1,2x ∈时，y x =，则函数y x =在区间()1,2上为增函数；对于C 选项，函数21y x =−+在区间()1,2上为减函数； 对于D 选项，二次函数243y x x =−+在区间()1,2上为减函数. 故选B.【点睛】本题考查基本初等函数在区间上的单调性的判断，熟悉一次、二次、反比例函数的单调性是解题的关键，考查推理能力，属于基础题.3. 为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（ ）A. 甲班众数小于乙班众数B. 乙班成绩的75百分位数为79C. 甲班的中位数为74D. 甲班平均数大于乙班平均数估计值【答案】D 【解析】【分析】根据已知数据图，判断A ；根据频率分布直方图计算乙班成绩的75百分位数，判断B ；求出甲班的中位数，判断C ；求出两个班级的平均分，即可判断D.【详解】由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为79， 由频率分布直方图无法准确得出乙班众数，A 错误； 对于乙班物理成绩的频率分布直方图，前三个矩形的面积之和为(0.0200.0250.030)100.75++×=， 故乙班成绩的75百分位数为80，由甲班物理成绩数据图可知，小于79分的数据有9个，79分的数据有6个， 故甲班的中位数为79，C 错误； 甲班平均数57258596768269279687882899874.820x ×++++×+×+×++×++=甲，乙班平均数估计值为10550.02650.025750.03+850.02950.00571.57= 4.8x =×+×+××+×=<乙（）， 即甲班平均数大于乙班平均数估计值，D 正确， 故选：D 4.的直三棱柱111ABC A B C −中，ABC 为等边三角形，且ABC的外接圆半径为 ） A. 12π B. 8π C. 6π D. 3π【答案】A为【解析】【分析】由棱柱体积求得棱柱的高，然后求得外接球的半径，得表面积．【详解】设ABC 的边长为a ，由ABC可得2πsin3a =，故a =则ABC的面积2S.可得11S AA AA ⋅==1AA =， 设三棱柱外接球的半径为R，则2221723233AA R =+=+=， 故该三棱柱外接球的表面积为24π12πR =. 故选：A ．5. 已知函数()()()sin 20f x x ϕπϕ=+−<<，将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象关于y 轴对称，则关于函数()f x ，下列命题正确的是 A. 函数()f x 在区间,63ππ−上有最小值 B. 函数()f x 的一条对称轴为12x π=C. 函数()f x 在区间,63ππ−上单调递增 D. 函数()f x 的一个对称点为,03π【答案】C 【解析】【分析】根据平移关系求出函数的解析式，结合函数的奇偶性求出φ的值，利用三角函数的性质进行判断即可．【详解】将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到2[2]233y sin x sin x ππϕϕ=++=++（）（），此时函数为偶函数， 则232k k Z ππϕπ+=+∈，， 即06k k Z πϕππϕ=−+∈− ，，＜＜，∴当0k =时，6，πϕ=−则26f x sin x π=−（）（），当63x ππ−＜＜时22233262x x πππππ−−−，＜＜，＜＜， 则此时函数()f x 在区间,63ππ − 上单调递增，且()f x 在区间,63ππ−上没有最小值， 故C 正确， 故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数性质判断，结合三角函数的平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键．6. 如图，在三棱锥P ABC −中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，AC =6BC =，D ，E ，F ，G 分别为PB ，AB ，AC ，PC 的中点，Q 为DE 上一点，AQ GQ ⊥，当AQG 的面积取得最小值时，三棱锥Q AEF −外接球的表面积为（ ）A. 24πB. 28πC. 32πD. 36π【答案】B 【解析】【分析】连接GF ，GD ，根据中位线性质得到线线平行关系，再利用线面垂直的性质得到线线垂直，设EQ x =，DQ y =，根据222AQ GQ AG +=得到()2221697x y x y +++=++，得到12AQG S AQ GQ =⋅= ，再根据基本不等式即可求出最值，再转化为长方体外接球问题即可.【详解】连接GF ，GD ，因为D ，E ，F ，G 分别为PB ，AB ，AC ，PC 的中点，的所以2//,11,//,2GF GF PA PA DE PA PA DE ==，1//,2GD BC GD BC =，1//,2EF BC EF BC =，则//GF DE ，因为PA ⊥平面ABC ， 所以GF ⊥平面ABC ，DE ⊥平面ABC ，AE ⊂ 平面ABC ，所以DE AE ⊥，所以DE GD ⊥，AF ⊂ 平面ABC ，所以GF AF ⊥．设EQ x =，DQ y =，则AQ ，GQ ，AG ==，因为AQ GQ ⊥，所以222AQ GQ AG +=，即()2221697x y x y +++=++， 整理得9xy =，所以12AQGS AQ GQ =⋅= 由基本不等式得2216924216y x xy +≥=，当且仅当43y x =，即x =y =所以当AQC S 取得最小值时，EQ =，DQ =． 因为AF EF ⊥，QE ⊥平面AEF ，所以可将三棱锥Q AEF −补形为如图所示的长方体，则三棱锥Q AEF −的外接球即该长方体的外接球，易知该长方体外接球的直径为AQ =，故三棱锥Q AEF −，故三棱锥Q AEF −外接球的表面积为4π728π×=，故选：B ．【点睛】方法点睛：求解有关三棱锥外接球的问题时，常见方法有两种：一种是补形，解题时要认真分析图形，看能否把三棱锥补形成一个正方体（长方体），若能，则正方体（长方体）的顶点均在外接球的球面上，正方体（长方体）的体对角线为外接球的直径；另一种是直接法，三棱锥中过任意两个面的外接圆圆心的垂线的交点即三棱锥外接球的球心．7. 、，外接球表面积为20π，则正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D.12或32【答案】C 【解析】【分析】在正四棱台1111ABCD A B C D −中，取截面11AAC C ，设正方形ABCD 、1111D C B A 的中心分别为O 、1O ，分析可知球心在直线1OO 上，对球心的位置进行分类讨论，求出1OO 的长，利用线面角的定义可求得结果.【详解】在正四棱台1111ABCD A B C D −中，设其上底面为正方形ABCD ，下底面为正方形1111D C B A ，设正方形ABCD 、1111D C B A 的中心分别为O 、1O ，由正四棱台的几何性质可知，1OO ⊥平面1111D C B A ，取截面11AAC C ， 则正四棱台的外接球球心E 在直线1O O 上，分以下两种情况讨论： ①E 在AC 、11A C 的同侧，如下图所示：设球E 的半径为R ，则24π20πR =，可得R =由圆的几何性质可知EO AC ⊥，111EO A C ⊥，且2AC ==，11114A C B =，所以，2OE =，11EO ，所以，11211OO EO EO =−=−=， 过点A 在平面11AAC C 内作11AF AC ⊥， 因为11//AC A C ，11AF A C ⊥，111OO A C ⊥，1//AF OO ∴，则四边形1AOO F 为矩形，且11AF OO ==，11O FAO ==，111211A F AO O F =−=−=， 因为1//AF OO ，则AF ⊥平面1111D C B A ，则1AA 与平面1111D C B A 所成角为1AA F ∠， 且11tan 1AFAA F A F∠==； ②若球心E 在线段1OO 上，如下图所示：设球E 的半径为R ，则24π20πR =，可得R =由圆的几何性质可知EO AC ⊥，111EO A C ⊥，且2AC ==，11114A C B =，所以，2OE =，11EO ，所以，11213OO EO EO =+=+=， 过点A 在平面11AAC C 内作11AF A C ⊥，因为11//AC A C ，11AF A C ⊥，111OO A C ⊥，1//AF OO ∴，则四边形1AOO F 为矩形，且13AF OO ==，11O FAO ==，111211A F AO O F =−=−=， 因为1//AF OO ，则AF ⊥平面1111D C B A ，则1AA 与平面1111D C B A 所成角为1AA F ∠， 且11tan 3AFAA F A F∠==. 综上所述，正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为1或3. 故选：C.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=.8. 在ΔΔΔΔΔΔΔΔ中，BC CA CA AB ⋅=⋅ ，2BA BC += ，且233B ππ≤≤，则BA BC ⋅的取值范围是A [2,1)− B. 2,13C. 22,3 −D. 22,3−【答案】D 【解析】【分析】由BC CA CA AB ⋅=⋅，可以得到()0CA BC BA ⋅+= ，利用平面向量加法的几何意义，可以构造平行四边形BCDA ，根据()0CA BC BA ⋅+=，可知平行四边形BCDA 是菱形，这样在Rt BOA ∆中，可以求出菱形的边长，求出BA BC ⋅的表达式，利用233B ππ≤≤，构造函数，最后求出BA BC ⋅的取值范围.【详解】()0()0BC CA CA AB CA BC AB CA BC BA ⋅=⋅⇒⋅−=⇒⋅+=，以,BC BA 为邻边作平行四.边形BCDA ，如下图：所以BC BA BD += ，因此0CA BD CA BD ⋅=⇒⊥,所以平行四边形BCDA 是菱形，设CA BD O ∩=，2BA BC +=，所以=21BD BO ⇒=，在Rt BOA ∆中， 1cos cos 2BO ABO AB ABC AB ∠=⇒=∠ 212cos ()cos 1cos cos 2ABCy ABC ABC AB A C C B B ∠==⋅∠=⋅∠+∠ ， 设211cos [,]3322x ABC ABC x ππ=∠≤∠≤∴∈− ， 所以当11[,]22x ∈− 时，'22201(1)x y y x x =⇒=>++，21x y x =+是增函数，故2[2,]3y ∈−，因此本题选D.【点睛】本题考查了平面加法的几何意义、以及平面向量数量积的取值范围问题，利用菱形的性质、余弦的升幂公式、构造函数是解题的关键.二、多选题（每小题6分，共18分）9. 一组样本数据12,,,n x x x …的平均数为()0x x ≠，标准差为s ．另一组样本数据122,,,n n n x x x ++…，的平均数为3x ，标准差为s ．两组数据合成一组新数据1212,,,,,,n n n x x x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅，新数据的平均数为y ，标准差为s ′，则（ ） A. 2y x > B. 2y x = C. s s ′> D. s s ′=【答案】BC 【解析】【分析】由平均数与标准差的定义求解判断． 【详解】由题意322nx n xyx n+⋅=， 222222121()()()nn k k ns x x x x x x x nx ==−+−++−=−∑，同理222222211(3)9nnkkk n k n ns xn x xnx=+=+=−⋅=−∑∑ 两式相加得22221210nk k ns x nx ==−∑，22222221122(2)8nnkk k k ns x n x x nx ==′=−⋅=−∑∑，所以2222ns ns ′>，s s ′>． 故选：BC ．10. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点E ，F 分别为棱BC 与11D C 的中点，则下列选项正确的有（ ）A. 1//A B 平面1AECB. EF 与1BC 所成的角为30°C. ⊥EF 平面1B ACD. 平面1AEC 截正方体1111ABCD A B C D −的截面面积为 【答案】ABD 【解析】【分析】设点M 为棱11A D 的中点，得到四边形1AEC M 为平行四边形，利用线面平行的判定定理，证得1//A B 平面1AEC ，可判定A 正确；再得到四边形1AEC M 为菱形，求得截面的面积，可判定D 正确；设1CC 的中点为N ，证得1//EN BC ，得到NEF ∠为EF 与1BC 所成的角，利用余弦定理求得cos NEF ∠，可判定B 正确；假设⊥EF 平面1B AC 正确，得到1EF B C ⊥，结合11FC B C ⊥，证得1B C ⊥平面1EFC ，得到11B C EC ⊥，进而判定C 错误．【详解】如图1所示，设点M 为棱11A D 的中点，则1MC AE ，平行且相等，所以四边形1AEC M 为平行四边形，又1//A B ME ，1⊄A B 平面1AEC ，ME ⊂平面1AEC ，所以1//A B 平面1AEC ，故A 正确； 由上可知，四边形1AEC M 为平面1AEC 截正方体1111ABCD A B C D −的截面，易得11AE EC C M MA ====，故四边形1AEC M 为菱形，又其对角线EM =，1AC =12××，故D 正确； 设1CC 的中点为N ，连接,EN FN ，因为,E N 分别为BC 与1CC 的中点，所以1//EN BC ，故NEF ∠为EF 与1BC 所成的角，又EN FN ==，EF =由余弦定理可得222cos 2EN EF NF NEF EN EF +−∠==⋅ 所以EF 与1BC 所成的角为30°，故B 正确；如图2所示，假设⊥EF 平面1B AC 正确，则1EF B C ⊥，又11FC B C ⊥，1EF FC F ∩=，所以1B C ⊥平面1EFC ，得11B C EC ⊥． 在正方形11B C CB 中，11B C EC ⊥，显然不成立，所以假设错误， 即⊥EF 平面1B AC 错误，故C 错误． 故选：ABD ．11. 已知,a b 均为正数且11a b a b+=+，下列不等式正确的有（ ）A. 23+≥B.2+≥C. 3a +≥D.23a b a+≥ 【答案】BCD 【解析】【分析】由已知条件可得1ab =，然后逐个分析判断即可 【详解】由11a b a b+=+，得a b a b ab ++=，所以()()0ab a b a b +−+=，()(1)0a b ab +−= 因为,a b 均为正数，所以1ab =，对于A ，2≥===，即ab 时取等号，所以A 错误，对于B 2+≥=，即1a b ==时取等号，所以B 正确，对于C ，因为1ab =，所以1a b=，所以13a b +=+≥=，=，即1a b ==时取等号，所以C 正确，对于D ，因为1ab =，所以22223a a ba b b b a ab++==++≥，当且仅当2a b =，即1a b ==时取等号，所以D 正确，故选：BCD三、填空题（每小题5分，共15分）12. 已知1x >−，则41x x ++的最小值为___________. 【答案】3 【解析】【分析】由1x >−可得10x +>，将41x x ++整理为4111++−+x x ，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为1x >−，所以10x +>，所以441111x x x x +=++−++13≥−=， 当且仅当411x x +=+，即1x =时取等号， 所以41x x ++的最小值为3， 故答案为：3【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 13. 已知函数222log ,1()32,1x a x f x x ax a x + =++<， ①若a ＝1，f （x ）的最小值是_____；②若f （x ）恰好有2个零点，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】 ①. ﹣14 ②. 1(1,][0,)2−−+∞ 【解析】【分析】（1）对分段函数的两段函数分别求最小值，然后比较可得； （2）结合函数性质与解方程()0f x =，可得结论．【详解】（1）由题意22log 1,1()32,1x x f x x x x +≥ =++< ， 1x ≥时，2()log 1f x x =+单调递增，min ()(1)1f x f ==， 1x <时，2231()32()24f x x x x =++=+−，min 31()()24f x f =−=−， 所以32x =−时，min 1()4f x =−；（2）若0a =，则22log ,1(),1x x f x x x ≥ = <，恰有两个零点0和1，满足题意，若0a >，则1x ≥时，2()log 0f x x a a =+≥>无零点， 但1x <时，22()32f x x ax a =++有两个零点a −和2a −，满足题意，当0a <时，则1x ≥时，2()log f x x a =+是增函数，min ()0f x a =<，有一个零点， 1x <时，由22()320f x x ax a =++=得x a =−或2x a =−，因为()f x 只有两个零点，所以121a a −< −≥，解得112a −<≤−， 综上，a 的取值范围是1(1,][0,)2−−+∞ ．【点睛】本题考查求分段函数的最值，由分段函数的零点个数求参数取值范围．解题时需分类讨论，按分段函数的定义分类讨论．14. 如图所示，在△ABC 中，AB =AC =2，AD DC = ，2DE EB =，AE 的延长线交BC 边于点F ，若45AF BC ⋅=− ，则AE AC ⋅= ____.【答案】229【解析】【分析】过点D 做DG AF ,可得16EF AF =，15BF BC =，4155AF AB AC =+ 由45AF BC ⋅=− 可得2cos 3BAC ∠=，可得541()655AE ACAB AC AC ⋅=+⋅ ，代入可得答案. 【详解】解：如图，过点D 做DG AF ,易得：13EF BE DG BD ==,13EF DG =,12DG CD AF AC ==,故12DG AF =,可得：16EF AF =， 同理：12BF BE FG ED ==,11FG AD GC CD ==,可得15BF BC =, 1141()5555AF AB BF AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+ ,由45AF BC ⋅=− ，可得22411424()()555555AB AC AC AB AC AB AB AC +⋅−=−+⋅=− , 可得：14244422cos 5555BAC ×−×+××∠=−,可得：2cos 3BAC ∠=， 255412122122()2246655353369AE AC AF AC AB AC AC AB AC AC ⋅=⋅=+⋅=⋅+=×××+×= ,故答案为：229. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积，由题意作出DG AF 是解题的关键.四、解答题（共77分）15. 如图1，在平面四边形PBCD 中，已知BC PB ⊥，PD CD ⊥，6PB =，2BC =，2DP CD =，DA PB ⊥于点A .将PAD △沿AD 折起使得PA ⊥平面ABCD ，如图2，设MD PD λ=（01λ≤≤）.（1）若23λ=，求证：PB //平面MAC ； （2）若直线AM 与平面PCD，求λ的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）12λ= 【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用空间向量的坐标表示，表示出线面夹角的余弦值即可求解. 【小问1详解】在平面四边形PBCD 中，BC PB ⊥，6PB =，2BC =，所以CP =tan BPC ∠= 又PD CD ⊥，2DP CD =，所以CD =，PD =，1tan 2DPC ∠=， 所以()1123tan tan 111123BPD BPC DPC +∠=∠+∠==−×，所以45BPD ∠=°. 所以在Rt PAD △中，易得4PA AD ==. 因为DA PB ⊥，BC PB ⊥，所以//AD BC .在四棱锥P ABCD −中，连接BD ，设BD AC F ∩=，连接MF ，因为23λ=，所以2DMMP =， 又2AD DFBC FB==，所以MF PB ∥. 因为MF ⊂平面MAC ，PB ⊄平面MAC ，所以PB ∥平面MAC .【小问2详解】由题意易知AB ，AD ，AP 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,2,0C ，()0,4,0D ，()0,0,4P ， 则()2,2,0CD =− ，()0,4,4PD =−.设平面PCD 法向量为(),,n x y z =，则00n CD n PD ⋅= ⋅=，即220440x y y z −+= −= ， 令1x =，得11y z == ，即()1,1,1n = . 由MD PD λ=，得()0,4,4MD λλ=− ， 故()0,44,4M λλ−，()0,44,4AM λλ=−.由直线AM 与平面PCD，的得cos ,AM n AM n AM n⋅==，解得12λ=. 16. 如图，直三棱柱111ABC A B C −的体积为1，AB BC ⊥，2AB =，1BC =．（1）求证：11BC A C ；（2）求二面角11B A C B −−的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）法一：由线面垂直证明即可；法二：用空间直角坐标系证明即可；（2）法一：过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，由已知得出BHO ∠为二面角11B A C B −−的平面角，求解即可；法二：建立空间直角坐标系求解． 【小问1详解】直三棱柱111ABC A B C −的体积为：111121122V AB BC AA AA =×⋅⋅=×××=， 则11AA BC ==，四边形11BCC B 为正方形，法一：在直棱柱111ABC A B C −中，1BB ⊥面ABC ，11AB A B ∥， 又AB ⊂平面ABC ，则1AB BB ⊥，因为AB BC ⊥，1AB BB ⊥，1BB BC B = ，1,BB BC ⊂平面11BCC B ， 所以AB ⊥平面11BCC B ，又1BC⊂平面11BCC B ， 所以1AB BC ⊥，因为11AB A B ∥，所以11A B ⊥1BC ， 在正方形11BCC B 中，有11BC B C ⊥，因为11BC B C ⊥，11A B ⊥1B C ，1111A B B C B = ，111,A B B C ⊂平面11A CB ， 所以1⊥BC 平面11A CB ，又1A C ⊂平面11A CB ， 所以11BC A C ．法二：直棱柱111ABC A B C −，1BB ⊥平面ABC ，又AB BC ⊥，以B 为原点，BC ，BA ，1BB 所在直线为x 轴，y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则()0,0,0B ，()10,0,1B ，()1,0,0C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，1(1,0,1)BC =，1(1,2,1)A C =−− ，11110(2)1(1)0BC A C ⋅=×+×−+×−=，所以11BC A C ．【小问2详解】由（1）得11BC A C ，设11B C BC O = ，在11A B C 中，过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，因为1OH A C ⊥，11BC A C ，1,OH BC ⊂平面BHO ，且1OH BC O ∩=， 所以1A C ⊥平面BHO ，又BH ⊂平面BHO ，所以1AC BH ⊥，所以BHO ∠为二面角11B A C B −−的平面角， 因为11Rt Rt COH CA B ∽△△，111CA CO OH A B =，得OH = 又在Rt BOH中，BO =BH =，cos OH BHO BH ∠=， 所以二面角11B A C B −−法二：()0,0,0B ，()10,0,1B ，()C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，(1,0,0)BC =，1(0,2,1)BA = ，设平面1BCA 的法向量：1111(,,)n x y z = ， 则111111020n BC x n BA y z ⋅== ⋅+ ，取11y =，得1(0,1,2)n =− ，1(1,0,1)B C=−，11(0,2,0)B A = ，设面11B CA 的法向量2222(,,)n x y z = ， 则21222112020n B C x z n B A y ⋅=−= ⋅== ，取21x =，得2(1,0,1)n = ， 设二面角11B A C B −−的大小为θ，则：121212|||cos ||cos ,|||||n n n n n n θ⋅=<>==因为θ为锐角，所以二面角11B A C B −−17. 如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD=BAD =90°． （Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；． 【解析】【详解】分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面ABC ，则AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．由几何关系可知∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．计算可得12MNcos DMN DM∠==．则异面直线BC 与MD（Ⅲ）连接CM ．由题意可知CM ⊥平面ABD ．则∠CDM 为直线CD 与平面ABD所成的角．计算可得CMsin CDM CD∠=．即直线CD 与平面ABD． 详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，AM =1，故DMAD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ． 在Rt △DAN 中，AN =1，故DN．在等腰三角形DMN 中，MN =1，可得12cos MN DMN DM ∠==． 所以，异面直线BC 与MD（Ⅲ）连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CMABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．Rt △CAD 中，CD=4．在Rt △CMD中，sin CM CDM CD ∠=． 所以，直线CD 与平面ABD点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．18. 棱柱1111ABCD A B C D −的所有棱长都等于4，60ABC ∠=°，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=°.（1）证明：1DB AA ⊥；（2）求二面角1D AA B −−的平面角的余弦值；（3）在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）35；（3）点P 在1C C 的延长线上且使1C C CP =. 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合10AA BD ⋅=，即可证得1DB AA ⊥；在（2）分别求得平面1AA D 和平面1AA B 的一个法向量，解向量的夹角公式，即可求解；（3）设1CP CC λ= ，求得BP 的坐标和平面11DA C 的法向量，结合30n BP ⋅= ，求得1λ=−，即可得到结论.【详解】由题意，连接BD 交AC 于O ，则BD AC ⊥，连接1A O ，在1AAO 中，14AA =，2AO =，160AAO ∠=°，∴2221112cos 60AO AA AO AA AO =+−=°⋅22211AO A O AA +=， ∴1A O AO ⊥，由于平面11AA C C ⊥平面ABCD ，所以1A O ⊥底面ABCD ，所以以OB 、OC 、1OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,2,0A −，()B ，()0,2,0C，()D −，(10,0,A ， （1）由于()BD =−，(10,2,AA =，()2,0AB = ， 则10AA BD ⋅= ，∴1BD AA ⊥.（2）设平面1AA D 的法向量()2,,n x y z = ，则21200n AA n AD ⋅= ⋅=，即0y y += + ，取1x =，可得()21n =− ， 同理，可得平面1AA B的法向量()11,n = ， 所以1212123cos 5n n n n n n ⋅⋅==− ， 又由图可知成钝角，所以二面角1D A A B −−的平面角的余弦值是35. （3）假设在直线1CC 上存在点P ，使//BP 平面11DA C ，设1CP CC λ= ，(),,P x y z ，则()(,2,0,2,x y z λ−=，得(0,22,)P λ+，(22,)BP λ−+， 设3n ⊥ 平面11DA C ，则31131n A C n DA ⊥ ⊥ ，设()3333,,n x y z = ，得到333200y = +=，不妨取()31,0,1n =− ，又因为//BP 平面11DA C ，则30n BP ⋅= 即0−=得1λ=−.即点P 在1C C 的延长线上且使1C C CP =.【点睛】本题主要考查了空间向量在线面位置关系的判定与证明中的应用，以及直线与平面所成角的求解，其中解答中熟记空间向量与线面位置关系的关系，以及线面角的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19. 已知非空集合A 是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意()f x A ∈，()f x 均存在反函数1()f x −，且1()f x A −∈；②对任意()f x A ∈，方程()f x x =均有解；③对任意()f x 、()g x A ∈，若函数()g x 为定义在R 上的一次函数，则(())f g x A ∈.（1）若1()()2x f x =，()23g x x =−，均在集合A 中，求证：函数12()log (23)h x x A =−∈； （2）若函数2()1x a f x x +=+（1x ≥）在集合A 中，求实数a 的取值范围； （3）若集合A 中的函数均为定义在R 上的一次函数，求证：存在一个实数0x ，使得对一切()f x A ∈，均有00()f x x =.【答案】（1）见详解；（2）[]1,3a ∈；（3）见详解； 【解析】【分析】（1）由1()()2x f x A =∈，根据性质①可得112()log f x x A −=∈，且存在00x >，使得 1002log x x =，由()23g x x A =−∈，且为一次函数，根据性质③即可证明.（2）由性质②，方程()211x a x x x +=≥+，即a x =在[)1,x ∈+∞上有解，可得1a ≥，变形21()1211x a a f x x x x ++==++−++，[)()1,x ∈+∞.与2的关系分类讨论，利用基本不等式的性质即可求解.（3）任取()1f x ax b =+，()2f x cx d A =+∈，由性质①,0a c ≠，不妨设,1a c ≠，（若1a =，则0b =，()1f x x =）， 由性质③函数()()()()12g x f f x acx ad b A ==++∈， 由性质①：()()1x bc d h x A ac −−+=∈，由性质③：()()()()()1()acx bd b bc d ad b bc d h g x x A ac ac−++−++−+===∈ 由性质②方程：()()ad b bc d x x ac+−++=，可得ad b bc d +=+，即11b d a c =−−，即可得证. 【详解】（1）由1()()2x f x A =∈，根据性质①可得112()log f x x A −=∈，且存在00x >，使得 1002log x x =，由()23g x x A =−∈，且为一次函数，根据性质③可得：()()112()log (23)hx x f g x A −=−=∈.（2）由性质②，方程()211x a x x x +=≥+，即a x =在[)1,x ∈+∞上有解，1a ∴≥， 由22111()12111x a x a a f x x x x x +−+++===++−+++[)()1,x ∈+∞,2>，3a >时，112a −>，且()112a f f − =， ∴此时()f x 没有反函数，即不满足性质①.2≤，13a ≤≤时，函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，∴此时()f x 有反函数，即满足性质①.综上：[]1,3a ∈.（3）任取()1f x ax b =+，()2f x cx d A =+∈，由性质①,0a c ≠，不妨设,1a c ≠，（若1a =，则0b =，()1f x x =），由性质③函数()()()()12g x f f x acx ad b A ==++∈， 由性质①：()()1x bc d h x A ac −−+=∈，由性质③：()()()()()1()acx bd b bc d ad b bc d h g x x A ac ac−++−++−+===∈ 由性质②方程：()()ad b bc d x x ac+−++=， ∴ad b bc d +=+，即11b d ac =−−， ()1f x x =，可得ax b x +=，1b x a =−, ()2f x x =，可得cx d x +=，1d x c =−, 由此可知：对于任意两个函数()1f x ，()2f x ，存在相同的0x 满足：()()10020f x x f x =，∴存在一个实数0x ，使得对一切()f x A ∈，均有00()f x x =.质，难度较大.。
四川省遂宁中学校高新校区2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷
四川省遂宁中学校高新校区2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷一、单选题1．学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的75%分位数是（ ） A ．88分B ．84分C ．85分D ．90分2．已知点1,3A （），5,7B （），则线段AB 的垂直平分线所在的直线方程为（ ） A ．250x y +-= B ．80x y +-= C ．230x y ++=D ．60x y ++=3．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2GN MG =，现用向量OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r 表示向量OG u u u r，设OG =u u u r x y OA +u u u r OB z +u u u rOC u u u r ，则x ，y ，z 的值分别为（ ）A ．111,,333x y z ===B ．111,,336x y z ===C ．111,,366x y z ===D ．111,,633x y z ===4．已知两点()3,2A -，()2,1B ，过点()0,1P -的直线l 与线段AB （含端点）有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．(][),11,-∞-+∞U B ．[]1, 1-C ．[)1,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．设A ，B 为两个随机事件，以下命题正确的为（ ） A ．若A ，B 是对立事件，则()1P AB =B ．若A ，B 是互斥事件，11(),()32P A P B ==，则1()6P A B +=C ．若11(),()32P A P B ==，且1()3P AB =，则A ，B 是独立事件D ．若A ，B 是独立事件，12(),()33P A P B ==，则1()9P AB =6．已知直线1l ：210x ay -+=，2l ：()10a x y a --+=，则“2a =”是“12//l l ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知EF 是棱长为8的正方体的一条体对角线，点M 在正方体表面上运动，则ME MF ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ） A ．48-B ．32-C ．16-D ．08．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与(),x y 与点(),a b 之间的距离的几何问题.已知点()11,M x y 在直线1:2l y x =+，点()22,N x y 在直线2:l y x =上，且1MN l ⊥，结合上述）A B CD ．5二、多选题9．直线l 经过点()3,2-，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 的方程可能是（ ） A ．320x y += B ．230x y += C ．50x y --=D ．10x y +-=10．下列命题中，正确的是（ ）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()2,0,1a =-r，()4,0,2b =-r ，则12//l l B ．直线l 的方向向量()1,1,2c =-r，平面α的法向是()6,4,1m =-u r ，则l α⊥C ．两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =-r ，()3,4,2v =-r，则αβ⊥ D ．直线l 的方向向量()0,1,1d =r ，平面α的法向量()1,0,1n =r，则直线l 与平面α所成角的大小为π311．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，SA AB =，O 、P 分别是,AC SC 的中点，M 是棱SD 上的动点，则（ ）A ．OM AP ⊥B ．存在点M ，使//OM 平面SBCC ．存在点M ，使直线OM 与AB 所成的角为30︒D ．点M 到平面ABCD 与平面SAB 的距离和为定值三、填空题12．为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为1200的样本，三个年级学生人数之比依次为:5:3k .已知高一年级共抽取了240人，则高三年级抽取的人数为人.13．已知()2,5M ，()2,4N -，动点P 在直线:230l x y -+=上.则PM PN +的最小值为. 14．已知15个数1x ，2x ，…，15x 的平均数为6，方差为9，现从中剔除1x ，2x ，3x ，4x ，5x 这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，则剩余的10个数6x ，7x ，…，15x 的方差．四、解答题15．某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取100名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组 40,50 ，第2组 50,60 ，第3组 60,70 ，第4组[)70,80，第5组 80,90 ，第6组 90,100 ，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：(1)从频率分布直方图中，利用组中值估计本次考试成绩的平均数；(2)已知学生成绩评定等级有A 、B 两个等级，其中成绩不小于60分时为A 级，若从第1组和第3组两组学生中，按照分层抽样方法抽取6人，再从这6随机抽取2人，求所抽取的2人中两人成绩均为A 级的概率． 16．根据下列条件，求直线的一般方程： (1)过点(2,1)且与直线230x y +=平行的直线方程；(2)若()()()0,,,,1135,3A B C ，BAC ∠的角平分线所在直线方程. 17．为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是111,,324，答对第二题的概率分别是112,,233.(1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率；(2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.18．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//EF AD BC AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点．(1)证明：//BM 平面CDE ；(2)求二面角F BM E --的正弦值．19．在空间直角坐标系Oxyz 中，过点()000,,P x y z 且以(),,u a b c =r为方向向量的直线方程可表示为()0000x x y y z z abc a b c---==≠，过点()000,,P x y z 且以(),,u a b c =r 为法向量的平面方程可表示为000ax by cz ax by cz ++=++． (1)若直线()11:12x l y z -==--与()21:142y z l x ---==都在平面α内，求平面α的方程； (2)在三棱柱111ABC A B C -中，点C 与坐标原点O 重合，点A 在平面Oxz 内，平面ABC 以()1,1,3m =--u r为法向量，平面11ABB A 的方程为38x y z +-=，求点A 的坐标；(3)若集合(){},,2M x y z x y z =++=中所有的点构成了多面体Ω的各个面，求Ω的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值．。
上海市奉贤中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷
上海市奉贤中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷一、填空题1．已知11A =11?10?9?8?5m L ，则=m .2．1nx ⎫⎪⎭的展开式中只有第六项的系数最大，则n =. 3．已知圆锥的底面半径为4，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为.4．61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，系数最小的项为第项. 5．正整数1224有个不同的正约数.6．展会期间，要安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排1个人，剩下两个展区各安排2个人，不同的安排方案共有种.7．已知长为6的线段AB 的两个端点到平面α的距离分别为2和4，则直线AB 与平面α的所成角大小为.8．()26223()x x x--的展开式中2x 项的系数为 . 9．如图所示，在平行四边形ABCD 中，2AB AC ==，=90ACD ∠︒，将它沿对角线AC 折起，使二面角B AC D --的大小为120︒，则点B 与点D 之间的距离为；10．九官格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a ，b ，c ，d ，e 这5个数字未知，且b ，d 为奇数，则5a b +≥的概率为.11．若集合A ，B ，C ，D 满足A ，B ，C 都是D 的子集，且A B ⋂，B C ⋂，A C I 均只有一个元素，且A B C =∅I I ，称(),,A B C 为D 的一个“有序子集列”.若D 有6个元素；则有个“有序子集列”.12．从1，2，L ，2024中任取两个数a ，b （可以相同），则27a b +的个位数是1的概率为.二、单选题13．一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和2个白球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．则下列事件中互斥而不对立的是（ ）A ．“第一次摸到红球”与“第二次摸到红球”B ．“至少摸到一次红球”与“至少摸到一次白球”C ．“两次都摸到红球”与“两次都摸到白球”D ．“两次都摸到红球”与“至少摸到一次白球”14．某城市新修建的一条道路上有12个路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）A ．48CB ．47C C ．412CD ．411C15．在空间，已知直线l 及不在l 上两个不重合的点A ､B ，过直线l 作平面α，使得点A ､B 到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个16．如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字()2,3,11n n =L 的不同路线条数记为n r ，从1移动到11的事件中，跳过数字()2,3,10n n =L 的概率记为n p ，则下列结论正确的是（ ）①934r =，②1n n r r +>，③52489p =，④910p p >． A ．①②③ B ．①②④C ．②③④D ．①②③④三、解答题17．（1）解不等式188C 3C x x ->；（2）解方程2332231C C P 10x x x x x --++++=. 18．如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD AD a ==，点E 是线段SD 上任意一点.（1）求证：AC BE ⊥；（2）当DE 长为多少时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o .19．某电视台举办“读经典”知识挑战赛．初赛环节，每位选手先从,,A B C 三类问题中选择一类，该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答．再次选择的一类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰．已知选手甲能正确回答,A B 两类问题的概率均为34，能正确回答C 类问题的概率为23，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立．(1)已知选手甲先选择A 类问题且回答正确，接下来他按照,B C 的顺序对各类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率；(2)由于选手甲能正确回答,A B 两类问题的概率均为34，故可将回答顺序ABC 和顺序BAC 视为同一个顺序；为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由．20．已知21nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭（n 为正整数）.(1)若012C C C C 64n n n n n +++⋅⋅⋅+=，求该式的展开式中所有项的系数之和；(2)若12C C 465n n n-+=，求该式的展开式中无理项的个数； (3)若20n =，求该式的展开式中系数最大的项.21．从数据组:(1,2,3,,)n ΩL 中取出k （k 是自然数，且k n ≤）个不同．．的数构成一个新数据组()12,:,,k x x x ⋅⋅⋅∏.若对任意的a ∈Ω，存在,j i x x ∈∏，{},1,2,,i j k ∈⋅⋅⋅，使得i j a x x λμ=+，{},1,0,1λμ∈-，则称数据组∏为数据组Ω的一个k 维基本数据库.(1)判断数据组():1,4∏是否为数据组:(1,2,3,4,5)Ω的一个2维基本数据库；(2)若数据组：()12,x x 是数据组:(1,2,3,,)n ΩL 的一个2维基本数据库，请求出n 的最大值，并写出此时的2维基本数据库.(3)若数据组∏是数据组Ω的一个k 维基本数据库，求证：2k k n +≥.。
黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学含答案
哈尔滨市2024-2025学年度上学期十月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）1.在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于x 轴对称的点坐标是（）A.()2,1,4-- B.()2,1,4 C.()2,1,4--- D.()2,1,4-2.若向量{}123,,e e e 是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量a，存在唯一的有序实数组(),,x y z ，使得：123a xe ye ze =++ ，我们把有序实数组(),,x y z 叫做基底{}123,,e e e 下向量a 的斜坐标.设向量p 在基底{},,a b c 下的斜坐标为()1,2,3-，则向量p 在基底{},,a b a b c +-下的斜坐标为（）A.13,,322⎛⎫--⎪⎝⎭B.13,,322⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C.13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭ D.13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭3.已知两条直线12:410,:20l ax y l x ay +-=++=，则“2a =”是“12l l //”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知平面α的一个法向量(2,2,1)n =--，点()1,3,0A -在平面α内，若点()2,1,P z -到α的距离为103，则z =（）A.16B.4- C.4或16- D.4-或165.已知点()2,3A -，()3,2B --，若过点()1,1的直线与线段AB 相交，则该直线斜率的取值范围是（）A.[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦B.(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞C.3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.34,4⎡⎤-⎢⎣⎦6.直线l 过点()2,3A ，则直线l 与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（）A.9B.12C.18D.247.如图，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，5,3,7AB AD AA ='==，60BAD ∠=︒，45BAA DAA ''∠=∠=︒，则AC '的长为（）A. B.C.D.8.正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（）A. B.C. D.2+二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）9.下列命题中正确的是（）A.若向量,a b 满足0a b ⋅<，则向量,a b 的夹角是钝角B.若,,OA OB OC 是空间的一组基底，且232OD OA OB OC =-+，则,,,A B C D 四点共面C.若向量{},,a b c 是空间的一个基底，若向量m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底D.若直线l 的方向向量为(1,0,3)e = ，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的余弦值为5510.以下四个命题为真命题的是（）A.过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为11542y x =-+B.直线()cos 20R x θθ+=∈的倾斜角的范围是π5π0,,π66⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭C.直线10x y +-=与直线2210x y ++=D.直线()()()1213m x m y m m -+-=-∈R 恒过定点()5,2-11.如图，在多面体ABCDES 中，SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且//DE SA ，22SA AB DE ===，,M N 分别是线段,BC SB 的中点，Q 是线段DC 上的一个动点（含端点,D C ），则下列说法正确的是（）A.不存在点Q ，使得NQ SB⊥B.存在点Q ，使得异面直线NQ 与SA 所成的角为60o C.三棱锥Q AMN -体积的最大值是23D.当点Q 自D 向C 处运动时，直线DC 与平面QMN 所成的角逐渐增大第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3个小题，每小题5分）12.已知()()()1,1,0,0,3,0,2,2,2A B C ，则向量AB 在AC上的投影向量的坐标是______．13.当点()2,1P --到直线l ：()()()131240x y λλλλ+++--=∈R 距离的最大值时，直线l 的一般式方程是______．14.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体Γ的一个顶点，定义多面体Γ在点P 处的离散曲率为()122311112πP k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ -∅=-∠+∠++∠+∠ ，其中i Q （1i =，2，……，k ，3k ≥）为多面体Γ的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ，平面23Q PQ ，…，平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 为多面体Γ的所有以P 为公共点的面.如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，且2AC =，顶点S 在底面的射影O 为AC 的中点.若该四棱锥在S 处的离散曲率13S ∅=，则直线OS 与平面SAB 所成角的正弦值为___________.四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知直线()():12360m a x a y a -++-+=，:230n x y -+=.（1）若坐标原点O 到直线m ，求a 的值；（2）当0a =时，直线l 过m 与n 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l 的方程.16.已知ABC V 的顶点()1,2,A AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210,x y ABC +-=∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =.（1）求直线BC 的方程和点C 的坐标；（2）求ABC V 的面积．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求证：PD ⊥平面PAB ．(2)在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．18.已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a = ，OB b =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作,a b <> .定义a 与b 的“向量积”为：a b ⨯是一个向量，它与向量a ，b 都垂直，它的模sin ,a b a b a b ⨯=.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，4DP DA ==，E 为AD 上一点，AD BP ⨯=.（1）求AB 的长；（2）若E 为AD 的中点，求二面角P EB A --的余弦值；19.如图①所示，矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -，N 为PB 中点，（1）若平面PAM ⊥平面ABCD ，求直线BC 与平面PMB 所成角的大小；（2）设P AM D --的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值.哈尔滨市2024-2025学年度上学期十月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】B二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】CD第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3个小题，每小题5分）【12题答案】【答案】111,,663⎛⎫ ⎪⎝⎭【13题答案】【答案】3250x y +-=【14题答案】【答案】1323-四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）【15题答案】【答案】（1）14a =-或73a =-（2）370x y -=或120x y -+=【16题答案】【答案】（1）2310x y --=，51(,)77，（2）107.【17题答案】【答案】(1)证明见解析；(2)存在，AM AP 的值为14.【18题答案】【答案】（1）2（2）13-【19题答案】【答案】（1）π6；（2）11。
鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考(10月)月考数学试卷
鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）月考数学试卷一、单选题1310y -+=的倾斜角是（ ） A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o2．若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1m ≤- B ．1m <- C ．1m ≥-D ．1m >-3．已知直线l 的一个方向向量为()1,2,1m =-r ，平面α的一个法向量为1,1,2n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，若//l α，则x =（ ）A ．52B ．52-C ．12-D ．124．已知直线()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，若1l ∥2l ，则a =（ ） A ．1-或2B ．1C ．1或2-D ．2-5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB AC 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（ ）A B C ．23D ．126．当点()2,1P --到直线()()():131240l x y λλλλ+++--=∈R 的距离最大时，直线l 的一般式方程是（ ） A ．3250x y +-= B ．2310x y -+= C ．250x y ++=D ．2320x y -+=7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,,,BAC AB AC AA G E F ∠=︒===分别是棱111,A B CC 和AB 的中点，点D 是线段AC 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段AD 的长度是（ ）A ．14B ．12C ．34D ．138．如图，在四裬锥P ABCD -中，PA ⊥平面,90,ABCD BAD BC ∠=o ∥AD ，12,2PA AB BC AD Q ====是四边形ABCD 内部一点（包括边界），且二面角Q PD A --的平面角大小为π3，若点M 是PC 中点，则四棱锥M ADQ -体积的最大值是（ ）A B ．43C D ．1二、多选题9．已知m ∈R ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法正确的是（ ）A ．A 点的坐标为 2,1B ．PA PB ⊥C ．2225PA PB +=D ．2PA PB +的最大值为510．如图，已知二面角l αβ--的棱l 上有,A B 两点，,,C AC l D αβ∈⊥∈，BD l ⊥，若2,AC AB BD CD ====，则（ ）A ．直线AB 与CD 所成角的余弦值为45o B ．二面角l αβ--的大小为60oC ．三棱锥A BCD -的体积为D ．直线CD 与平面β11．如图，M 为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上的一个动点，则（ ）A ．当M 在平面1111D CB A 内运动时，四棱锥M ABCD -的体积是定值 B ．当M 在直线11AC 上运动时，BM 与AC 所成角的取值范围为ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．使得直线MA 与平面ABCD 所成的角为60°的点M D ．若N 为棱11A B 的中点，当M 在底面ABCD 内运动，且//MN 平面11B CD 时，MN 的三、填空题12．已知空间直角坐标系中的三点()2,0,2A 、()0,0,1B 、()2,2,2C ，则点A 到直线BC 的距离为．13．一条光线从点(4,0)A -射出，经直线10x y +-=反射到圆22:(2)2C x y ++=上，则光线经过的最短路径的长度为．14．已知梯形CEPD 如图1所示，其中8,6PD CE ==，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图2所示的几何体．已知当点F 满足(01)AF AB λλ=<<u u u r u u u r 时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为．图1 图2四、解答题15．已知直线l 的方程为：()()211740m x m y m +++--=. (1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l 交坐标轴正半轴于A B 、两点，当AOB V 面积最小时，求AOB V 的周长. 16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11AC 的中点.(1)求异面直线AE 与1B C 所成角的余弦值； (2)求三棱锥1A B CE -的体积.17．已知圆满足：截y 轴所得弦长为2；被x 轴分成两段弧，其弧长的比为3:1， (1)若圆心在直线20x y -=上，求圆的标准方程；(2)在满足条件的所有圆中，求圆心到直线1:20x y -=的距离最小的圆的方程．18．如图，PD ⊥平面,,ABCD AD CD AB ⊥∥,CD PQ ∥,222CD AD CD DP PQ AB =====，点,,E F M 分别为,,AP CD BQ 的中点.(1)求证：EF ∥平面CPM ；(2)求平面QPM 与平面CPM 夹角的余弦值；(3)若N 为线段CQ 上的点，且直线DN 与平面QPM 所成的角为π6，求N 到平面CPM 的距离.19．如图，在ABC V 中，,2,AC BC AC BC D ⊥==是AC 中点，E F ､分别是BA BC ､边上的动点，且EF ∥AC ；将BEF △沿EF 折起，将点B 折至点P 的位置，得到四棱锥P ACFE -；(1)求证：EF PC ⊥；(2)若2BE AE =，二面角P EF C --是直二面角，求二面角P CE F --的正弦值； (3)当PD AE ⊥时，求直线PE 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围.。
四川省南充市白塔中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
四川省南充市白塔中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．()()123322a b c a b c +----= （）A ．542a c--B ．5422a b c-+-C ．53722a b c-++D ．59522a b c-+-2．在不透明的布袋中，装有大小、形状完全相同的3个黑球、1个红球，从中摸一个球，摸出1个黑球这一事件是（）A ．必然事件B ．随机事件C ．确定事件D ．不可能事件3．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A ．对立B ．相等C ．相互独立D ．互斥但不对立4．已知空间向量()1,3,5a =- ，()2,,b x y = ，且//a b，则x y -=（）A ．16-B ．16C ．4D ．4-5．若{},,a b c构成空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（）A ．2,,2b c b b c+- B ．,2,2a a b a b+-C ．,,a b a b c+- D ．,,a b a b c c+++ 6．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是16，14，13，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为A ．3172B ．712C ．2572D ．15727．已知向量()4,3,2a =- ，()2,1,1b = ，则a 在向量b上的投影向量为（）A ．333,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．333,,244⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．333,,422⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,2,28．正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，1AA =O 为BC 的中点，M 为棱11B C 上的动点，N 为棱AM 上的动点，且MN MOMO MA=，则线段MN 长度的取值范围为（）A ．⎣B ．,27⎢⎣⎦C ．,47⎢⎣⎦D ．二、多选题9．已知事件A ，B ，且()0.4,()0.3P A P B ==，则（）A ．如果B A ⊆，那么()0.3P AB =B ．如果B A ⊆，那么()0.4P A B = C ．如果A 与B 相互独立，那么()0.7P A B ⋃=D ．如果A 与B 相互独立，那么()0.42P AB =10．下列事件中，,A B 是相互独立事件的是（）A ．一枚硬币掷两次，A =“第一次为正面”，B =“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A =“第一次摸到白球”，B =“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，A =“出现点数为奇数”，B =“出现点数为3或4”D ．掷一枚骰子，A =“出现点数为奇数”，B =“出现点数为偶数”11．如图，四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，且π3APD APC DPC ∠=∠=∠=，2,3PA PC PD ===，G 为PCD △的重心，M 为BG 的中点．若,BG mPA nPC pPD PT PD λ=++=，则下列结论正确的是（）A ．13m n p ++=-．B ．5PM =C ．若14λ=，则向量,,PM AD GT 共面D ．若BG GT ⊥ ，则16λ=三、填空题12．设向量()1,,3a m = ，()4,1,0b =- ，若a b ⊥，则m =.13．袋中有红球､黑球､黄球､绿球共12个，它们除颜色外完全相同，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，则得到黄球的概率是.14．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，26AB BC ==，PC PD ⊥，PC PD =，点O 是CD 的中点，则线段PB 上的动点E 到直线AO 的距离的最小值为.四、解答题15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ACB ∠为直角，侧面11BCC B 为正方形，2BC =，C 1A =.(1)求证：1⊥BC 平面1AB C ；(2)求直线1AB 与平面1ABC 所成的角的正弦值.16．平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，M 为BD 中点，P 为1BB 中点，设AB a=，AD b = ，1AA c = ；(1)用向量a ，b ，c 表示向量PM，并求出线段PM 的长度；(2)请求出异面直线PM 与1AC 所成夹角的余弦值.17．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12BC CC M N P ==，，，分别是11CC AB BB ，，的中点.(1)求点M 到平面PCN 的距离.(2)在线段1BB 上是否存在一点Q ，使1AB ⊥平面1A MQ ？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，也请说明理由.18．某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A 类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B 类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛.小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A 类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B 类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.(1)求小明在第一轮得40分的概率；(2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？19．如图①所示，长方形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -．(1)求四棱锥P ABCM-的体积的最大值；(2)若棱PB的中点为N，求CN的长；(3)设P AM D--的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值．。
2024—2025学年浙江省宁波市余姚中学高二上学期10月月考数学试卷
2024—2025学年浙江省宁波市余姚中学高二上学期10月月考数学试卷一、单选题(★) 1. 抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．(★★) 2. 直线和直线，则“”是“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 3. 如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（）A．B．C．D．(★★★) 4. 已知，是椭圆：的两个焦点，A，是椭圆上关于轴对称的不同的两点，则的取值范围为（）A．B．C．D．(★★★) 5. 如图，在棱长为的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为（）A． 10B． 8C． 6D． 4(★★★★) 6. 已知抛物线和圆，点F是抛物线C的焦点，圆M上的两点满足，，其中O是坐标原点，动点P在圆M上运动，则点P到直线AB的最大距离为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 如图，三棱柱满足棱长都相等且平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角是（）A．先增大再减小B．减小C．增大D．先减小再增大(★★★★) 8. 如图，分别为双曲线的左、右焦点，过点作直线，使直线与圆相切于点P, 设直线交双曲线的左右两支分别于A、B两点（A、B位于线段上），若, 则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、多选题(★★) 9. 已知直线的方向向量是，两个平面的法向量分别是，则下列说法中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则(★★★★) 10. 已知直线交椭圆于A，B两点，，为椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与关于直线l的对称点为Q，则（）A．若，则椭圆的离心率为B．若，则椭圆的离心率为C．D．若直线平行于x轴，则(★★★★★) 11. 如图，在棱长为6的正方体中，分别为的中点，点是正方形面内（包含边界）动点，则（）A．与所成角为B．平面截正方体所得截面的面积为C．平面D．若，则三棱锥的体积最大值是三、填空题(★★) 12. 已知直线：，则直线过定点 ________ ；若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则这样的直线有 ________ 条．(★★★) 13. 已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为 ___________ .(★★★) 14. 如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是 ______ ．四、解答题(★★★) 15. 已知圆C：，点，点．(1)过点P作圆C的切线l，求出l的方程；(2)设A为圆C上的动点，G为三角形APQ的重心，求动点G的轨迹方程．(★★★) 16. 如图，在梯形ABCD中，，，，四边形ACFE为矩形，平面平面，，点M是线段EF的中点．(1)求平面MAB与平面EAD所成锐二面角的余弦值；(2)求出直线CD到平面MAB的距离．(★★★) 17. 已知平面内两个定点，满足直线与的斜率之积为的动点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同两点．(1)求曲线的轨迹方程；(2)若直线和的斜率之积为，试证明直线过定点，并求出这个定点坐标．(★★★) 18. 图是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图.(1)求证：平面平面；(2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出二面角的大小；若不存在，说明理由.(★★★) 19. 已知椭圆的焦距为，且过点．(1)求的方程．(2)记和分别是椭圆的左、右焦点．设是椭圆上一个动点且纵坐标不为．直线交椭圆于点（异于），直线交椭圆于点（异于）．若的中点为，求三角形面积的最大值．。
广东省茂名市化州市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
广东省茂名市化州市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5U=，{}1,2,4A =，{}1,5B =，则()U A B ⋂=ð（）A ．∅B ．{}1C ．{}5D ．{}1,52．已知空间中两个不重合的平面α和平面β，直线m ⊂平面α，则“//m β”是“//αβ”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．设向量(cos ,sin ),(3,2)m n θθ== ，若m n ⊥，则tan 2θ等于（）A ．125B ．512C ．512-D ．125-4．国家射击运动员甲在某次训练中的5次射击成绩（单位：环）为9，6，m ，10，8，其中m 为整数，若这5次射击成绩的第40百分位数为8，则m =（）A ．6B ．7C ．8D ．95．函数()320,1x y aa a +=->≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线1x ym n+=-上，且,0m n >，则3m n +的最小值为（）A ．13B ．16C ．11+D ．286．牛顿冷却定律（Newton's law of cooling ）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为1C θ ，环境温度为0C θ，则t 分钟后物体的温度θ（单位：C ）满足：()010e ktθθθθ-=+-.已知环境温度为20C o ，一块面包从温度为120C 的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为70C ，那么大约再经过多长时间，温度降为30C ？（参考数据：ln20.7,ln3 1.1,ln5 1.6≈≈≈）（）A ．33分钟B ．28分钟C ．23分钟D ．18分钟7．设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()131,,+252P A P B P A B ===，则()P AB =（）A ．13B ．15C ．25D ．1108．已知函数()()221sin 1x x f x x --=+，()()10g x ax a =+≠，若()y f x =和()y g x =图象存在3个交点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，则123y y y ++=（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．已知函数()22sin cos 2sin f x x x x =-，给出下列四个选项，正确的有（）A ．函数()f x 的最小正周期是πB ．函数()f x 在区间π,85π8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数C ．函数()f x 的图象关于点π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 的图象可由函数y x =的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位得到10．若三条直线123:210,:10,:220l x y l x y l x ay a -+=+-=++-=可以围成一个三角形，则实数a 的值可以为（）A ．1-B ．0C ．1D ．311．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A ．当λμ=时，1A P ∥平面1ACD B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C ．当1λ=时，PBD △的面积为定值D ．当1λμ+=时，直线1A D 与1D P 所成角的范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、填空题12．经过()()3,4,1,A B c -两点的直线l 的方向向量为()1,2，则直线l 的方程为．13．若二次函数()22f x x x m =-+在区间()0,4上存在零点，则实数m 的取值范围是.14．若复数cos 21sin isin (0π)2z θλθθθ⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于直线y x =上，则λ的最大值为．四、解答题15．为检测同学体能，学校从高一年级随机抽取了100名同学参加体能测试，并将成绩分数分成五组：第一组[45,55），第二组[55,65），第三组[65,75），第四组[75,85），第五组[]85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．(1)估计这100名同学体能成绩分数的平均分和第66百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人进行成绩分析，第二组同学成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组同学成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有同学成绩的方差．16．直线l 的方程为()()1230R m x y m m ++--=∈.(1)证明直线l 过定点；(2)已知O 是坐标原点，若点线l 分别与x 轴正半轴､y 轴正半轴交于,A B 两点，当AOB V 的面积最小时，求AOB V 的周长及此时直线l 的方程.17．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-，BC ，AC 边上的两条中线AD ，BE 相交于点P ．(1)求BAC ∠；(2)若AD =BE ＝2，cos 14DPE ∠=，求ABC 的面积．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面1111,ABB A BCC B 均为正方形，2AB BC ==，,AB BC D ⊥是AB 的中点.(1)求证：1BC ∥平面1A DC ；(2)求二面角1D A C A --的余弦值.19．已知函数()22()log 2f x x =-．(1)求()f x 的单调增区间（只需写出结果即可）；(2)求不等式(21)()f x f x -≤的解集；(3)若方程2[()]()0f x m f x n -⋅+=在区间(1,1)-内有3个不等实根，求114524n m+-⋅+的最小值．。
上海市实验学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷
上海市实验学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷一、填空题1．“直线l 垂直于平面α内无数条直线”是“l α⊥”的条件．2．直线与平面所成角的取值范围是.（弧度制）3．直线l 与平面α的位置关系有.4．在长方体1111ABCD A B C D -中，如果对角线1AC 与过点A 的相邻三个面所成的角分别是α，β，γ，那么222cos cos cos αβγ++=．5．已知直角三角形ABC 中，3AC =，4BC =，若EC ⊥平面ABC ，2EC =，则E 到斜边AB 的距离为.6．在长方体1111ABCD A B C D -中，若17,24AA AB ==，则直线11B C 到平面11A BCD 的距离是.7．在长方体1111ABCD A B C D -中，11,AB BC AA ===1AD 与1DB 所成角的余弦值为.8．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P ，Q ，R 分别是面111111,A B C D BCC B ，11ABB A 的中心，给出下列结论：①PR 与BQ 是异面直线；②RQ ⊥平面11BCC B ；③平面//PQR 平面1D AC ；④过P ，Q ，R 的平面截该正方体所得截面是边长为2的等边三角形，以上结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是.10．已知边长为ABC V ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且//DE BC ，以DE 为折痕，把ADE V 折起至A DE ' ，使点A '在平面BCED 上的射影H 始终落在BC 边上，记2ADE S A H=' 的面积，则S 的取值范围为.11．四面体ABCD 中，已知2AB =，1119,8,22AD BC CD ===，则异面直线AC 与BD 所成角的正弦值是.二、单选题12．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334 ,l l l l l l ⊥⊥⊥，，则下面结论一定正确的是（）A ．14l l ⊥B ．14//l l C ．14l l 、既不垂直也不平行D ．14l l 、的位置关系不确定14．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面（）A ．若,//m n n α⊥，则m α⊥B ．若//,m ββα⊥，则m α⊥C ．若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊥D ．若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊥.15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面ABCD 所成的角为π4，底面ABCD 为直角梯形，,22π,1ABC BAD AD PA BC ∠=∠====，点E 为棱PD 上一点，满足()01,PE PD λλ=≤≤则下列结论正确的个数为（）①CD ⊥平面PAD ；②在棱PD 上不存在点E ，使得//CE 平面PAB ；③当12λ=时，异面直线CE 与AB 所成角的余弦值为5④点P 到直线CD A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个三、解答题16．如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB =2,BC =2,14CC =,M 为棱1CC 上一点．(1)若11C M =,求异面直线1A M 和11C D 所成角的正切值;(2)若12C M =,求证BM ⊥平面11A B M ．17．（1）用文字语言叙述“直线与平面平行的判定定理”；（2）把（1）中的定理写成“已知:……，求证:……”的形式；（3）证明直线与平面平行的判定定理.18．如图，在平行四边形ABCD 中，2,120AB BC ABC =∠=︒，E 为线段AB 的中点，M 为线段DE 的中点，将ADE V 沿直线DE 翻折成A DE ' ，使得A M '⊥平面BCD ，F 为线段A C '的中点.(1)求证：//BF 平面A DE¢(2)求直线FM 与平面A DE ¢所成角的余弦值.19．已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，P 是底面ABC V 内的任一点，OP 与三侧面所成的角分别为α，β，γ.求证：(1)π2αβγ++>；(2)3arcsinαβγ++≤20．已知数列{}{}n n a b 与满足:()112310,,N ,2nn n n n n n b a a b a b n *++++-++==∈且2,4a a ==₁₂(1)设2121N ,n n n c a a n +*-=+∈证明：{}n c 是等比数列；(2)设242,N k k S a a a k *=+++∈ ，证明：4176nk k kS a =<∑()N .n *∈。
辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷
辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷一、单选题1．如图所示，在四面体A －BCD 中，点E 是CD 的中点，记AB a =u u u r r，AC b =u u u r r ，AD c =u u u r r ， 则BE u u u r等于（ ）A ．1122a b c -++r r r B ．1122a b c -+r r r C ．1122a b c -+r r r D ．1122a b c -++r r r2．若平面α的法向量为μu r ，直线l 的方向向量为v r，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是（ ）A ．cos ||||v v μθμ⋅=u r r u r rB ．||cos ||||v v μθμ⋅=u r ru r r C ．sin |||v v μθμ⋅=u r ru r r ∣D ．||sin ||||v v μθμ⋅=u r ru r r3．若直线AB 的一个法向量是)1a =-r，则该直线的倾斜角为（ ）A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o4．已知空间向量()()1,1,2,1,2,1a b =-=-r r ，则向量a r在向量b r 上的投影向量是（ ）A ．()1,1,1-B ．555,,663⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．555,,636⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．111,,424⎛⎫- ⎪⎝⎭5．设P 是120o 的二面角l αβ--内一点，PA α⊥，PB β⊥，A 、B 是垂足，4PA =，3PB =，则AB 的长度为（ ）A ．B ．5CD 6．对于空间一点O 和不共线三点,,A B C ，且有2OP PA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r u u u r，则（ ） A ．,,,O A B C 四点共面 B ．,,,P A B C 四点共面 C ．,,,O P B C 四点共面D ．,,,,O P A B C 五点共面7．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论不正确的是（ ）A ．AC BD ⊥B ．AB ，CD 所成角为60︒C ．ADC △为等边三角形D ．AB 与平面BCD 所成角为60︒8．正方形11ABB A 的边长为12，其内有两点,P Q ，点P 到边111,AA A B 的距离分别为3，2，点Q 到边1,BB AB 的距离也分别是3和2.如图，现将正方形卷成一个圆柱，使得AB 和11A B 重合.则此时两点,P Q 间的距离为（ ）A B C D二、多选题9．下列说法中，正确的有（ ）A ．直线()32y ax a a =-+∈R 必过定点()3,2B ．方程0Ax ByC ++=是直线的一般式方程C ．直线10x +=的斜率为D ．点()5,3-到直线20y +=的距离为110．已知空间单位向量,,i j k rr r 两两垂直，则下列结论正确的是（ ）A ．向量i j +r r与k j -r r 共线 B ．问量i j k ++rr rC ．{},,i j i j k +-r r r r r 可以构成空间的一个基底D ．向量i j k ++r r r 和k r11．如图，已知正六棱柱ABCDEF A B C D E F ''''''-的底面边长为2点均在球O 的球面上，则下列说法错误的是（ ）A ．直线DE '与直线AF '异面B ．若M 是侧棱CC '上的动点，则AM MD '+C ．直线AF '与平面DFE 'D ．球O 的表面积为18π三、填空题12．已知点()1,2A -关于直线y kx b =+对称的点是()1,6B --，则直线y kx b =+在x 轴上的截距是.13．若三条直线2,3,100y x x y mx ny =+=++=相交于同一点，则点(),m n 到原点的距离的最小值为.14．已知正三棱柱ABC A B C '''-的底面边长为2，点P 是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是MN ，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围是.四、解答题15．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： （1）过定点A （－3，4）； （2）斜率为16．16．如图，在四面体ABCD 中，AD ⊥面,2,BCD AD M =是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在棱AC 上，且3AQ QC =.请建立适当的空间直角坐标系，证明：//PQ 面BCD .17．如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，111ππ1,2,,23AB AD AA BAD BAA DAA ===∠=∠=∠=．(1)用向量1,,AB AD AA u u u r u u u r u u u r 表示向量1BD u u u u r，并求1BD u u u u r ； (2)求1cos ,BD AC u u u u r u u u r ． 18．如图，在五棱锥P ABCDE -中，PA ⊥平面,,,ABCDE AB CD AC ED AE BC ∥∥∥，45,24ABC AB BC AE ∠=︒===､三角形PAB 是等腰三角形.(1)求证：平面PCD ⊥平面PAC ： (2)求直线PB 与平面PCD 所成角的大小；19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，棱1,AC CC 的中点分别为1,,D E C 在平面ABC 内的射影为D ，ABC V 是边长为2的等边三角形，且12AA =，点F 在棱11B C 上运动（包括端点）．请建立适当的空间直角坐标系，解答下列问题：(1)若点F为棱B C的中点，求点F到平面BDE的距离；11(2)求锐二面角F BD E--的余弦值的取值范围．。
2024-2025学年湖北云学部分重点高中高二上学期10月月考数学试题及答案
2024年湖北云学名校联盟高二年级10月联考数学试卷命题学校：武汉二中审题人：夷陵中学考试时间：2024年10月15日 15：00-17：00 时长：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，20253i 1i ++的虚部为（ ）A. i −B. iC. 1−D. 12. 已知一组数据：2，5，7，x ，10平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 7B. 6.5C. 6D. 5.53. 直线1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=，若12l l ⊥，则实数a 值为（ ） A. 0B. 1C. 0或1D.13或1 4. 为了测量河对岸一古树高度AB 的问题（如图），某同学选取与树底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，48m CD =，并在点C 处测得树顶A 的仰角为60°，则树高AB 约为（ ）1.4≈ 1.7≈）A. 100.8mB. 33.6mC. 81.6mD. 57.12m5. 如果直线ax ＋by ＝4与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，那么点P (a ，b )与圆的位置关系是( ) A. P 在圆外 B. P 圆上 C. P 在圆内D. P 与圆的位置关系不确定6. 在棱长为6的正四面体ABCD 中，点P 与Q 满足23AP AB = ，且2CD CQ =，则PQ 的值为（ ）的的在A.B.C.D.7. 下列命题中正确的是（ ）A. 221240z z +=，则120z z ==； B 若点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，则点P 、Q 、R 、S 、T 共面；C. 若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件； D. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为310； 8. 动点Q 在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D −侧面11BCC B 上，满足2QA QB =，则点Q 的轨迹长度为（ ） A 2πB.4π3C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−；B. 已知()2,4A ，()1,1B ，若直线l ：20kx y k ++−=与线段AB 有公共点，则21,32k∈−； C. 过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=； D. 若圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1，则1b =−±．10. 如图所示四面体OABC 中，4OB OC ==，3OA =，OB OC ⊥，且60AOB AOC ∠=∠=°，23CD CB =，G 为AD 的中点，点H 是线段OA 上动点，则下列说法正确的是（ ）A. ()13OG OA OB OC =++； B. 当H 是靠近A 的三等分点时，DH ，OC ，AB共面；..C. 当56OH OA = 时，GH OA ⊥ ；D. DH OH ⋅的最小值为1−．11. 已知()2,3P 是圆C ：22810410x y x y a +−−−+=内一点，其中0a >，经过点P 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AAAA |的最小值为4，则（ ） A. 12a =；B. 若|AAAA |=4，则直线l 的倾斜角为120°；C. 存在直线l 使得CA CB ⊥；D. 记PAC 与PBC △的面积分别为PAC S ，PBC S ，则PAC PBC S S ⋅△△的最大值为8．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 实数x 、y 满足224x y +=，则()()2243x y −++的最大值是______．13. 记ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()cos2cos a B c b A =−，其中π2B ≠，若ABC 的面积S =，2BE EC = ，且AE = BC 的长为______．14. 如图，已知四面体ABCD 的体积为9，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G 、H 分别在CD 、AD 上，且G 、H 是靠近D 的三等分点，则多面体EFGHBD 的体积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56． （1）求抽取的总样本的平均数；（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．16. 在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点A 的坐标为()4,2−，ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=，AC 边上中线BM 所在的直线方程为220x y +−=．（1）求点C 的坐标； （2）求直线BC 的方程．17. 直三棱柱111ABC A B C −中，12AB AC AA ===，其中,,E F D 分别为棱111,,BC B A B C 的中点，已知11AF A C ⊥，（1）求证：AF DE ⊥；（2）设平面EFD 与平面ABC 的交线为直线m ，求直线AC 与直线m 所成角的余弦值． 18. 已知圆C ：22430x y y +−+=，过直线l ：12y x =上的动点M 作圆C 的切线，切点分别为P ，Q ．（1）当π3PMQ ∠=时，求出点M 的坐标； （2）经过M ，P ，C 三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标； （3）求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．19. 四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，侧面PAD 为正三角形；（1）当BD PD ⊥时，线段PB 上是否存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD 所成角的正弦值为若存在，求出PQ QB 的值；若不存在，请说明理由．（2）当PD 与平面BCD 所成角最大时，求三棱锥P BCD −的外接球的体积．2024年湖北云学名校联盟高二年级10月联考数学试卷命题学校：武汉二中审题人：夷陵中学考试时间：2024年10月15日 15：00-17：00 时长：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，20253i 1i ++的虚部为（ ）A. i −B. iC. 1−D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据复数乘方、乘法、除法运算法则结合复数的概念运算即可得出结果.【详解】根据复数的乘方可知()50620254i i i i =⋅=，则()()()()20253i 1i 3i 3i32i 12i 1i 1i1i 1i 2+−++−+====−+++−，其虚部为1−. 故选：C2. 已知一组数据：2，5，7，x ，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 7 B. 6.5C. 6D. 5.5【答案】B 【解析】【分析】先根据平均数求x 的值，然后将数据从小到大排列，根据百分位数的概念求值. 【详解】因为2571065x ++++=⇒6x =.所以数据为：2，5，6，7，10.又因为560%3×=，所以这组数据的第60百分位数为：676.52+=. 故选：B3. 直线1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（ ） A 0 B. 1C. 0或1D.13或1 【答案】C.【分析】根据两直线垂直的公式12120A A B B +=求解即可. 【详解】因为1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=垂直， 所以()()3210a a a −+−=， 解得0a =或1a =，将0a =，1a =代入方程，均满足题意， 所以当0a =或1a =时，12l l ⊥. 故选：C .4. 为了测量河对岸一古树高度AB 的问题（如图），某同学选取与树底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，48m CD =，并在点C 处测得树顶A 的仰角为60°，则树高AB 约为（ ）1.4≈1.7≈）A. 100.8mB. 33.6mC. 81.6mD. 57.12m【答案】D 【解析】【分析】先在BCD △中，利用正弦定理求出BC ，再在Rt ABC △中求AB 即可.【详解】在BCD △中，15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，所以135CBD ∠=°，又48CD =，由正弦定理得：sin sin CD CBCBD CDB=∠∠⇒12CB =⇒CB =在Rt ABC △中，tan 60AB BC =°=24 1.4 1.7≈××57.12=. 故选：D5. 如果直线ax ＋by ＝4与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，那么点P (a ，b )与圆的位置关系是( ) A. P 在圆外 B. P 在圆上D. P 与圆的位置关系不确定 【答案】A 【解析】224a b ∴+，所以点(),a b 在圆外考点：1．直线与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系6. 在棱长为6的正四面体ABCD 中，点P 与Q 满足23AP AB = ，且2CD CQ =，则PQ 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】以{},,AB AC AD 为基底，表示出PQ，利用空间向量的数量积求模.【详解】如图：以{},,AB AC AD 为基底，则6AB AC AD ===，60BAC BAD CAD ∠=∠=∠=°，所以66cos 6018AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅=××°=.因为()1223PQ AQ AP AC AD AB =−=+− 211322AB AC AD =−++. 所以22211322PQ AB AC AD =−++222411221944332AB AC AD AB AC AB AD AC AD =++−⋅−⋅+⋅ 169912129=++−−+19=.所以PQ =故选：D7. 下列命题中正确的是（ ）A. 221240z z +=，则120z z ==； B. 若点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，则点P 、Q 、R 、S 、T 共面；C. 若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件； D. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为310； 【答案】D 【解析】【分析】举反例说明ABC 不成立，根据古典概型的算法判断D 是正确的.【详解】对A ：若1i z =，22z =，则221240z z +=，但120z z ==不成立，故A 错误； 对B ：如图：四面体S PRT −中，Q 是棱PR 上一点，则点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，但点P 、Q 、R 、S 、T 不共面，故B 错误； 对C ：掷1枚骰子，即事件A ：点数为奇数，事件B ：点数不大于3， 则()12P A =，()12P B =，()()1P A P B +=，但事件A 、B 不互斥，也不对立，故C 错误； 对D ：从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，有35C 10=种选法， 这三条线段能构成一个三角形的的选法有：{}3,5,7，{}3,7,9，{}5,7,9共3种， 所以条线段能构成一个三角形的的概率为：310P =，故D 正确. 故选：D8. 动点Q 在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D −侧面11BCC B 上，满足2QA QB =，则点Q 的轨迹长度为（ ）A. 2πB.4π3C.D.【解析】【分析】结合图形，计算出||BQ =，由点Q ∈平面11BCC B ，得出点Q 的轨迹为圆弧 EQF，利用弧长公式计算即得.【详解】如图，易得AB ⊥平面11BCC B ,因BQ ⊂平面11BCC B ，则AB BQ ⊥，不妨设||BQ r =，则||2AQ r =, ||3AB ==，解得r =又点Q ∈平面11BCC B ，故点Q 的轨迹为以点B EQF,故其长度为π2. 故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−；B. 已知()2,4A ，()1,1B ，若直线l ：20kx y k ++−=与线段AB 有公共点，则21,32k∈−； C. 过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=；D. 若圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1，则1b =−±． 【答案】BD 【解析】【分析】根据直线是否存在斜率判断A 的真假；数形结合求k 的取值范围判断B 的真假；根据截距的概念判断真假；转化为点（圆心）到直线的距离求b 判断D 的真假.【详解】对A ：“若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−”成立的前提是两条直线的斜率都存若两条直线1条不存在斜率，另一条斜率为0，它们也垂直.故A 是错误的. 对B ：如图：对直线l ：20kx y k ++−=⇒()21y k x −=−+，表示过点()1,2P −，且斜率为k −的直线， 且()422213APk −==−−，()121112BP k −==−−−， 由直线l 与线段AB 有公共点，所以：203k ≤−≤或102k −≤−<，即203k −≤≤或102k <≤，进而得：2132k −≤≤.故B 正确； 对C ：过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=或2y x =，故C 错误； 对D ：“圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1”可转化为“圆心(1,0)到直线y x b =+的距离等于1”.1⇒1b =−.故D 正确.故选：BD10. 如图所示四面体OABC 中，4OB OC ==，3OA =，OB OC ⊥，且60AOB AOC ∠=∠=°，23CD CB =，G 为AD 的中点，点H 是线段OA 上动点，则下列说法正确的是（ ）A. ()13OG OA OB OC =++ ；B. 当H 是靠近A 的三等分点时，DH ，OC ，AB共面；C. 当56OH OA = 时，GH OA ⊥ ； D. DH OH ⋅ 的最小值为1−．【答案】BCD【解析】【分析】以{},,OA OB OC 为基底，表示出相关向量，可直接判断A 的真假，借助空间向量共面的判定方法可判断B 的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断CD 的真假.【详解】以{},,OA OB OC 为基底，则3OA = ，4OB OC == ，6OA OB OA OC ⋅=⋅= ,0OB OC ⋅= . 对A ：因为23AD AC CD AC CB =+=+ ()23AC AB AC =+− 2133AB AC + ()()2133OB OA OC OA =−+− 2133OA OB OC =−++ . 所以12OG OA AG OA AD =+=+ 121233OA OA OB OC =+−++ 111236OA OB OC =++ ，故A 错误；对B ：当H 是靠近A 的三等分点，即23OH OA = 时， DH AH AD =− 121333OA OA OB OC =−−−++221333OA OB OC =−− ， 又AB OB OA =− ，所以2133DH AB OC =−− .故DH ，AB ，OC 共面.故B 正确； 对C ：因为HG OG OH OA AG OH =−=+− 1526OA AD OA =+− 12152336OA OA OB OC OA =+−++−111336OA OB OC =−++ ， 所以：HG OA ⋅= 111336OA OB OC OA −++⋅2111336OA OB OA OC OA =−+⋅+⋅ 1119660336=−×+×+×=， 所以HG OA ⊥ ，故GH OA ⊥ ，故C 正确；对D ：设OH OA λ= ，()01λ≤≤.因为：DH OH OD =− ()OA OA AD λ=−+ 2133OA OA OA OB OC λ =−−++2133OA OB OC λ=−− . 所以DH OH ⋅ 2133OA OB OC OA λλ =−−⋅ ()2233OA OA OB OA OC λλλ−⋅−⋅ 296λλ−，()01λ≤≤. 当13λ=时，DH OH ⋅ 有最小值，为：1196193×−×=−，故D 正确. 故选：BCD11. 已知()2,3P 是圆C ：22810410x y x y a +−−−+=内一点，其中0a >，经过点P 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AAAA |的最小值为4，则（ ）A. 12a =；B. 若|AAAA |=4，则直线l 的倾斜角为120°；C. 存在直线l 使得CA CB ⊥；D. 记PAC 与PBC △的面积分别为PAC S ，PBC S ，则PAC PBC S S ⋅△△的最大值为8．【答案】ACD【解析】【分析】根据点()2,3P 在圆内，列不等式，可求a 的取值范围，在根据弦|AAAA |的最小值为4求a 的值，判断A 的真假；明确圆的圆心和半径，根据1l CP k k ⋅=−，可求直线AB 的斜率，进而求直线AB 的倾斜角，判断B 的真假；利用圆心到直线的距离，确定弦长的取值范围，可判断C 的真假；由三角形面积公式和相交弦定理，可求PAC PBC S S ⋅△△的最大值，判断D 的真假.【详解】对A ：由222382103410a +−×−×−+<⇒8a >.此时圆C ：()()2245x y a −+−=. 因为过P 点的弦|AAAA |的最小值为4，所以CP= 又CP =⇒12a =.故A 正确；对B ：因为53142CP k −==−，1l CP k k ⋅=−，所以直线l 的斜率为1−，其倾斜角为135°，故B 错误； 对C ：当|AAAA |=4时，如图：sin ACP ∠==cos ACP ∠==，所以41cos 1033ACB ∠=−=>， 所以ACB ∠为锐角，又随着直线AB 斜率的变化，ACB ∠最大可以为平角，所以存在直线l 使得CA CB ⊥.故C 正确；对D ：如图：直线CP 与圆C 交于M 、N 两点，链接AM ，BN ，因为MAP BNP ∠=∠，APM NPB ∠=∠，所以APM NPB .所以AP MPNP BP =⇒(4AP BP MP NP ⋅=⋅=+=.又1sin 2PAC S PA PC APC APC =⋅⋅∠=∠ ，PBC S BPC =∠ ，且sin sin APC BPC ∠=∠. 所以22sin PAC PBC S S PA PB APC ⋅=⋅⋅∠ 28sin APC ∠8≤，当且仅当sin 1APC ∠=，即AB CP ⊥时取“=”.故D 正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：在求PAC PBC S S ⋅△△的最大值时，应该先结合三角形相似（或者蝴蝶定理）求出AP BP ⋅为定值，再结合三角形的面积公式求PAC PBC S S ⋅△△的最大值.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 实数x 、y 满足224x y +=，则()()2243x y −++的最大值是______．【答案】49【解析】【分析】根据()()2243x y −++几何意义为圆上的点(),x y 与()4,3−距离的平方，找出圆上的与()4,3−的最大值，再平方即可求解.【详解】解：由题意知：设(),p x y ，()4,3A −，则(),p x y 为圆224x y +=上的点， 圆224x y +=的圆心OO (0,0),半径2r =， 则()()2243x y −++表示圆上的点(),p x y 与()4,3A −距离的平方，又因为max27PA AO r =+=+=, 所以22max749PA ==； 故()()2243x y −++的最大值是49.故答案为：49. 13. 记ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()cos 2cos a B c b A =−，其中π2B ≠，若ABC 的面积S =，2BE EC = ，且AE = BC 的长为______．【解析】【分析】利用正弦定理对()cos 2cos a B c b A =−化简，可得π3A =，再由三角形面积公式求出8bc =，根据题意写出1233AE AB AC =+ ，等式两边平方后，可求出,b c 的值，由余弦定理2222cos a b c bc A =+−，求出BC 的长.【详解】()cos 2cos a B c b A =−,由正弦定理可得:sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =−，sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，()sin 2sin cos A B C A +=，()sin πC 2sin cos C A −=,sin 2sin cos (sin 0)C C A C >，即1cos 2A =,π3A =，1sin 2ABC S bc A == ,得8bc =， ∵2BE EC = ，∴1233AE AB AC =+ ，221233AE AB AC =+， 即2228144cos 3999c b bc A =++，由8bc =，解得42b c = = 或18b c = = ， 根据余弦定理2222cos a b c bc A =+−，当42b c = =时，a =，此时π2B =，不满足题意， 当18b c = =时，a =.14. 如图，已知四面体ABCD 的体积为9，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G 、H 分别在CD 、AD 上，且G 、H 是靠近D 的三等分点，则多面体EFGHBD 的体积为______．【答案】72##3.5 【解析】 【分析】多面体EFGHBD 的体积为三棱锥G DEH −与四棱锥E BFGD −的体积之和，根据体积之比与底面积之比高之比的关系求解即可.【详解】连接ED ，EG ，因为H 为AAAA 上的靠近D 的三分点，所以13DH AD =， 因为E 为AAAA 的中点，所以点E 到AAAA 的距离为点B 到AAAA 的距离的一半， 所以16DEH BAD S S = ， 又G 为CCAA 上靠近D 的三分点，所以点G 到平面ABD 的距离为点C 到平面ABD 的距离的13， 所以111119663182G DEH G BAD C BAD V V V −−−==×=×=， 1233BCD FCG BCD BCD BCD BFGD S S S S S S =−=−= 四边形， 所以2211933323E BFGD E BCD A BCD V V V −−−==×=×=， 所以多面体EFGHBD 的体积为17322G DEH E BFGD V V −−+=+=. 故答案为：72. 【点睛】关键点点睛：将多面体转化为两个锥体的体积之和，通过体积之比与底面积之比高之比的关系求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．（1）求抽取的总样本的平均数；（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．【答案】（1）14 （2）16【解析】【分析】（1）先确定样本中男生、女生的人数，再求总样本的平均数.（2）根据方差的概念，计算总样本的方差.【小问1详解】 样本中男生的人数为：100900601500×=；女生的人数为：1006040−=. 所以总样本的平均数为：6013.24015.214100x ×+×=. 【小问2详解】记总样本的方差为2s ， 则()(){}22216013.3613.2144017.5615.214100s =×+−+×+− 16=. 所以，估计高二年级全体学生的百米成绩的方差为16.16. 在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点A 的坐标为()4,2−，ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=，AC 边上中线BM 所在的直线方程为220x y +−=． （1）求点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程．【答案】（1）(3,4)C ；（2）72130x y −−=【解析】【分析】（1）设(,1)C m m +，则43(,)22m m M −+，代入220x y +−=，求解即可； （2）设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=，在直线10x y −+=取点(0,1)P ，利用点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，求解即可.【小问1详解】解：由题意可知点C 在直线10x y −+=上， 所以设(,1)C m m +，所以AC 中点43(,)22m m M −+， 又因为点43(,)22m m M −+在直线220x y +−=上， 所以34202m m +−+−=，解得3m =， 所以(3,4)C ；【小问2详解】解：因为(3,4)C ，设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=， 又因为(4,2)A −，所以直线AC 的方程为：27220x y −+=， .又因为ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=， 在直线10x y −+=取点(0,1)P ，则点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，=21453140n n ++=， 解得：72n =−或27n =−， 当72n =−时，所求方程即为直线AC 的方程， 所以27n =−， 所以直线BC 的方程为： 72130x y −−=. 17. 直三棱柱111ABC A B C −中，12AB AC AA ===，其中,,E F D 分别为棱111,,BC B A B C 的中点，已知11AF A C ⊥，（1）求证：AF DE ⊥；（2）设平面EFD 与平面ABC 的交线为直线m ，求直线AC 与直线m 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AB 的中点G ，连接1,EG A G 证得四边形ADEG 为平行四边形，得到1//DE A G ，利用1A AG ABF ≌，证得90AHG ∠= ，得到1AF A G ⊥，即可证得AF DE ⊥；（2）根据题意，证得11A C ⊥平面11ABB A ，得到1111A C A B ⊥，以A 为原点，建立空间直角坐标系，求得(0,2,0)AC = ，再取AC 的中点M ，延长,MB DF 交于点N ，得到直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，求得(4,1,0)N −，得到(3,2,0)EN =− ，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取AB 的中点G ，连接1,EG A G ，因为E 的中点，可得//EG AC ，且12EG AC =， 又因为1//A D AC ，且112A D AC =，所以1//EG A D ，且1EG A D =， 所以四边形ADEG 平行四边形，所以1//DE A G ，在正方形11ABB A 中，可得1A AG ABF ≌，所以1A GA AFB ∠=∠， 因为90AFB AFB ∠+∠= ，所以190AFB A GA ∠+∠= ，AGH 中，可得90AHG ∠= ，所以1AF A G ⊥，又因为1//DE A G ，所以AF DE ⊥.【小问2详解】解：在直三棱柱111ABC A B C −中，可得1AA ⊥平面111A B C ，因为11AC ⊂平面111AB C ，所以111AA A C ⊥， 又因为11AF A C ⊥，且1AA AF A ∩=，1,AA AF ⊂平面11ABB A ，所以11A C ⊥平面11ABB A ， 因为11A B ⊂平面11ABB A ，所以1111A C A B ⊥，即直三棱柱111ABC A B C −的底面为等腰直角三角形，以A 为原点，以1,,AB AC AA 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为12AB AC AA ===，可得(0,0,0),(0,2,0)A C ，则(0,2,0)AC = ， 为在取AC 的中点M ，连接,MB DM ，可得1//DM CC 且1DM CC =，因为11//BB DD 且11BB DD =，所以//BF DM ，且12BF DM =， 延长,MB DF 交于点N ，可得B 为MN 的中点，连接EN ，可得EN 即为平面DEF 与平面ABC 的交线，所以直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，又由(0,1,0),(2,0,0),(1,1,0)M B E ， 设(,,)N x y z ，可得MB BN =，即(2,1,0)(2,,)x y z −=−， 可得4,1,0x y z ==−=，所以(4,1,0)N −，可得(3,2,0)EN =− ，设直线EN 与直线AC 所成角为θ，可得cos cos ,AC EN AC EN AC EN θ⋅=== ， 即直线AC 与直线m18. 已知圆C ：22430x y y +−+=，过直线l ：12y x =上的动点M 作圆C 的切线，切点分别为P ，Q ．（1）当π3PMQ ∠=时，求出点M 的坐标； （2）经过M ，P ，C 三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标； （3）求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．【答案】（1）(0,0)或84(,)55（2）过定点(0,2)或42(,)55（3）22173042x y x y +−−+= 【解析】【分析】（1）点M 在直线l 上，设(2,)M m m ，由对称性可知30CMP ∠= ，可得2MC =，从而可得点M 坐标．（2）MC 的中点,12m Q m+，因为MP 是圆P 的切线，进而可知经过C ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MC 为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m 的恒等式，进而可求得x 和y ，得到结果；（3）结合（2）将两圆方程相减可得直线PQ 的方程，且得直线PQ 过定点13,42R，由几何性质得MN RN ⊥，即点N 在以MR 为直径的圆上，进而可得结果.【小问1详解】（1）直线l 的方程为20x y −=，点M 在直线l 上，设(2,)M m m ， 因为π3PMQ ∠=，由对称性可得：由对称性可知30CMP ∠= ，由题1CP =所以2MC =，所以22(2)(2)4+−=m m ， 解之得：40,5==m m 故所求点M 的坐标为(0,0)或84(,)55． 【小问2详解】 设(2,)M m m ，则MC 的中点(,1)2m E m +，因为MP 是圆C 的切线， 所以经过,,C P M 三点的圆是以Q 为圆心，以ME 为半径的圆，故圆E 方程为：2222()(1)(1)22m m x m y m −+−−=+−化简得：222(22)0x y y m x y +−−+−=，此式是关于m 的恒等式，故2220,{220,x y y x y +−=+−=解得02x y = = 或4525x y = =, 所以经过,,C P M 三点的圆必过定点(0,2)或42(,)55．【小问3详解】 由()22222220,430x y mx m y m x y y +−−++= +−+=可得PQ ：()22320mx m y m +−+−=，即()22230m x y y +−−+=， 由220,230x y y +−= −=可得PQ 过定点13,42R . 因为N 为圆E 的弦PQ 的中点，所以MN PQ ⊥，即MN RN ⊥，故点N 在以MR 为直径的圆上，点N 的轨迹方程为22173042x y x y +−−+=. 19. 四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，侧面PAD 为正三角形；（1）当BD PD ⊥时，线段PB 上是否存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD所成角的正弦值为若存在，求出PQ QB 的值；若不存在，请说明理由． （2）当PD 与平面BCD 所成角最大时，求三棱锥P BCD −的外接球的体积．【答案】（1）存在；1.（2【解析】【分析】（1）先证平面PAD ⊥平面ABCD ，可得线面垂直，根据垂直，可建立空间直角坐标系，用空间向量，结合线面角的求法确定点Q 的位置.（2）根据PD 与平面BCD 所成角最大，确定平面PAD ⊥平面ABCD ，利用（1）中的图形，设三棱锥P BCD −的外接球的球心，利用空间两点的距离公式求球心和半径即可.【小问1详解】因为底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，所以60BAD ∠=°，120BCD ∠=°，30CBD ABD ∠=∠=°，所以90ADB ∠=°.所以BD AD ⊥，又BD PD ⊥，,AD PD ⊂平面PAD ，且AD PD D = ，所以BD ⊥平面PAD .又BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .取AD 中点O ，因为PAD △是等边三角形，所以PO AD ⊥，平面PAD ∩平面ABCD AD =，所以⊥PO 平面ABCD .再取AB 中点E ，连接OE ，则//OE BD ，所以OE AD ⊥.所以可以O 为原点，建立如图空间直角坐标系.则()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,0,0D −，()E ，()1,B −，(P ，()C −.(1,PB =− .设PQ PB λ= ，可得)()1Q λλ−−所以)()1,1AQ λλ=−−− ，取平面ABCD 的法向量()0,0,1n = .因为AQ 与平面ABCD ，所以AQ nAQ n ⋅⋅ ，解得12λ=或5λ=（舍去）. 所以：线段PB上存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD ，此时1PQ QB =. 【小问2详解】当平面PAD ⊥平面ABCD 时, PD 与平面BCD 所成角为PDA ∠.当平面PAD 与平面ABCD 不垂直时，过P 做PH ⊥平面ABCD ，连接HD ，则PDH ∠为PD 与平面BCD 所成角，因为PH PO <，sin PH PDH PD ∠=，sin PO PDA PD∠=，s s n i i n PDA PDH ∠∠<，所以A PDH PD ∠∠<. 故当平面PAD ⊥平面ABCD 时，PD 与平面BCD 所成角最大.此时，设棱锥P BCD −的外接球球心为(),,G x y z ，GP GB GC GD R====,所以(()(()(()2222222222222222121x y z R x y z R x y z R x y z R ++= ++−+= +++=+++=，解得20133x y z R = = = = 所以三棱锥P BCD −的外接球的体积为：34π3V R ==. 【点睛】方法点睛：在空间直角坐标系中，求一个几何体的外接球球心，可以利用空间两点的距离公式，根据球心到各顶点的距离相等列方程求解..。
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高二上学期数学10月月考试卷
一、单选题
1. 已知集合，集合，则
（）
A .
B .
C .
D .
2. 在等差数列中，若，是方程
的两根，则的前11项的和为（）
A . 22
B . -33
C . -11
D . 11
3. 总体由编号为01，02，03，，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为（）
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 4369 69 38 74
32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 4869 97 28 01
A . 05
B . 09
C . 07
D . 20
4. 某地气象局预报说，明天本地降水概率为80%，你认为下面哪一个解释能表明气象局的观点（）
A . 明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨
B . 明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不下雨
C . 明天本地下雨的机会是80%
D . 气象局并没有对明天是否下雨作出有意义的预报
5. 设有下面四个命题
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数，则 .
其中的真命题为（）
A .
B .
C .
D .
6. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）
A . 134石
B . 169石
C . 338石
D . 1365石
7. 某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则①该抽样可能是系统抽样；②该抽样可能是随机抽样：③该抽样一定不是分层抽样；④本次抽样中每个人被抽到的概率都是．其中说法正确的为（）
A . ①②③
B . ②③
C . ②③④
D . ③④
8. 已知向量，且，则（）
A .
B .
C . 6
D . 8
9. 如图所示茎叶图记录了甲乙两组各5名同学的数学成绩，甲组成绩中有一个数
据模糊，无法确认，在图中以表示，若两个小组的平均成绩相同，则下列结论正确的是（）
A . ，
B . ，
C .
， D . ，
10. 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A . 24
B . 18
C . 12
D . 9
11. 定义在上的奇函数满足
，且在上，则
（）
A .
B .
C .
D .
12. 如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个的长方体框架，一个建筑工人欲从处沿脚手架攀登至处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题
13. 设复数，则复数的共轭复数为________．
14. 的展开式中，的系数为________．
15. 已知向量，，，
，若，则的最小值________．
16. 给出下列命题：
①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”；
②“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件；
③命题“∃x∈R，使得x2+x-1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x-1＞0”；
④命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题．
其中所有正确命题的序号是________．
三、解答题
17. 已知函数．
（1）求函数的单调区间.
（2）若把向右平移个单位得到函数，求在区间上的最小值和最大值.
18. 已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，按要求完成以下问题：
（1）求的值；
（2）求展开式中含的项；
（3）计算式子的值
19. 已知数列前n项和，点在函数
的图象上．
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，不等式
对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围．
20. 如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;
（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
21. 10双互不相同的袜子混装在一只口袋中，从中任意抽取4只，求各有多少种情况出现如下结果．
（1）4只袜子没有成双；
（2）4只袜子恰好成双；
（3）4只袜子2只成双，另两只不成双．
22. 某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．
晋级成功
晋级失败
合计
男
16
女
50
合计
（参考公式：，其中
）
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.780
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
（1）求图中a的值；
（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？
（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望．。