高等数学论文

第二型曲面积分化为二重积分计算

摘要：第二型曲面积分属于向量函数的积分，在流体力学和电磁学等领域有极为广泛的运用。所以，正确选择计算第二型曲面积分的方法对解决问题有着很大的帮助。一般的书本都介绍的主要通过将其转化为二重积分或利用高斯公式计算。第二型曲面积分和二重积分有着密切的关系，这里介绍将第二型曲面积分化为二重积分来计算的方法。并且希望大学生能够培养对高等数学的爱好，努力钻研高等数学。

关键词：第二型曲面积分、二重积分、转换、计算、钻研高等数学

正文：

1.第二型曲面积分定义：

设∑为光滑的有向曲面，函数(,,)R x y z 在∑上有界，把∑任意分割成n 块小曲面

(1,2,,)i S i n ∆= （i S ∆同时表示第i 小块曲面的面积）, i S ∆在xoy 坐标面上的投影为

(),(,,)i xy i i i i S S ξηζ∆∀∈∆ ,若当各小块曲面的直径的最大值0λ→时，

1l i m (,,)()

n

i i i

i x y i R S λξηζ

→=∆∑存在。则称此极限值为(,,)R x y z 在有向曲面∑上对坐标,x y 的曲面积分（或第二型曲面积分）.记作

(,,)R x y z dxdy ∑

⎰⎰。

2.将第二型曲面积分化为二重积分来计算的方法： ①第二型曲面积分

(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ∑

++⎰⎰可化为三个第二型

曲面积分来计算：1(,,)I P x y z dydz ∑

=

⎰⎰,2

(,,)I

Q x y z dzdx ∑

=⎰⎰,3(,,)I R x y z dxdy ∑

=⎰⎰。

这就必须把曲面分别投影到yOz 、zOx 、xOy 面上，再分别按照前侧为正后侧为负、右侧为正左侧为负、上侧为正下侧为负的规则再次分解。这样一来就需要六个式子来计算一个第二型曲面积分，运算量相当大且容易出错。

例：．计算下列闭曲面上的曲面积分（积分沿区域 Ω之边界曲面 Ω∂ 的外侧）：

⎰⎰

Ω

∂-+++y x y x x z y x z y xz d d )(d d )(d d 3333，其中

{

}

10,0,0,

1|),,(22≤≤≥≥≤+=Ωz y x y x z y x ；

解：在曲面Ω∂上0,0,0===z y x 及1=z 部分的S 上

0=⎰⎰S

xzdydz

，所以

8

111

210

2

π

=

-=-=

⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰

Ω

∂dy y zdz

dydz y z xzdydz yz

D ．

在曲面Ω∂上0,0==z x 及1=z 部分的S 上

()

033

=+⎰⎰S

dzdx z x

，所以

(

)

()

16

31232

3

3

3

3

π

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡-++-=+⎰⎰

⎰⎰

⎰⎰Ω

∂xz xz D D dzdx x x dzdx x dzdx y x ． 在曲面Ω∂上0,0==y x 及122=+y x 部分的S 上

()

033

=-⎰⎰S

dxdy y x

，所以

()

()

()

033

33

33

=--

-=

-⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω

∂xy

xy

D D dxdy y x

dxdy y x

dxdy y x

，

∴ 原式 16

5π=

．

②先将第二型曲面积分转化为第一型曲面积分：

=

⋅⎰⎰∑

S A d S

R Q P d )cos cos cos (γβα⎰⎰∑

++

2

22

22

211

cos ,1cos ,1cos y

x y

x y

y

x x

z z z z z z z z ++±=

++=

++=

γβα

再将第一型曲面积分转化为二重积分： 若在xOy 面：

()()()()()⎰⎰

⎰⎰

++=

∑

xy

D y x

dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f ,,1,,,,,2

2 yOz ，xOz 面上以此类推。

最后利用二重积分计算得出结果。

较第一种方法，此方法更加灵活多变，在计算中可以省很多力气。 例：计算曲面积分：

⎰⎰

++S

z x z y y x z )d d d d )((22，其中 S 为球面 2222R z y x =++

在第一、四卦限（0≥x ，0≥z ）的部分，积分沿S 的上侧； 解：S 的单位正法向为

{}z y x R z y x z z y x y z

y x x n ,,1

,

,2222222

220=⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++++++=→

．

∴

()

()()(){}

{}⎰⎰⎰⎰++=++S

S

dS z y x y x z y x z R dxdz dydz y x z ,,0,,12

2222

2 (

)

()⎰⎰++=

S

dS y x y x z R 221

．