层次分析法例题.docx

某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护
性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对 3 个不同品牌的设备进行综合
分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其层次
结构如下图所示。

以 A 表示系统的总目标，判断层中B1表示功能，B2表示价
格， B3表示可维护性。

C1，C2，C3表示备选的3种品牌的设备。

目A
判断功能 B1价格B2性B3
方案品1品 C品3
C
2C
采次构
解题步骤：
1、标度及描述
人们定性区分事物的能力习惯用 5个属性来表示，即同样重要、稍微重
要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻
属性之间的值，这样就得到 9个数值，即 9个标度。

为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素 i 与要素 j 相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而 2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。

度定（比因素 i 与 j ）
1因素 i 与 j 同重要
3因素 i 与 j 稍微重要
5因素 i 与 j 重要
7因素 i 与 j 烈重要
9因素 i 与 j 重要
2、 4、 6、 8两个相判断因素的中
倒数因素 i 与 j 比得判断矩 a ij，因素 j 与 i 相比的判断 a ji =1/ a ij
注： a ij表示要素 i 与要素 j 相重要度之比，且有下述关系：
a ij =1/a ji；a ii =1； i ， j=1 ，2，⋯， n 然，
比越大，要素 i 的重要度就越高。

2、构建判断矩阵A
判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是进行权重计算的重要依据。

根据结构模型，将图中各因素两两进行判断与比较，构造判断矩阵：
●判断矩阵 A B
( 即相对于物流系统总目标，判断层各因素相对重要性比较 ) 如表 1所示；
●判断矩阵 B 1 C ( 相对功能，各方案的相对重要性比较 ) 如表 2 所示；●判
断矩阵 B 2 C
( 相对价格，各方案的相对重要性比较 ) 如表 3 所示；●判断矩阵 B 3 C
( 相对可维护性， 各方案的相对重要性比较 ) 如表 4 所
示。

表 1 判断矩阵 A B
A
B 1
B 2 B 3 B 1
C 1
C 2
C 3
B 2
C 1
C 2
C 3
B 3
C 1
C 2
C 3
B 1
B 2
B 3
1 1/3
2 3 1 5 1/2 1/5 1
表 2 判断矩阵 B 1
C
C 1 C 2 C 3
1 l/3 1/5 3 1 1/3 5 3 1
表 3 判断矩阵 B 2-C
C 1
C 2
C 3
1 2 7 1/2 1 5 1/7
1/5
1
表 4 判断矩阵 B 3
C
C 1 C 2 C 3
1 3 l/7 l/3 1 1/9 7
9 1
3、计算各判断矩阵的特征值、特征向量及一致性检验指标
一般来讲，在 AHP 法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量，必不需要较高的精度，用求和法或求根法可以计算特征值的近似值。

●求和法 1）将判断矩阵 A 按列归一化（即列元素之和为 1）： b ij = a ij / Σa ij ； 2）将归一化的矩阵按行求和： c i =Σb ij （i=1 ，2，3⋯.n ）； 3 ）将 i 归一化：得到特征向量 （ ， 2，⋯w n ）T ， i i Σc i ， c W = w 1 w w=c / W 即为 A 的特征向量的近似值；
4）求特征向量 W 对应的最大特征值：
●求根法
1）算判断矩 A每行元素乘的 n次方根；w
i
n a ij（i =1,
n
j1
2, ⋯, n ）
2）将w i一化，得到w
i
w
i
；W=（w1，w2，⋯w n）T即A的特征n
w i
i1
向量的近似；
3）求特征向量 W的最大特征：
(1)判断矩 A B 的特征根、特征向量与一致性① 算
矩 A B 的特征向量。

算判断矩A B 各行元素的乘M i，并求其n
次方根，如
M 11122
， W1 3 M
1
0.874 ，似地有，W23 M 2 2.466 ，
33
W33M 30.464 。

向量W[W1 , W2 ,, W n ]T范化，有W1W10.8740.230
n
0.874 2.466
W i0.464
i 1
似地有 W2 0.684 ，W
3
0.122。

所求得的特征向量即：
W[ 0.230,0.648,0.122] T
② 算矩 A B 的特征根
11/ 32
AW315[0.230,0.648,0.122] T 1/ 21/ 51
AW11
1
0.64820.1220.69 0.230
3
似地可以得到 AW2 1.948 ， AW3 0.3666 。

按照公式算判断矩最大特征根：
n
( AW )i0.69 1.9480.3666 max
nW i30.230 30.6483.004
i 1 3 0.122
③一致性。

价中价者只能A行粗略判断，有会犯不一致的。

如，已判断 C1比C2重要， C2比C3重要，那么， C1比 C3更重要。

如果又判断 C1比C3重要或同等重要，就犯了。

就需要行一致性。

根据 次法原理，利用 A 的理 最大特征 λ max 与n 之差 一致性。

一致性指 ：
算 CI
max
n
3.004 3
CI 0.003
0.1 ， 同 平均随
n 1
3 1
0.002 <， CR
RI
机一致性指 （表
5 所示）知 RI 0.58，（一般 CI<、 CR< ，判断矩 的一致性可以接受，否 重新两两 行比 ） 。

表 5 平均随机一致性指
阶数 3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
RI
(2) 判断矩 B 1 C 的特征根、特征向量与一致性
似于第 (1) 步的 算 程，可以得到矩 B 1 C 的特征根、特征向量与一致性 如下：
W [ 0.105, 0.258, 0.637] T ， max
3.039 ， CR 0.033 0.1
(3) 判断矩 B 2 C 的特征根、特征向量与一致性
似于第 (1) 步的 算 程， 可以得到矩 刀：— C 的特征根、特征向量与一致性 如下：
W [ 0.592, 0.333, 0.075] T ， max 3.014 ， CR 0.012 0.1
(4) 判断矩
B 3
C
的特征根、特征向量与一致性
似于第 (1) 步的 算 程，可以得到矩 B 3
C 的特征根、特征向量与一致性 如
下：
W [ 0.149, 0.066, 0.785] T ， max
3.08 ， CR 0.069 0.1
4、 次 排序
得同一 次各要素之 的相 重要度后， 就可以自上而下地 算各 要素 体的 合重要度。

二 共有 m 个要素 c 1, c 2, ⋯,c m ，它 的重要度 w 1, w 2, ⋯, w m ；她的下一 次三 有 p 1, p 2, ⋯,p n 共n 个要素，令要素p i c j 的重要度（ 重） v ij ， 三 要素 p i 的 合重要度 ：
方案 C 1的重要度（ 重） =×+×+×= 方案 C 2的重要度（ 重） =×+×+×= 方案 C 3的重要度（ 重） =×+×0. 075+×=
依据各方案 合重要度的大小，可 方案 行排序、决策。

次 排序如表 6所示。

表 6 次 排序
次
B 1
B 2
B 3
次 C
次
排序 重
C 1
C 2
C 3
5、结论
由表 5 可以看出， 3 种品牌设备的优劣顺序为：C1，C
3，C2，且品牌 1
明显优于其他两种品牌的设备。