圆系方程 (1)

练习：
1、求过圆 x 2 + y 2 －6x －8y + 20 = 0 和 x 2 + y 2 －10x + 4y + 4 = 0 的交点，且过点 ( 3 , －1 ) 的 圆方程。
2、求过圆 x 2 + y 2－2y = 0 和直线 2x + y －3 = 0 的交点，且圆心在 x 轴上的圆方程。 3、求过圆 x 2 + y 2 = 4 和 x 2 + y 2－2x－4y + 4=0 的交点，且和直线 x + 2y = 0 相切的圆方程。
例2、求圆心为 ( 2 , 1 ) 且与已知圆 x 2 + y 2 －3x = 0 的公共弦所在直线经过点 ( 5 , －2 ) 的圆方程。 解：设所求圆为 x 2 + y 2 －4x －2y + F = 0 则公共弦方程： x + 2y －F = 0 过 ( 5 , － 2) ∴ F=1 故 所求圆方程为 x 2 + y 2 －4x －2y + 1 = 0
2 2
2
2
min
例4、求圆 x 2 + y 2 + 2x + 4y －3 = 0 关于直 线x + y －1 = 0 对称的圆方程。
x 1 y 法一：转移法 y 1 x 故 所求圆为 x 2 + y 2 －6x －4y + 5 = 0
1 1
法二：对称法
( x + 1 )2 + ( y + 2 )2 = 8 ( x －3 ) 2 + ( y －2 ) 2 = 8
答案： 1、 x 2 + y 2 －8x －2y + 12 = 0 2、 x 2 + y 2 + 4x －6 = 0 3、 x 2 + y 2 －x －2y = 0
谢谢！
x y D x E y F ( x y D x E y F ) 0 _____________________________________ ___ 当 = －1 时，方程表示两圆的 公共弦方程 ___________ 故求两圆的公共弦方程，只需消去 x 2、y 2 项
礼县一中数学组 沈逸群
பைடு நூலகம்
圆系
共同 性质的圆叫做圆系； 1、定义：具有某种 ______
它的方程叫 _____________ 圆系方程 2、常见的圆系方程： (1) 半径相等的圆系方程为
____________________________________ ( x －a ) 2 + ( y －b ) 2 = r 2 ( a、b 为参数 ) 图象特点： 大小一样，位置不同
(2) 同心圆系方程为
( x －a ) 2 + ( y －b ) 2 = k 2 ( k 为参数 ) ___________________________________
位置相同，大小不同 图象特点：____________________ (3) 过两圆交点的圆系：若两圆 x 2 + y 2 + D1x +E1y + F1 = 0 和 x 2 + y 2 + D2x + E2y + F2 = 0 相交，则过这两圆交点的圆系方程为
例3、过直线 2x + y + 4 = 0 和圆 x 2 + y 2 + 2x －4y + 1 = 0 的交点，面积最小的圆方程 解：设所求圆方程为 x 2 + y 2 + 2x －4y + ( 2x + y + 4 ) = 0 1 r ( 2 2) ( 4) 4(4 1) 2 1 8 16 1 5( ) 5 16 16 2 5 5 2 8 4 当 时 , S 5 5 故 所求圆为 5x 2 + 5y 2 + 26x －12y + 37 = 0
2 2 2 2 1 1 1 2 2 2
例1、求过两圆 x 2 + y 2 －4x + 2y = 0 和 x 2 + y 2 －2y －4 = 0 的交点，且圆心在直线 2x + 4y = 1 上的圆方程。 解：设所求圆方程为 x 2 + y 2 －4x + 2y + ( x 2 + y 2 －2y －4 ) =0 2 1 由圆心( , )代入2 x 4 y 1 1 1 1 3 ∴ x 2 + y 2 －3x + y －1 = 0