平面的点法式方程

因为此平面过点 M 1，M2 ，所以
A 2C D 0 ,
①
A 2B 2C D 0 . ②
又由于所求平面与向量 a 1 , 1 , 1 平行，因此它
的法向量与 a 垂直， 即 A+B+C=0
③
解联立方程①、②、③，得 A = C，B = 2C，D = C，
所以有
Cx 2Cy Cz C 0,
消去 C ， 即为所求的平面方程为
x 2 y z 1 0.
例 5 设一平面通过 x 轴和点 M(4, 3, 1)， 试求该平面的方程.
解 因为所求平面通过 x 轴，所以可设它的方 程为
By + Cz = 0 .
④
由于点 M 在所求的平面上，因此有
3B C = 0 ，
将 C = 3B 代回方程 ④，并简化，即得所求平面方 程为
y 3z = 0
三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角，称为两平面的夹角. 设平面
1、2 的方程分别为
A1 x B1 y C1z D1 0 , A2 x B2 y C2z D2 0 .
它们的夹角为 .
cos
cos (n1 ,n2 )
n1 n2 n1 n2

A1 A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12
A22

B22

C
2 2
④
则平面1、2 垂直的充要条件是 A1A2+ B1B2 + C1C2 = 0；
平行的充要条件是
A1 B1 C1 . A2 B2 C2
将方程 ① 展开， 得
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0,
这是关于 x，y，z 的一次方程，所以平面可用 x，y，z
的一次方程来表示. 反之，任意的 x，y，z 的一次方程
Ax By Cz D 0
②
(式中 A，B，C 不全为零)有无穷多组解.
上的充要条件是
n
M0 M n ,
M
即 M0M n 0 .
M0
因为M0 M x x0 , y y0 , z z0,
n A , B ,C, 所以有
A(x x0 ) B( y y0 ) C (z z0 ) 0,
该方程称为平面 的点法式方程.
x y z 1.面的截距式方程，其中 a，b，c
分别称为在 x 轴，y 轴，z 轴上的截距.
例 4 设一平面过 M1(1, 0, 2) 和 M2(1, 2, 2)，
且与向量 a 1 , 1 , 1 平行，试求此平面的方程.
解 设所求平面的方程为 Ax + By + Cz + D = 0 .
例 1 求过点(2, 1, 1)且垂直于向量 i + 2j + 3k 的平面方程 .
解 显然，所求平面的法向量 n = i + 2j + 3k ， 又因为平面过( 2, 1, 1 )，所以由公式可得该平面方程 为
( x 2) 2( y 1) 3(z 1) 0,
即
x + 2y + 3z－7 = 0 .
例 6 求两平面 x y + 2z + 3 = 0 与 2x + y + z
5 = 0 的夹角 .
解 由公式 ④ 得 21 2
cos
12 (1)2 22 22 12 12
1, 2
所以 .
3
例 2 求过点 M1( 1, 2, 1 ), M2( 2, 3, 1 ) 且和平 面 x y + z + 1 = 0 垂直的平面方程.
解 因为点 M1 ，M2 在所求平面上，所以向量
M1M 2 1 , 1 , 2 在该平面上，且与已知平面的法向
量 n1 = 1, 1, 1垂直.
故该平面的法向量
n M1M2 n1 i jk
n1 M2
M1
1 1 2 3i j 2k
1 1 1
由于该平面过点 M1(1, 2,－1)，因此
3( x 1) ( y 2) 2(z 1) 0,
即
3x y 2z 7 0
为所求的平面的方程.
二、平面的一般方程
设 x0，y0，z0 是其中的一组解， 则有
Ax0 By0 Cz0 D 0,
用方程 ② 减去上式， 得
A( x x0 ) B ( y y0 ) C (z z0 ) 0,
这就是方程 ①，它表示过点(x0, y0, z0 )， 且以
n A, B ,C为法向量的平面，由此可知 x，y，
第一模块 向量代数与空间解析几何
第四节 平面及其方程
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
一、平面的点法式方程
设平面 过点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) , n A, B , C .
是平面 的法向量. 现在来建立平面 的方程.
在平面 上任取一点 M(x, y, z)，则点 M 在平面
因为点 M1，M2，M3 在平面上，
所以
z
Aa D 0 ,
M3 c

Bb

D

0
,
Cc D 0 ,
M2
解此方程组，可得
O M1
by
A

D ,
B


D
,
C


D
.
a x
a
b
c
代入所设的方程， 有
D x D y D z D 0, abc
消去 D ， 得
z 的一次方程 ② 都表示平面，其中系数 A，B，C 表示法向量的坐标. 方程 ② 称为平面的一般方程.
例 3 求过点 M1( a, 0, 0 )，M2( 0, b, 0 ) 和 M3(0, 0 ,
c ) 的平面方程(其中 abc 0).
解 设所求的平面方程为
Ax + By + Cz + D = 0 ( A、B、C 不全为零)，