简化解析几何运算的5个技巧

简化解析几何运算的 5个技巧
定义是导出其性质的“发源地”，解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合 思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量简化，使解题构筑在较高的 水平上.
2
［典例］如图，F i, F 2是椭圆Ci ：X4 + y 2= 1与双曲线C 2的公共焦点，A,B 分别是C i , C 2在第二、四象限的公共点•若四边形
AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )
A. 一 2 3 C-3
［方法演示］
解析：由已知，得 F i ( — 3, 0), F 2( 3, 0), 设双曲线C 2的实半轴长为a , 由椭圆及双曲线的定义和已知，
|AF i |+ AF 2|= 4,
可得 |AF 2|— |AF i |= 2a , 解得 a 2= 2,
」AF i |2+ |AF 2|2= i2,
答案：D ［解题师说］
本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立
|AF i |, |AF 21的等量关系，从而快速求出双曲线
实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量.
［应用体验］
i .抛物线y 2= 4mx(m > 0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A( — m,0)，则罟三
|PA|
的最小值为 _________ .
解析：设点P 的坐标为(X p , y p ),由抛物线的定义，知|PF|= x p + m ，又|PA|2=(X p + m)2 + y P = (x P + m)2 + 4mx P ，贝U 鷲 2=
XP ^m
=
- > - =片当且 P 'P ' P ' |PA|
X P + m 2
+ 4mx p
4mx p 4mx p 2(当旦
i
+ (XP + mf "(吋硕2 仅当x p = m 时取等
号)，所以
，所以 盟的最小值为 申.
|PA| 2 |PA| 2
B. 3
D.
故a = 2.所以双曲线
C 2的离心率e = 斗6.
答案：-2
设而不求，整体代
换
对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦 的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用“代点法”求解.
2 2
［典例］已知椭圆E ：j + b 2= 1(a > b > 0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交 AB 的中点坐标为(1,— 1),贝U E 的标准方程为( )
2 2 2
y
- = 1
27
2
—1 9
［方法演示］
解析：设 A(X 1, y 1), B(X 2, Y 2), 则 X 1+ X 2= 2, y p + y 2=— 2,
吕1 + 36 36 2
2 y
- = 1
.X D. + 18
18 B 两点.若 2
A.45+
2
X Ch
①—②得翌±2沖二空+ y l ±y L 2y l^ = 0
a
b
，
所以k AB = « —
X 1 — X 2 b(X 1 + x 2) b ； a 2(y 1 + y2) a 2
2
又
k A
B
=
出=
-，所以* 2.
又 9 = c 2= a 2— b 2, 解得 b 2= 9, a 2= 18,
2 2 所以椭圆E 的方程为% + y
= 1.
18 9 答案：D ［解题师说］
本题设出A , B 两点的坐标，却不求出
A ,
B 两点的坐标，巧妙地表达出直线
率，通过将直线 AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题.
［应用体验］
1 2 2
2.过点M(1,1)作斜率为一寸的直线与椭圆 C ： X
2+書=1(a > b >0)相交于A ,
- a b
若M 是线段AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于 ____________ .
AB 的斜
B 两点,
2
2
.y i — b __ b x i + X 2 x i — X 2 孑 y i + y 2
•••也__乎 __ i , x i + X 2_ 2, y i + y 2_ 2, X i — X 2 2
又•/ b 2_ a 2— c 2,
2
2
2
2
2
. C 2
…a _ 2(a — c ),・.a _ 2c ,• • a_"^.
即椭圆C 的离心率e _ 答案：2
巧用“根与系数的关系”，化繁
为简
某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法 来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关 系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系•后者往往计算量小，解题过程简捷.
2
［典例］已知椭圆X4 + y 2_ i 的左顶点为 A ，过A 作两条互相垂直的弦 AM ，AN 交椭圆 于M ，N 两点.
(1) 当直线AM 的斜率为i 时，求点M 的坐标；
(2) 当直线AM 的斜率变化时，直线 MN 是否过X 轴上的一定点？若过定点，请给出证 明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由.
［方法演示］
解：⑴直线AM 的斜率为i 时，直线 AM 的方程为y _ x + 2,代入椭圆方程并化简得 5x + i6x + i2_ 0.
解得 X i _— 2, X 2_— 5，所以 M — 5, 4 .
⑵设直线AM 的斜率为k ,直线AM 的方程为y _ k(x + 2),
解析:
2 2
欝 b 2
=1, 设 A (X 1, y i ), B(X 2, y 2),贝y 2 2
1爭+ b 2= 1
,
b 2
2，.・.a 2_ 2b 2.
0,
化简得(1 + 4k 2)x 2+ 16k 2x + 16k 2-4 = 0. 2 —16k 2
贝V X A + X M = 2,
1 + 4k '
2 2 2
16k
- 16k 2— 8k
X M — — X A
2 = 2 —
2 =
・
M
A 1 + 4k 1 + 4k 1+ 4k
由(1)知若存在定点，则此点必为 P — 5, 0 .
证明如下:
所以直线 MN 过x 轴上的一定点P — 6, 0 . ［解题师说］
2 一 8 k 2
本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出
X M =
2,这体现了整体思路.这是解
1 + 4k
决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量.
x 2 y 2 1
C :孑+ b 2= 1(a > b >0)的离心率为2，且经过点
别为F 1, F 2.
(1)求椭圆C 的方程；
⑵过F 1的直线I 与椭圆C 相交于A , B 两点，若△ AF 2B 的内切圆半径为 乎，求以 F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程.
解：(1)由 C =1，得 a = 2c ,所以 a 2= 4c 2, b 2= 3c 2,
a 2 将点P 1,3的坐标代入椭圆方程得c 2= 1,
2 2
故所求椭圆方程为x +y = 1.
联立方程$x 2
a
y= k (x + 2 ,
同理，可得
2k 2— 8 k 2+ 4.
因为k MP
y M
2 — 8k 2
k
1+ 4k 2
+
2
2 =
2 — 8k 6
5k 2
4—
同理可计算得k pN 5k 4— 4k 2.
［应用体验］
P 1, 2，左、右焦点分
4 3
⑵由(1)可知F1( —1,0)，设直线l的方程为x= ty—1,
代入椭圆方程，整理得（4+ 3t 2）y 2 — 6ty — 9 = 0,
显然判别式大于0恒成立， 设 A(x i , y i )，B (X 2, y 2),A AF 2B 的内切圆半径为 r o , 则有 y i +y 2= 4+3?, y i y 2= 4+3^, r o =攀， 1 1 _________________________ 2 ____
所以 S A AF 2B = S A AF 1F 2+ S △ BF I F 2= ?|F i F 2||y i — y 2|= Q|F i F 2| : y i + y 2 2— 4y 『2 = 12 t 2+ 1 4 + 3t 2 . 111 而 S A AF 2B = 2|AB|r o + ^BF 2|r o + Q |AF 2|r o 1 =2"(|AB|+ |BF 2| + |AF 2|)
1
=尹(|AF i |+ |BF i | + |BF 2|+ |AF 2|)
=嘉细=1x 8X
蛙,
2r0 4a 2 7
7 ，
所以
1
^+t 3+
1 =
雯7三解得t2
=
i ,
因为所求圆与直线i 相切，所以半径 所以所求圆的方程为（x — 1）2+ y 2= 2.
r
= — t"+ 1 = 2，
利用曲线系解题，往往简捷明快，事半功倍，所以灵活运用曲线是解析几何中重要的 解题方法和技巧之一. 2 2
［典例］已知双曲线X "— b "= 1（a >0, b >0）的一条渐近线方程是 y = 3x ，它的一个焦点 在抛物线y 2= 24x 的准线上，则双曲线的方程为 （ ） x = 1 — y "36 108 9 27 2 2 2 2
x -y = 1 x D.- y "108 36 27 9 2 2 2 2 =1 =1 C
A 2 2
［方法演示］
解析：由双曲线X 2 —着=1（a > 0，b > 0）的一条渐近线方程是
y = 3x ，可设双曲线的方
a b
2
程为 X 2-: =e 0).
因为双曲线 2 2
j — b "= 1（a >0，b >0）的一个焦点在抛物线
y 2= 24x 的准线上,
所以F( — 6,0)是双曲线的左焦点，即
H 3入=36, X= 9,
2 2
所以双曲线的方程为x —y = i.
9 27 答案：B ［解题师说］
本题利用了共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到解决•避免了复杂的判断、可 能的分类讨论、繁杂的解方程组，事半功倍.
［应用体验］
4.圆心在直线 x — y — 4= 0上，且经过两圆 x 2+ y 2 + 6x — 4= 0和x 2+ y 2 + 6y — 28= 0的 交点的圆的方程为(
)
2 2
A. x + y — x + 7y — 32= 0
B. x 2+ y 2— x + 7y — 16= 0
C. x 2 + y — 4x + 4y + 9= 0
2 2
D. x + y — 4x + 4y — 8= 0
解析：选A 设经过两圆的交点的圆的方程为 x 2 + y 2 + 6x — 4 + ?(x 2 + y 2 + 6y — 28) = 0,
x
— y
—
4
= 0 上，所以—
&
芒—4
= 0
，
故所求圆的方程为 x 2+ y 2
— x + 7y — 32 = 0.
巧引参数，方便运
换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利 用换元引
参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事 半功倍.
常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等.在换元过程中，还要 注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件.
2 2
［典例］设椭圆?+器=1(a > b > 0)的左、右顶点分别为 A ,B ，点P 在椭圆上且异于 A , B 两点，O 为坐标原点.若|AP|=|OA|,证明直线 OP 的斜率k 满足|k|>.3.
［方法演示］
证明：法一：依题意，直线 OP 的方程为y = kx ,设点P 的坐标为(x 0, y 0).
即x2+y 2
+
总+
4 + 28 入 0 1+入
其圆心坐标为
3 — _3X )
1 + X
—
1+
又圆心在直线
解得入=—7,
y °= kx 。

，
2 2
X 0 y 0
-2+"2= 1 ,
、a b '
a 2
b 2 消去y0并整理，得x0= kV +b 2
•① 由|AP|=|OA|, A(-a,0)及 y o = kx °, 得(x °+ a)2+ k 2x 0 = a 2, 整理得(1 + k 2)x 0+ 2ax o = 0.
—2a
而 0，于是 X 0=
2, 1+ k '
即 bsin 0— ak AQ cos 0= 2ak AQ .
从而可得 |2ak AQ |< b 2+ a 2k AQ V a . 1+ k ：Q , 解得 Ik AQ |v (,故 |k|=七>•, 3.
3 |k AQ | ［解题师说］
求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量.
由条件，得5 代入①，整理得(1 + k 2)2 = 4k 2 4.
又 a > b > 0,故(1 + k 2)2> 4k 2 + 4, 即 k 2+ 1 >4,因此 k 2>3，所以 |k|> 3.
法二：依题意，直线 OP 的方程为y = kx ,可设点P 的坐标为(X 0, kx 0). 2 2 2 由点
P 在椭圆上，得爭+ k b x
°=1.
2 2 2
因为a > b > 0, W 0，所以爭+学V 1, 即(1 + k 2)x 0v a 2.②
由 |AP|= |OA|及 A( - a,0)，得(x °+ a)2 + 般=a 2,
2 2
— 2a
整理得
(1
+
k)x0
+
2ax0
= 0
,
于是 X o = 1+2，
4a 2
代入②，得(1 + k 2) •丄2 2V a 2,
(1+ k ) 解得k 2>3，所以|k|> ,3.
法三：设 P(acos 0, bsin 0)(0 < 0V 2 n) 则线段OP 的中点Q 的坐标为 geos 0, fsin 0 ；
|AP|= |OA|? AQ 丄OP ? k AQ x k =— 1. 又 A(— a,0),所以 k AQ =
bsin 0 2a + acos 0’
［应用体验］
2 2
5. （2018长春质检）椭圆予+ b 2= l （a > b > 0）的左、右焦点分别为F i , F ?,且离心率为j, 点P 为椭圆上一动点，△ F 1PF 2面积的最大值为
3.
（1）
求椭圆的方程；
⑵设椭圆的左顶点为 A i ,过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于 A , B 两点，连接 A i A , > > A i B 并延长分别交直线 x = 4于R , Q 两点，问RF 2 QF 2是否为定值？若是，求出此定值； 若不是，请说明理由.
1
解：（1）已知椭圆的离心率为 $不妨设c = t , a = 2t , 则b = 3t ,其中t >0,
当厶F 1PF 2面积取最大值时，点 P 为短轴端点， 1
因此 2 2t - 3t = 3,解得 t = 1, 2 2 则椭圆的方程为―+ y
= 1.
4 3
（2） 由（1）可知 F 2（1,0）, A 1（ - 2,0）.设直线 AB 的方程为 x = my + 1, A （x 1,浙），B （x 2, Y 2）,
x = my + 1, 联立x 2 y 2
—+ y = 1,
4
3
—9
y1y2
= 4+乔，②
直线AA 1的方程为y =
2（x + 2）,
直线BA 1的方程为y = x + 2（x + 2）,
-- > - >
将①②两式代入上式，整理得 F 2R F 2Q = 0,
-- > -- >
即F 2R F 2Q 为定值0.
可得(3m 2+ 4)y 2 + 6my - 9= 0,
则『1+y 2=
—6m
4 + 3m 2, 4, 6y 2
26y 1 6y 2 X 1+ 2 X 2+ 2
-6y — ^6y ^ + 9 = my 1 + 3 my 2 + 3 —36y y2 + 9 m y 1y 2 + 3m y 1 + y ? + 9
黔，Q
-- >
F 2R =
6y 1
X 1+ 2， -- > F 2Q =
［升级增分训练］
1设0为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线 y 2= 2px （p >0）上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且|PM|= 2|MF|,则直线 0M 的斜率的最大值为（
）
A.
解析：选C 如图所示，
设 P （X o , y o ）（y o >0），贝y y 0= 2px o ,
2
也 2p.
设 M(x ' , y ')，由"P M T = 2M F ,
・'_ p + x o = 3 化简可得
I ,
y o y
= 3.
•••直线OM 的斜率为
号）•
2 2 2.设双曲线x + y
= 1的一条渐近线为y =— 2x ,且一个焦点与抛物线 y = 1x 2的焦点相
a b 4 同，则此双曲线的方程为 （
）
A^x 2- 5y 2 = 1
B . 5y 2— 5x 2= 1
4
4 亠
2
5 2 A
-52
_ 2 _
C • 5x
—
^y = 1
D.；y
—
5x
= 1
解析：选D 因为x 2= 4y 的焦点为（0,1）, 所以双曲线的焦点在 y 轴上.
因为双曲线的一条渐近线为 y =— 2x , 所以设双曲线的方程为 y 2— 4x 2= 2 0）,
C. _2 T
X o =
y 0 冬22加子（当且仅当 y 0=, 2p 时取等
—y o = 2 0 — y ',
3
y 0
k = p + X0 , Y0 寸 p + 2p
2 2
即y
— x = 1,贝V X+—= 1, x= 4, 入」 4 5
4
所以双曲线的方程为 ^2— 5x 2= 1.
2 2
3.已知双曲线
x2
-
b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点分别为 F 1(—
c , 0), F 2(C ,0), P 为双
值范围为( )
-- > -- >
则 PF 1 PF 2= (— c — X 。

，一 y °) (c — X 0,— y 。

) —c 2 + y 0= a 2 1 + b 2 — c 2 + y 2, 上式当y 0= 0时取得最小值a 2— c 2, 根据已知一3c 2w a 2— c 2w —茲2,
4 2
所以需三 a 2w ^c 2，即 2< C 2< 4,即 2 w C w 2,
4 2 a ' " a 所以所求离心率的取值范围是 r.2, 2]. y 2= 2px(p > 0)的焦点F ，斜率为f 的直线交抛物线于 A , B 两点，若AF =
入FB ( A> 1)，
则
入的值为( )
B . 4
D.；
根据题意设 A(X i , y i ), B(X 2, y 2),
-- >
-- >
p
由 AF =入FB ，得 2 — x i ,—
y
i =
故一y i =入 y 即 — ^.
y 2
联立直线与抛物线方程，消去
x ,得y 2-；py — p 2= 0.
3
2
故 y i + y 2= ^p , y i y 2
=—
p ,
- > -- >
曲线上任一点，且 PF ! PF 2最小值的取值范围是
3 2
-
4c
，
1 2
—2C
，则该双曲线的离心率的取
A . (1， 2] C . (0, 2]
解析：选B 设P(x o , y o ), B . [2, 2]
[2,+^
4.过抛物线
C"4 解析：选B X 2-
p
,
设直线AB 的方程为y = 4
x -
2 则上±生=y 1+ y 2+ 2 =_ 9
, y i y 2
y 2
y i
4
1 9
即—匚 1± 2=— 9.
入 4 又X>1,解得X= 4.
5.设直线l 与抛物线y 2= 4x 相交于A , B 两点，与圆(x — 5)2+ y 2= r 2(r>0)相切于点M , 且M 为线段AB 的中点.若这样的直线
I 恰有4条，则r 的取值范围是(
)
A . (1,3)
B . (1,4)
C . (2,3)
D . (2,4)
解析：选 D 设 A
y i , B 巻，y 2 , M yi ；y2, y i ；y2, C(5,0)为圆心，当 y i ^ — y ?
时，k AB = __ 4 -， k cM = y 2±y 2_ 40，由 k AB k cM =
—
1
? Y i ± y 2= 24,所以 M3,
y i ± y 2 宁，又r 2
气上 2= 10 + 1y i y 2，所以(2r 2— 20)2= y 1y 2,所以 y i , y 2是方程
—20)2 = 0的两个不同的正根，由
=|CM|2
= 4 ±
t 2— 24t ± (2r 2
6.中心为原点，一个焦点为 为1，则该椭圆方程为(
)
2 2
2x 红 ’ A + = 1 A.
75 25
2 2 临+ 75=1
△> 0得2v r v 4.所以r 的取值范围是(2,4).
F(0,5 2)的椭圆，截直线 y = 3x — 2所得弦中点的横坐标
2 2
x y 丄
B.
75± 25= 1 2 2
r 2x 2y “ D. ± = 1
解析：选C 由已知得c = 5 2, 2 2
设椭圆的方程为¥
+ y 2= 1 ,
a — 50 a
< 2 2
宀+鼻1,
联立a —50 a
y = 3x — 2,
消去 y 得(10a 2— 450)x 2— 12(a 2 50)x ± 4(a 2— 50) — a 2(a 2— 50)= 0，设直线 y = 3x — 2 与
椭圆的交点坐标分别为(X i , y i ),(X 2, y 2),
2 由根与系数关系得 X i + X 2= 12
号 50,
10a — 450
由题意知x i ± X 2= 1,即12鸟—駕=1,解得a 2= 75,
10a — 450
2 2
所以该椭圆方程为土 ± = 1.
75 25
2
7•已知双曲线 C :》一y 2
= 1，点M 的坐标为(0,1).设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P
关于原点的对称点.记
X=MP M Q ，贝U 入的取值范围是 _________ .
解析：设 P(X o , y °),则 Q( — x o ,— y °), U MP MQ = (x
o ,
y
o
—
1) (
— x
o
,— y
o
— 1)=—
x
()
—
y
0 +
1
= —
3x
0 + 2.
因为|:
X °|A 2，所以疋—1, 所以 入的取值范围是（一a,— 1]. 答案：（ — a, — 1]
8.已知AB 为圆x 2 + y 2= 1的一条直径，点P 为直线x — y + 2 = 0上任意一点，则PA -PB 的最小值为 _________________ .
解析： 由题意，设 A(cos 0, sin 0, P(x , x + 2),
则 B(— cos 0, — sin 0,
PA = (cos 0— x , sin 0— x — 2),
--- >
PB = (— cos 0—x ,— sin 0— x — 2),
••• PA -B > = (cos 0— x)( — cos 0— x) + (sin 0— x — 2) (•— sin 0— x — 2)
2 2 2 2
=x 2
+ (x + 2)2— cos 2 0— sin 20
=2x 2 + 4x + 3 =2(x + 1)2+ 1,
当且仅当x =— 1，即P （ — 1, 1）时，^PB 取最小值1. 答案：1
9.设抛物线^= 2Pt2,
（t 为参数，p >0）的焦点为F ，准线为l •过抛物线上一点A 作l
y = 2pt
的垂线，垂足为 B.设C 2p , 0 , AF 与BC 相交于点E.若|CF|= 2|AF|,且厶ACE 的面积为 3辺，贝U p 的值为 _______
”、L , x = 2pt ,
2
解析：由〈
(p >0)消去t 可得抛物线方程为 y 2= 2px(p >
y = 2pt
0),.・.F p 0 , |AB|= |AF| =》CF|=；p ,可得 A(p ,
2p).
易知△ AEBFEC , • |AEJ = |ABJ = 1 "|FE| |FC| 2,
故 S ^ACE = 3S ^ACF = ] 3p X 2p X t = -y p 2= 3,2, • - p 2= 6. T p > 0,「. p =、：：[6
直线与椭圆交于 A , B 两点，|AB|= 233.
3
(1) 求此椭圆的方程；
(2) 已知直线y = kx + 2与椭圆交于 C,D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点 E( — 1,0), 求k 的值.
解：(1)设焦距为 2C ,T e = C =76, a 2= b 2 + c 2,
a 3 二
b =¥.由题意可知b
=^, a 3 a 3
b = 1, a = ...f 3,
2
椭圆的方程为x +y = 1. ⑵将y = kx + 2代入椭圆方程， 得(1 + 3k 2)x 2 + 12kx + 9= 0, 又直线与椭圆有两个交点，
所以△= (12k)2— 36(1 + 3k 2)>0,解得 k 2> 1. 设 C(X 1, y 1), D(X 2, y 2),
10.已知离心率为
1(a > b > 0)的一个焦点为 F ，过F 且与x 轴垂直的
则 x 1+ x 2=—
12k 1 + 3k ' X 1X 2 = 9
. 1+ 3k
若以CD 为直径的圆过E 点, 则巨？击=0,
即(X 1+ 1)(x 2+ 1) + y 1y 2= 0,
而 y 1y 2= (kx 1 + 2)(kx 2+ 2) = k X 1X 2+ 2kg + x ?)+ 4, 所以(X 1 + 1)(X 2 + 1) + y 1 y 2
9
=(k + 1)X 1X 2+ (2k + 1)(X 1+ X 2) + 5 2
9 k + 1 12k 2k + 1
1 + 3k 2
—
1 + 3k 2
+ 5= 0,
解得k =6,满足『>1.
11.平面直角坐标系
2 2
xOy 中，椭圆C : j+ *= 1(a > b >0)的离心
率是23,抛物线E : X 2= 2y 的焦点F 是C 的一个顶点.
(1)求椭圆C 的方程;
\
Y
1
1
*
(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线I 与C 交于不同的两点 A , B ,线段AB 的中点为D.直线0D 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点 M.求证：点M 在定直 线上.
可得 a 2= 4b 2.
因为抛物线E 的焦点为F 0, 1 , 所以 b = 2, a = 1.
所以椭圆C 的方程为x 2+ 4y 2= 1.
由x 2
= 2y ,可得y '
2
即y = mx —号. x 2 + 4y 2= 1, 联立方程] m !
y = mx — ,
得(4m 2+ 1)x 2— 4m 3x + m 4— 1 = 0. 由△> 0,得 0 v m 2v 2 + 5.(*) 由根与系数的关系得x1 + X 2 = 4^ , 因此x o =謠.
2
将其代入y =
mx
—
殳，得y o = 24m 2+ 1 .
因为x o =-
盍,
[y=— +
联立方程$
4m
主=m,
解: (1)由题意知亠于匕=-23,
所以直线I 的斜率为 m.
因此直线I 的方程为 2
y —m2 = m(x —
m), 设 A(x i , y i ), B(x 2,
y 2), D (X O , y o ),
—m 2
所以直线OD 的方程为y =—
丄
4m x
⑵证明：设Pm ,
> 0) •
=x ,
1 得点M的纵坐标y M=—-,
4
1
所以点M在定直线y=—1上.
4
12.已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C,其上一点P到两个焦点F i, 之和为4，离心率为-^3.
(1)求椭圆C的方程;
2
X
b2= 1(a> b>0),
由题意可知2a= 4, C=_2，又『+圧=c2,
解得 a = 2 , c= 3 , b= 1 ,
2
故椭圆C的方程为y+ x2= 1.
4
(2)设A(X1 , y1), B(X2 , y2),
设厶OAB的面积为S ,
由X1X2=—命v 0 ,
1 1
知S= 2(|X1|+ |X2|)= ?X1—x2|
=丹01 + X2$—4X1X2 = 2寸井
令k2+ 3 = t,知t> 3 ,
1
••• y= t+十在t€ [3 , + a)上单调递增,F2的距离
⑵若直线y= kx +1与曲线C交于A, B两点，求△ OAB面积的取值范围.
r 2
X2+ 1 ,
4
由$
■y= kx+
1
得(k2+ 4)x2+ 2kx—3= 0 ,故X1+ X2= —
2k 4，X1X2= —
3
对函数y= t+ 3),知y'
1 t2
—
1
=1—¥=t? >0 ,
解：(1)设椭圆的标准方程为
2 a
<呉歩••• ov—1■丁16，0
t+1 + 2
故厶OAB面积的取值范围是Jo，炉.。