二维泊松方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式
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的 足够光 滑 函数 ．
１ 高 精度 紧致 差 分 格 式
将求 解 区域［ 。ｎ ］ Ｅ ，ｂ］ 别 剖分 为 Ｎ ａ ， 和 ｂ ，２ 分
和 Ｍ 个 子 区间
ｎｌ Ｚ Ｏ ，７ ． ２１，Ｘ ２ ’… ， ｌ ， Ｎ Ｘ “ ２’
程 组Ｌ 的 高精 度 紧致差 分格式 ． ７ 叫］
ｌ １
ｙ
其 中 ｒ “为截 断误 差 ， 可表 示为
：＋） ｉ １ ｊ （ １＋ ： ，１ 『
（ １ ｆ， ） —
ｙ ，
ｒ
Ｈ雾＋ ＋ 。 ＋ ＋ 。 Ｋ Ｈ Ｋ Ｈ筹＋ｓ ＋（ （＿） ｓ Ｋ ｏ 一 口＋ 工 ）
一
（ １） ｉ ， －，
（ ６ １ ）
￣ ０ ＋一 ｆ＋ Ｌ ， ［ｙ ・ ’ ｚ Ｊ
一・ － ］
（） ７
由式 （ ） （６ ， 程 （ ） ８ 和 １）方 １ 在非 均 匀 网格 上 的高 精
那 么式 （ ） 以写 为 如下 的近似形 式 １可
（ 一 一 ） ｆ ＋ Ｔ， ’ ｊ ｉ ｊ一 。 ， ， （ ） ８
第２ ６卷 第 ２期
２１ ０ ２年 ３月
甘 肃 联 合 大 学 学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ｕＬｉｎ ｅＵｎｖ ｒ ｉ （ ｔｒ ｌ ｃｅ ｃｓ ｏ ｒ ａ ｆ Ｇａ ｓ ａ ｈ ｉｅ ｓｔ Ｎａｕ ａ Ｓ ｉｎ ｅ ） ｙ
Ｖｏ ． ６ Ｎｏ ２ １２ ．
Ｆ 一 －一 小
蔗 ［ ｆ Ｈ］ 升一 ＇ ・ ｊ ＋ ・ Ｊ 一
（ １ １ ）
为 了得 到更 高 阶精 度 的 离散 格 式 ， 面 对 截 下
等 生 ｕ ａ 一２ ｕ ：一 ． １ ａ （ ） 。 、 筹 一 等 ＋（ ５ （２ ０ ） ） ．
Ｍ ａｒ ２Ｏ１ ． ２
文章 编 号 ：１ ７ —９Ｘ（０ ２ ０ —０ ００ ６ ２６ １ ２ １ ） ２０ １—４
二 维 泊松 方程 非 均 匀 网格 上 的 高精 度 紧致 差 分格 式
郭 锐 ， 雪 芳 ， 黄 葛永 斌
（ 宁夏 大 学 数 学 计 算 机 学 院 ， 宁夏 银 川 ７ ０ ２ ） ５０ １ 摘 要 ： 出 了数 值 求 解 二 维 泊 松 方 程 基 于 非 均 匀 网 格 的 高 阶 紧 致 差 分 格式 ， 过 选 取 合 适 的 网格 分 布参 数 求 提 通
ｈ 一 （ ２ 口 ） Ｎ ， ６： — Ｈ 一 ＾ 口 一 １／ Ｘ ， ，一 Ｘ＋ — ｚｆ ｉ ｌ 一 ， ０≤ ｉ Ｎ ； ≤ ｈ 一 （ ｚ ６ ） Ｍ ， ６： Ｙ 一 Ｙ一 ｂ 一 １／ ｙ Ｊ１一 ｑ ＾ ，
稳定 性和 计算 结果 的精 度性 ， 又可 以节 省计算 量 ．
使均 匀 网格 格式 的计 算 精度 受 到 很 大影 响． 比较 合理 的做 法 是在 大梯度 或边 界层 区域 内多分 布些 计 算 节点 ， 在小 梯 度 或 物理 层 变 化 比较 平 缓 的 而 区域 内少 分 布计 算 节 点 ， 这样 既 可 以兼顾 算 法 的
并 且 定 义
Ｈ 一 （一口，ｚ （一ａ， ｚ 壶 ３） 一壶 ３） Ｋ ｙ
类似地 ， 在点 （一１Ｊ 处进 行泰 勒展 开 为 ，）
Ｈ 一 一ａｙＫ 一１３ 一口 。 南 （ ２） ， 面 ３）・ ｘＩ ｓ （ ｎ
如果 将 ． 去掉 ， 便可 以得 到二 维泊 松方 程在非 均 匀 网格上 的 中心差分 （ Ｄ ） Ｃ Ｓ 格式
因此 ， 发展 非 均匀 网格 上 的 高精 度 紧 致格 式 就 具
Ｙ ／＝ 蚺 １ Ｙ — ｑ ｈ １≤ Ｊ≤ Ｍ ． 一 ｊ ， ， ｙ ．
为 简化格式 形式 ， 一步做 定 义 ， 和 ｇ ａ ： 进 ：
ｍ ，
有重要 的 理论 意义 和 实 际 应用 价 值 ． 献 ［ Ｏ 利 文 １３
Ｈ ～ 一 Ｋ 罴
瓣 ４ 一Ｈ ３０ 一Ｋ 一
（ ＋ Ｈｚ
处展 开 ， 可得 Ｙ方 向上 的二 阶 中心差 分 算子
一
Ｈ Ｋ Ｈ Ｋ ＋ ｚ ｚ 。 等一 等＋ 等＋
０（ 一 ５ 一 ａ ） ａ（ ）＋ ０（ 一 ５ 一 ） ． ａ（ ）
等 院 校 青 年 教 师 基 金 （２ １ ５ ． １ １０ ）
作 者 简 介 ： 锐 （９ ６） 女 ． 夏 青 铜 峡 人 。 夏 大 学 在 读 硕 士 ， 郭 １ ８一 ， 宁 宁 主要 从 事 偏 微 分 方 程 数 值 解 法 和 计 算 流 体 力 学 研
究．
第 ２期
郭 锐 等 ： 维 泊松 方 程 非 均 匀 网格 上 的 高精 度 紧致 差 分 格 式 二
目前 已有 的高精 度精致 格式几 乎 都是在 均 匀
网格 上提 出 的． 实 际问题计 算 中 ， 常遇 到待 求 在 经
物理 量如 浓度 、 度 等 急 剧 变化 或 空 间 分 布不 均 温
匀、 大梯 度 问 题 、 界层 问题 或者 局 部 奇性 问题 ， 边
ｂ ｌ＝ Ｙｏ， ｙｌ， ， ， Ｍ ｌ ｙＭ ＝ ｂ ． ｙ２ … — ， ２
解 具 有 边 界 层 的 数 值 算 例 ， 间 可 以达 到 四 阶精 度 ． 与 均 匀 网 格 上 的计 算 结 果 进 行 比 较 ， 分 验 证 了 本 文 非 空 并 充 均 匀 网格 高 精 度 紧 致 格 式 的精 确 性 和优 越 性 ． 关 键 词 ： 松 方 程 ； 均 匀 网格 ； 致 差 分 格 式 ； 精 度 ； 界层 泊 非 紧 高 边
和 可靠性 ． 为此 ， 虑如下 二 维泊 松方程 考
一
３ 磐 （ 磐 一 一， ，， ａ ｘ ０ 、 ’ ） “ ’
、 （ １ ）
其 中 ， ， Ｅ Ｅ 。（ ］ ６ ，。 ， 定 未知 函数 ｚ ｙ ａ ，２ ×［ ６］ 假 ２
（ ） ｚ， 和源项 ｆ ｘ ） （ ， 是求 解 区域上 变 量 Ｘ和 Ｙ
中 图 分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ５ ２ 文献标识码 ： Ａ
Ｏ 引 言
在偏 微 分 方程 的 格式 由于精 度 高并 且 具 有 小 的 离散 子 域 、 定 稳 性 好 、 界 条 件容 易 处 理 等 特点 越 来 越 受 到人 们 边 的重视 ． 已经发 展 了针 对泊 松 方程Ｌ 、 流扩 散 ｌ 对 ］ 方 程Ｌ 以及 涡 量一 函数 变量 Ｎ ｖ ｒＳｏ ｅ ４ ］ 流 ａ ｉ — ｔｋ ｓ方 ｅ
，
１
＋ ＡＨ ， ｌ ｌ ， 什ｌ＋
Ｙ ＋ ｓ（ ， Ｊ ｉ 一 ｎ ）
其 中 Ｎ 和 Ｍ 分 别是对 Ｘ， Ｙ区间剖 分后 的子 区间
的个 数． ， 称 作 伸缩 变换 系数 ， 来 调 节 网格 用
Ｆ ＝ Ｅ ＋ Ｈ ＋Ｋ１ ＋ Ｈ２ ＋Ｋ２ ／， ｌ ｇ３ ，． ．
代人 各类 差分 算 子 的 定 义 ， （ ７ 可 进 一 步整 理 式 １）
成 九点格 式 ， 写为
Ａｉ ｛ ， ， 』 Ｊ＋ Ａ汁 ， 斗１ １ ． Ａ ｆ ＋ ＋ ， 什ｌ ， ｌ
致 差分 格 式 ， 并通 过 数 值 实验 验 证 格 式 的精 确 性
收 稿 日期 ： Ｏ １ １ － ０ ２ ｌ － ２２ ．
基金项 目： 国家 自然 科学 基金 资 助 项 目（ １６ ０ ５ ； 育 部 科 学 技 术 研 究 重 点 项 目（ １２ ９ ； 英 东 教 育 基 金 会 高 １０１２）教 ２０ ３ ） 霍
ａｖ ． ’
（ ５ 、１ Ｖ）
等 ｘ一 Ｏ ３
用 式 （２ ～ （ ５ 代 替 式 （ ） 的三 阶和 四阶导 数 １） １） ９中
项 ， 整 理 得 并
一
笺 （ ） 一 （ Ｉ 磊 ） ． 等 ＋（一ｘ ） （ ０ ５ ） ６ ａ （ ． ）
类似 地 ， 将 （ ） ， 在点 （， ＋ １ 和 （ ，一 １ Ｊ ） Ｊ ）
一
爰 ［ ＋ 卜］ 斗 一 ・ ｔ・ ｔ Ｊ
（ ） ５
ａ 一．ｖ ｏ， … 等一丽ａ （ ． ｚｚＯ １ ０ ｘ ２ ４ ｆ ￣一 ２ ４ ）
ａ ｖ。
一
瓣４ ３￣
则 式 （ ） 进一 步写 为 ４可
＝ ． 厂
Ｏ ｘ ａＹ
一
Ｏｆ ｚ
Ａ卜Ｉ 卜１ 。 ｊ 』＋ Ａｆ一 ｆ ．１ ． 厂１＋
，
题在 一０和 ＝１ 分别 有一 个边 界层 ． 处
我们 采用 如下 变 换 函数 剖 分 求 解 区域 ［ ， ］ Ｏ １ ×［ ，］ Ｏ１ ，
ｉ ． ． ． ， 、 ２
蕾
十 ｍ Ｊ Ｉ ，
Ａ ｌ １ 汁１ ， 什
用差分 方 程 和微 分 方 程 的相 容性 ， 到 了二 维 拉 得
ｂ ＝钆 ｑ ｑ ｇ —ｑ —ｑ Ｌ代 表 ｚ 或 Ｙ Ｌ － ｍ， Ｌ ， － Ｌ 儿， ．
当且 仅 当 ｑ 一ｑ 见一 １时 ， 网格 剖 分 为 均 匀 剖分 ． 如图 １ 所示 ．
普拉 斯 方 程 和 泊 松方 程 在 非 均匀 网格 上 的 ３ ４ ～ 阶精 度 的紧 致差 分格 式． 计算 结果 显示 ， 采用 合 理 的非 均匀 网格分 布 ， 以得 到较 均 匀 网格更 为 精 可 确 的计 算 结 果．
度 紧致 （ Ｃ 格 式可 以写 为 ＨＯ ） ［ 一 一 一 Ｈ 一 Ｋ， 一
ｌ ２
甘 肃 联 合 大 学 学报 （ 自然 科 学版 ）
第２ ６卷
（ ｚ十 Ｋ ； ｆ Ｈ ｚ ） ＿ ． Ｊ
，， Ｊ
（ ７ １）
其中，
问题 ２ （ ：
） 一
， 问 该
理成 五点形 式 ， 为
将式 （ ） （ ） ２ 和 ３ 两边 分别 同时乘 以 和 血后 相 加
整 理 得
斗一 ￣ 凡 ｚ ２ 巧 ） 一２ ・ （ ＋ 巧Ｆ ｑＦ，
一
１
堕 一
３ｘ
２ ｌ ｑｙ
－， ＋－ 一
２ｑ ＝
凡
２
Ｆ ｉ１ ＿ ＿ ＿ １＿ ＿
（ 一 一 ） 一 厂小 ｆ （ ｏ １）
￣， ．叫 ＋ Ｆ 厂 警 － Ｉ ｊ
生 ４堕笙 一
３ ａ １
５
一
一
（） … ３
’ ４１ ３ ｘ
５１ ａ ５ ＋ ｏ（ ＾ ． … ） ’
根据差分算子 和 ； 的定义 ， 可将 Ｃ Ｓ Ｄ 格式整
：） ｆ ， ，
：１ ｉ ＋
％
０（ 一 ５ 一 Ｇ ） ， ａ（ ｙ ）
（） ９
其中，
（ ｌ ．） ｆ ，１ —ｊ
：・） ． ｉ １ ｉ
，
（¨， １ ｉ －
Ｈ 一专 ｉ ， １ ＾， Ｋ ＝寺
圜 １ 二 维 ９ 点 ｐ 硌 禹 散 不 葸 圈 。 ｇ
将点 （＋１ 进行 泰 勒展开 为 ，）
警＋
５ １ ａ ＋ ０（ ＾ ． … ～ ‘ ～ ）
＋
本文 将 直接 利 用 泰 勒展 开 ， 非 均匀 网格 上 在
提 出一种 新 的数值 求解 二维 泊松方 程 的高精 度 紧
３等 ｚ＋ … ａ ＋４等 １ ｚ ａ ０ １
３
生
断误 差（ ） 的三阶 和 四阶导数 项也 进行 离散 ， ９中 为
此 ， 用 （ ） 得 利 １可
Ｏ 磐 一 ａｖ 一 ｆ ｘ ａ Ｏ ｏ 一， ｘ
．
（） １ 、２ …
ｆ… ｔ‘ｌ 、
（） ４
定义 ｚ方 向上 的二 阶 中心差分 算子 为
一
ａ 一
＝ ＝一 Ｏｘ ａ 一 — — ， ａＶ ．
１ 高 精度 紧致 差 分 格 式
将求 解 区域［ 。ｎ ］ Ｅ ，ｂ］ 别 剖分 为 Ｎ ａ ， 和 ｂ ，２ 分
和 Ｍ 个 子 区间
ｎｌ Ｚ Ｏ ，７ ． ２１，Ｘ ２ ’… ， ｌ ， Ｎ Ｘ “ ２’
程 组Ｌ 的 高精 度 紧致差 分格式 ． ７ 叫］
ｌ １
ｙ
其 中 ｒ “为截 断误 差 ， 可表 示为
：＋） ｉ １ ｊ （ １＋ ： ，１ 『
（ １ ｆ， ） —
ｙ ，
ｒ
Ｈ雾＋ ＋ 。 ＋ ＋ 。 Ｋ Ｈ Ｋ Ｈ筹＋ｓ ＋（ （＿） ｓ Ｋ ｏ 一 口＋ 工 ）
一
（ １） ｉ ， －，
（ ６ １ ）
￣ ０ ＋一 ｆ＋ Ｌ ， ［ｙ ・ ’ ｚ Ｊ
一・ － ］
（） ７
由式 （ ） （６ ， 程 （ ） ８ 和 １）方 １ 在非 均 匀 网格 上 的高 精
那 么式 （ ） 以写 为 如下 的近似形 式 １可
（ 一 一 ） ｆ ＋ Ｔ， ’ ｊ ｉ ｊ一 。 ， ， （ ） ８
第２ ６卷 第 ２期
２１ ０ ２年 ３月
甘 肃 联 合 大 学 学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ｕＬｉｎ ｅＵｎｖ ｒ ｉ （ ｔｒ ｌ ｃｅ ｃｓ ｏ ｒ ａ ｆ Ｇａ ｓ ａ ｈ ｉｅ ｓｔ Ｎａｕ ａ Ｓ ｉｎ ｅ ） ｙ
Ｖｏ ． ６ Ｎｏ ２ １２ ．
Ｆ 一 －一 小
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（ １ １ ）
为 了得 到更 高 阶精 度 的 离散 格 式 ， 面 对 截 下
等 生 ｕ ａ 一２ ｕ ：一 ． １ ａ （ ） 。 、 筹 一 等 ＋（ ５ （２ ０ ） ） ．
Ｍ ａｒ ２Ｏ１ ． ２
文章 编 号 ：１ ７ —９Ｘ（０ ２ ０ —０ ００ ６ ２６ １ ２ １ ） ２０ １—４
二 维 泊松 方程 非 均 匀 网格 上 的 高精 度 紧致 差 分格 式
郭 锐 ， 雪 芳 ， 黄 葛永 斌
（ 宁夏 大 学 数 学 计 算 机 学 院 ， 宁夏 银 川 ７ ０ ２ ） ５０ １ 摘 要 ： 出 了数 值 求 解 二 维 泊 松 方 程 基 于 非 均 匀 网 格 的 高 阶 紧 致 差 分 格式 ， 过 选 取 合 适 的 网格 分 布参 数 求 提 通
ｈ 一 （ ２ 口 ） Ｎ ， ６： — Ｈ 一 ＾ 口 一 １／ Ｘ ， ，一 Ｘ＋ — ｚｆ ｉ ｌ 一 ， ０≤ ｉ Ｎ ； ≤ ｈ 一 （ ｚ ６ ） Ｍ ， ６： Ｙ 一 Ｙ一 ｂ 一 １／ ｙ Ｊ１一 ｑ ＾ ，
稳定 性和 计算 结果 的精 度性 ， 又可 以节 省计算 量 ．
使均 匀 网格 格式 的计 算 精度 受 到 很 大影 响． 比较 合理 的做 法 是在 大梯度 或边 界层 区域 内多分 布些 计 算 节点 ， 在小 梯 度 或 物理 层 变 化 比较 平 缓 的 而 区域 内少 分 布计 算 节 点 ， 这样 既 可 以兼顾 算 法 的
并 且 定 义
Ｈ 一 （一口，ｚ （一ａ， ｚ 壶 ３） 一壶 ３） Ｋ ｙ
类似地 ， 在点 （一１Ｊ 处进 行泰 勒展 开 为 ，）
Ｈ 一 一ａｙＫ 一１３ 一口 。 南 （ ２） ， 面 ３）・ ｘＩ ｓ （ ｎ
如果 将 ． 去掉 ， 便可 以得 到二 维泊 松方 程在非 均 匀 网格上 的 中心差分 （ Ｄ ） Ｃ Ｓ 格式
因此 ， 发展 非 均匀 网格 上 的 高精 度 紧 致格 式 就 具
Ｙ ／＝ 蚺 １ Ｙ — ｑ ｈ １≤ Ｊ≤ Ｍ ． 一 ｊ ， ， ｙ ．
为 简化格式 形式 ， 一步做 定 义 ， 和 ｇ ａ ： 进 ：
ｍ ，
有重要 的 理论 意义 和 实 际 应用 价 值 ． 献 ［ Ｏ 利 文 １３
Ｈ ～ 一 Ｋ 罴
瓣 ４ 一Ｈ ３０ 一Ｋ 一
（ ＋ Ｈｚ
处展 开 ， 可得 Ｙ方 向上 的二 阶 中心差 分 算子
一
Ｈ Ｋ Ｈ Ｋ ＋ ｚ ｚ 。 等一 等＋ 等＋
０（ 一 ５ 一 ａ ） ａ（ ）＋ ０（ 一 ５ 一 ） ． ａ（ ）
等 院 校 青 年 教 师 基 金 （２ １ ５ ． １ １０ ）
作 者 简 介 ： 锐 （９ ６） 女 ． 夏 青 铜 峡 人 。 夏 大 学 在 读 硕 士 ， 郭 １ ８一 ， 宁 宁 主要 从 事 偏 微 分 方 程 数 值 解 法 和 计 算 流 体 力 学 研
究．
第 ２期
郭 锐 等 ： 维 泊松 方 程 非 均 匀 网格 上 的 高精 度 紧致 差 分 格 式 二
目前 已有 的高精 度精致 格式几 乎 都是在 均 匀
网格 上提 出 的． 实 际问题计 算 中 ， 常遇 到待 求 在 经
物理 量如 浓度 、 度 等 急 剧 变化 或 空 间 分 布不 均 温
匀、 大梯 度 问 题 、 界层 问题 或者 局 部 奇性 问题 ， 边
ｂ ｌ＝ Ｙｏ， ｙｌ， ， ， Ｍ ｌ ｙＭ ＝ ｂ ． ｙ２ … — ， ２
解 具 有 边 界 层 的 数 值 算 例 ， 间 可 以达 到 四 阶精 度 ． 与 均 匀 网 格 上 的计 算 结 果 进 行 比 较 ， 分 验 证 了 本 文 非 空 并 充 均 匀 网格 高 精 度 紧 致 格 式 的精 确 性 和优 越 性 ． 关 键 词 ： 松 方 程 ； 均 匀 网格 ； 致 差 分 格 式 ； 精 度 ； 界层 泊 非 紧 高 边
和 可靠性 ． 为此 ， 虑如下 二 维泊 松方程 考
一
３ 磐 （ 磐 一 一， ，， ａ ｘ ０ 、 ’ ） “ ’
、 （ １ ）
其 中 ， ， Ｅ Ｅ 。（ ］ ６ ，。 ， 定 未知 函数 ｚ ｙ ａ ，２ ×［ ６］ 假 ２
（ ） ｚ， 和源项 ｆ ｘ ） （ ， 是求 解 区域上 变 量 Ｘ和 Ｙ
中 图 分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ５ ２ 文献标识码 ： Ａ
Ｏ 引 言
在偏 微 分 方程 的 格式 由于精 度 高并 且 具 有 小 的 离散 子 域 、 定 稳 性 好 、 界 条 件容 易 处 理 等 特点 越 来 越 受 到人 们 边 的重视 ． 已经发 展 了针 对泊 松 方程Ｌ 、 流扩 散 ｌ 对 ］ 方 程Ｌ 以及 涡 量一 函数 变量 Ｎ ｖ ｒＳｏ ｅ ４ ］ 流 ａ ｉ — ｔｋ ｓ方 ｅ
，
１
＋ ＡＨ ， ｌ ｌ ， 什ｌ＋
Ｙ ＋ ｓ（ ， Ｊ ｉ 一 ｎ ）
其 中 Ｎ 和 Ｍ 分 别是对 Ｘ， Ｙ区间剖 分后 的子 区间
的个 数． ， 称 作 伸缩 变换 系数 ， 来 调 节 网格 用
Ｆ ＝ Ｅ ＋ Ｈ ＋Ｋ１ ＋ Ｈ２ ＋Ｋ２ ／， ｌ ｇ３ ，． ．
代人 各类 差分 算 子 的 定 义 ， （ ７ 可 进 一 步整 理 式 １）
成 九点格 式 ， 写为
Ａｉ ｛ ， ， 』 Ｊ＋ Ａ汁 ， 斗１ １ ． Ａ ｆ ＋ ＋ ， 什ｌ ， ｌ
致 差分 格 式 ， 并通 过 数 值 实验 验 证 格 式 的精 确 性
收 稿 日期 ： Ｏ １ １ － ０ ２ ｌ － ２２ ．
基金项 目： 国家 自然 科学 基金 资 助 项 目（ １６ ０ ５ ； 育 部 科 学 技 术 研 究 重 点 项 目（ １２ ９ ； 英 东 教 育 基 金 会 高 １０１２）教 ２０ ３ ） 霍
ａｖ ． ’
（ ５ 、１ Ｖ）
等 ｘ一 Ｏ ３
用 式 （２ ～ （ ５ 代 替 式 （ ） 的三 阶和 四阶导 数 １） １） ９中
项 ， 整 理 得 并
一
笺 （ ） 一 （ Ｉ 磊 ） ． 等 ＋（一ｘ ） （ ０ ５ ） ６ ａ （ ． ）
类似 地 ， 将 （ ） ， 在点 （， ＋ １ 和 （ ，一 １ Ｊ ） Ｊ ）
一
爰 ［ ＋ 卜］ 斗 一 ・ ｔ・ ｔ Ｊ
（ ） ５
ａ 一．ｖ ｏ， … 等一丽ａ （ ． ｚｚＯ １ ０ ｘ ２ ４ ｆ ￣一 ２ ４ ）
ａ ｖ。
一
瓣４ ３￣
则 式 （ ） 进一 步写 为 ４可
＝ ． 厂
Ｏ ｘ ａＹ
一
Ｏｆ ｚ
Ａ卜Ｉ 卜１ 。 ｊ 』＋ Ａｆ一 ｆ ．１ ． 厂１＋
，
题在 一０和 ＝１ 分别 有一 个边 界层 ． 处
我们 采用 如下 变 换 函数 剖 分 求 解 区域 ［ ， ］ Ｏ １ ×［ ，］ Ｏ１ ，
ｉ ． ． ． ， 、 ２
蕾
十 ｍ Ｊ Ｉ ，
Ａ ｌ １ 汁１ ， 什
用差分 方 程 和微 分 方 程 的相 容性 ， 到 了二 维 拉 得
ｂ ＝钆 ｑ ｑ ｇ —ｑ —ｑ Ｌ代 表 ｚ 或 Ｙ Ｌ － ｍ， Ｌ ， － Ｌ 儿， ．
当且 仅 当 ｑ 一ｑ 见一 １时 ， 网格 剖 分 为 均 匀 剖分 ． 如图 １ 所示 ．
普拉 斯 方 程 和 泊 松方 程 在 非 均匀 网格 上 的 ３ ４ ～ 阶精 度 的紧 致差 分格 式． 计算 结果 显示 ， 采用 合 理 的非 均匀 网格分 布 ， 以得 到较 均 匀 网格更 为 精 可 确 的计 算 结 果．
度 紧致 （ Ｃ 格 式可 以写 为 ＨＯ ） ［ 一 一 一 Ｈ 一 Ｋ， 一
ｌ ２
甘 肃 联 合 大 学 学报 （ 自然 科 学版 ）
第２ ６卷
（ ｚ十 Ｋ ； ｆ Ｈ ｚ ） ＿ ． Ｊ
，， Ｊ
（ ７ １）
其中，
问题 ２ （ ：
） 一
， 问 该
理成 五点形 式 ， 为
将式 （ ） （ ） ２ 和 ３ 两边 分别 同时乘 以 和 血后 相 加
整 理 得
斗一 ￣ 凡 ｚ ２ 巧 ） 一２ ・ （ ＋ 巧Ｆ ｑＦ，
一
１
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根据差分算子 和 ； 的定义 ， 可将 Ｃ Ｓ Ｄ 格式整
：） ｆ ， ，
：１ ｉ ＋
％
０（ 一 ５ 一 Ｇ ） ， ａ（ ｙ ）
（） ９
其中，
（ ｌ ．） ｆ ，１ —ｊ
：・） ． ｉ １ ｉ
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圜 １ 二 维 ９ 点 ｐ 硌 禹 散 不 葸 圈 。 ｇ
将点 （＋１ 进行 泰 勒展开 为 ，）
警＋
５ １ ａ ＋ ０（ ＾ ． … ～ ‘ ～ ）
＋
本文 将 直接 利 用 泰 勒展 开 ， 非 均匀 网格 上 在
提 出一种 新 的数值 求解 二维 泊松方 程 的高精 度 紧
３等 ｚ＋ … ａ ＋４等 １ ｚ ａ ０ １
３
生
断误 差（ ） 的三阶 和 四阶导数 项也 进行 离散 ， ９中 为
此 ， 用 （ ） 得 利 １可
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．
（） １ 、２ …
ｆ… ｔ‘ｌ 、
（） ４
定义 ｚ方 向上 的二 阶 中心差分 算子 为
一
ａ 一
＝ ＝一 Ｏｘ ａ 一 — — ， ａＶ ．