函数的一致连续性

列
.
例3 若函数
在开区间 内连续，则
在 内
一致连续的充要条件是
与
存在.
第21讲 函数的一致连续性——一致连续性定理
函数在一点连续的定义及几何意义
函数 在 连续的
定义：
，
当
时，恒有
2
.
注：通常 与 和 有关，
所以记为
.
第21讲 函数的一致连续性——问题引入
问题：是否存在一个在连续区间上 都适用的 ?
第21讲 函数的一致连续性——问题引入
一致连续的定义 一致连续的几何解释 一致连续性定理
第21讲 函数的一致连续性——主要内容
定义 设
为定义在区间 上的函数，如果对任给的正数 ，
总存在正数
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，使得对任意
，只要
，
就有
，
则称函数
在区间 上一致连续.
“函数
在区间 上一致连续”定义的简洁形式：
，当
且
时，有
.
第21讲 函数的一致连续性——一致连续的定义
例1 证明函数
在区间
上一致连续.
性质（一致连续与连续的关系）若函数
一致连续，则 在 内连续.
一致连续的几何解释 —— 正弦函数的一致连续性
1.0 0.5
O
12 3 4 56
-0.5
-1.0
第21讲 函数的一致连续性——一致连续的几何解释
定理（康托尔） 若函数 在闭区间 上连续，则 在 上一致连续.
聚点原理 任何有界数列均存在收敛的子数列，即若数列
满足
（其中M>0为常数），则 存在收敛的子数
在区间 内
例2 证明函数
在区间 内不一致连续.
第21讲 函数的一致连续性——一致连续的定义
一致连续的几何解释
若
为区间 上的一致连续函数，曲线
为其图形，则
，
，作以曲线上任何一点
为中心，边与坐标轴平行，且底为 、高为 的矩形 ，曲线
一定从矩形 的左右两侧穿过矩形.
第21讲 函数的一致连续性——一致连续的几何解释