工程光学习题参考答案第一章几何光学基本定律

第一章 几何光学基本定律
1.
已知真空中的光速c ＝38
10⨯m/s ，求光在水（n=）、冕牌玻璃（n=）、火石玻璃（n=）、加拿大树胶（n=）、金刚石（n=）等介质中的光速。

解：
则当光在水中，n=时，v=m/s,
当光在冕牌玻璃中，n=时，v=m/s, 当光在火石玻璃中，n ＝时，v=m/s ， 当光在加拿大树胶中，n=时，v=m/s ， 当光在金刚石中，n=时，v=m/s 。

2. 一物体经针孔相机在屏上成一60mm 大小的像，若将屏拉远50mm ，则像的大小变为70mm,求屏到针孔的初始距离。

解：在同种均匀介质空间中光线直线传播，如果选定经过节点的光线则方向不变，令屏到针孔的初始距离为x ，则可以根据三角形相似得出：
,所以x=300mm
即屏到针孔的初始距离为300mm 。

3. 一厚度为200mm 的平行平板玻璃（设n =），下面放一直径为1mm 的金属片。

若在玻璃
板上盖一圆形的纸片，要求在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属片，问纸片的最小
1mm I 1=90︒
n 1 n 2
200mm
L I 2 x
2211sin sin I n I n =
66666.01
sin 2
2==
n I
745356.066666.01cos 22=-=I
88.178745356
.066666
.0*
200*2002===tgI x
mm x L 77.35812=+=
4.光纤芯的折射率为1n ，包层的折射率为2n ，光纤所在介质的折射率为0n ，求光纤的数值孔径（即10sin I n ，其中1I 为光在光纤内能以全反射方式传播时在入射端面的最大入射角）。

解：位于光纤入射端面，满足由空气入射到光纤芯中，应用折射定律则有： n 0sinI 1=n 2sinI 2(1)
而当光束由光纤芯入射到包层的时候满足全反射，使得光束可以在光纤内传播，则有：
(2)
由（1）式和（2）式联立得到n 0.
5. 一束平行细光束入射到一半径r=30mm 、折射率n=的玻璃球上，求其会聚点的位置。

如果在凸面镀反射膜，其会聚点应在何处如果在凹面镀反射膜，则反射光束在玻璃中的会聚点又在何处反射光束经前表面折射后，会聚点又在何处说明各会聚点的虚实。

解：该题可以应用单个折射面的高斯公式来解决，
设凸面为第一面，凹面为第二面。

（1）首先考虑光束射入玻璃球第一面时的状态，使用高斯公式：
会聚点位于第二面后15mm处。

（2）将第一面镀膜，就相当于凸面镜
像位于第一面的右侧，只是延长
线的交点，因此是虚像。

还可以用β正负判断：
（3）光线经过第一面折射：, 虚像
第二面镀膜，则：
得到：
（4）在经过第一面折射
物像相反为虚像。

6.一直径为400mm，折射率为的玻璃球中有两个小气泡，一个位于球心，另一个位于1／2半径处。

沿两气泡连线方向在球两边观察，问看到的气泡在何处如果在水中观察，看到的气泡又在何处
解：
设一个气泡在中心处，另一个在第二面和中心之间。

（1）从第一面向第二面看
（2）从第二面向第一面看
（3）在水中
7.有一平凸透镜r
1=100mm,r
2
,d=300mm,n=,当物体在时，求高斯像的位置'l。

在第二面
上刻一十字丝，问其通过球面的共轭像在何处当入射高度h=10mm，实际光线的像方截距为多少与高斯像面的距离为多少
解：
8.一球面镜半径r=-100mm,求＝0 ，⨯-1.0 ，⨯-2.0 ，-1⨯ ，⨯1 ，⨯5，⨯
10，∝时的
物距和象距。

解：（1） （2） 同
理，
（3）同理， （4）同理，
（5）同理， （6）同理，
（7）同理， （8）同理，
9. 一物体位于半径为r 的凹面镜前什么位置时，可分别得到：放大4倍的实像，当大4倍的虚像、缩小4倍的实像和缩小4倍的虚像
解：（1）放大4倍的实像
（2）放大四倍虚像
（3）缩小四倍实像
（4）缩小四倍虚像
10．一个直径为200mm的玻璃球，折射率为，球内有两个小气泡，从球外看其中一个恰好在球心。

从最近的方位去看另一个气泡，它位于球表面和球心的中间。

求两气泡的实际位置。

（解题思路）玻璃球内部的气泡作为实物经单球面折射成像。

由于人眼的瞳孔直径很小，约2—3毫米，且是从离气泡最近的方位观察，所以本题是单球面折射的近轴成像问题。

题中给出的是像距s’, 需要求的是物距是s。

解：
（1）n= n’= r=-100mm
s’=-100mm 代入成像公式
s=-100mm
物为实物，且和像的位置重合，
且位于球心。

（2）对另一个气泡，已知n=;n’=;
r=-100mm
s’=-50mm . 代入成像公式
s=-60.47mm
气泡为实物，它的实际位置在离球心（）=39.53mm的地方。

讨论：对于第一个气泡，也可以根据光的可逆性来确定。

因为第一个气泡和像是重合的，由可逆性将像视为物,经球
面折射后仍成在相同的位置。

所以像和物只能位于球心。

11一直径为20mm 的玻璃球，其折射率为3，今有一光线一60。

入射角入射到该玻璃球上，试分析光线经玻璃球传播情况。

解：在入射点A 处。

同时发生折射和反射现象
2211sin sin I n I n =Θ 5.03
60sin sin 2==
︒
I
302︒
=I
∴在A 点处光线以30︒
的折射角进入玻璃球，同时又以60︒
的反射角返回原介质。

根据球的对称性，知折射光线将到达图中B 点处，并发生折射反射现象。

3023︒==I I Θ 305︒=∴I
I I n 43sin sin = 2
3sin 4=
I ︒=604I
同理：由B 点发出的反射光线可以到达C 点处，并发生反射折射现象
︒=307I 608︒=I
B 点的反射光线可再次到达A 点，并发生折、反现象。

309︒=I 30210︒==I I
60110︒='
=I I
由以上分析可知：当光线以60︒入射角射入折射率为3的玻璃球，后，可在如图A ，B ，C 三点连续产生折射反射现象。

ABC 构成了玻璃球的内解正三角形，在ABC 三点的反射光线构成了正三角形的三条边。

同时，在ABC 三点有折射光线一60︒角进入空气中
事实上：光照射到透明介质光滑界面上时，大部分折射到另一介质中，也有小部分光
反射回原来的介质中
当光照射到透明介质界面上时，折射是最主要的，反射是次要的
12有平凸透镜r 1=100mm ，r 2=∞，d=300mm ，n=,当物体在-∞时，求高斯像的位置l’。

在第二面上刻一十字丝，问其通过球面的共轭像处当入射高度h=10mm 时，实际光线的像方截距为多少与高斯像面的距离为多少
解 1） 由
r n
n l l -'=
-'11
代入 ∞=1l , 5.11='
n ,11=n ,1001=r 得： mm l 3001='
mm d l l 030030012=-=-'
=
mm l 02='
∴
即：物体位于－∞时，其高斯像点在第二面的中心处。

2）由光路的可逆性可知 ：第二面上的十字丝像在物方∞处。

3）当mm h 101=时
1.0100
10sin 11===
r h I 06667.01.0*5
.11sin *sin =='=
'I n n I ︒=='822.306667.0arcsin I
︒=-+='-+='9172.1822.3739.50I I u u
mm u I r L 374.299)0334547
.006667
.01(*100)sin sin 1(*/=+='+='
mm d L L 626.012-=-'
= ︒='=-9172.12u I
05018.09172.1sin *5.1sin *1
sin 22-=︒-=='I n
I
︒-='
87647.22I
︒︒︒︒=+-='
-+='87647.287647.29172.19172.12222I I u u
由△关系可得：
mm tg u tg L x 02095.09172.1*626.02-=-='=︒
mm tg L 4169.087467.202095.02-=-='
︒
它与高斯像面的距离为－0.4169mm
重点：
1︒ 所有的折射面都有贡献。

2︒ 近轴光线和远轴光线的区别。

13一球面镜半径r =-100mm ，求β=0，-0.１x
，-０.２x
，-１x
，１x
，５x
，１0x
，∞时的物距和像距。

求β=0,－x , －x ,－1x ,1x ,5x ,10x ,∞时的l,l’ 解：
r l l 211=+' ，l
l '-=β
1） 0=β时， ,50-=l -∞=l
0='l ， 50-='l (可用解)
2) 1.0-=β时， ,550-=l mm l 55-='
3) 2.0-=β时， mm l 300-=, mm l 60-='
4) 1-=β时， ,100mm l -= mm l 100-='
5) 1=β时， mm l 0=, mm l 0='
6) 5=β时， mm l 40-=, mm l 200='
7) 10=β时， mm l 45-=， mm l 450='
8） ∞=β时， mm l 50-=, -∞='l
14 思考题：为什么日出或日落时太阳看起来是扁的
答：日出或日落时，太阳位于地平线附近。

对于地球的一点，来自太阳顶部、中部和底部的光线射向地球大气层的入射角依次增大。

同时，由于大气层的密度不均匀，引起折射率n 随接近地面而逐渐增大。

所以当光线穿过大气层射向地面时，折射率n 逐渐增大，其折射角逐渐减少，光线的传播路径发生弯曲。

我们沿着光线看去，看到的发光点位置比其实际位置抬高。

另一方面，折射光线的弯曲程度还与光线入射角有关。

入射角越大的光线，弯曲越厉害，视觉位置被抬的越高。

因此从太阳上部到太阳下部发出的光线，入射角逐渐增大，下部的视觉位置就依次比上部抬的更高。

所以，日出和日落时太阳看起来呈扁椭圆形。