图形学 第四章图形变换

第四章 图形变换

图形变换是计算机图形学的基础内容之一。图形在计算机上的显示可以比喻为用假想的照相机对物体进行拍照，并将产生的照片贴在显示屏上的指定位置进行观察的过程。三维物体要在屏幕上显示首先要做的就是投影变换。此外，还要求能够对物体进行旋转、缩放、平移变换。绘图过程还要用窗口规定显示物体的哪个部分，用视区来规定将窗口中的内容显示在屏幕上的什么位置。图形显示的过程见下图。

图4.1 图形显示的坐标变换过程

在本章中，我们将实现二维图形的几何变换、三维图形的投影变换，以及对图形进行裁剪的算法。

4.1变换的数学基础

在计算机图形学的图形变换过程中要大量的用到向量、矩阵以及它们之间的运算。本小节对这些知识做简要介绍。

一、向量及向量运算

一个物理量，如果我们只关心其数值的大小（例如物体的质量、体积、密度），则这样的量统称为标量，如果我们既关心其数值大小，还关心其方向（如速度），则这样的两统称为向量。标量一般用普通字体的英文字母显示，而向量一般用黑体英文字母显示。

设向量111(,,)x y z a ，222(,,)x y z b ，有关的向量运算有： （1） 两个向量的和、差运算

121212(,,)x x y y z z ±=±±±a b

（2） 两个向量的点乘运算

112233x y x y x y =++ a b

（3） 两个向量的叉乘运算

1

111221122112212

2

2

(,,)x y z y z y z z x z x x y x y x y z ⨯==---i

j k

a b （4） 向量的长度

||==a

二、矩阵及矩阵运算

由m n ⨯个数(1,2,,;1,2,,)ij a i m j n == 排成矩形表：

11

121212221

2n n

m m mn

a a a a a a a a a =

A

或简记成()ij mn a =A 或()ij m n a ⨯=A ，称为一个m 行n 列的矩阵，简称m n ⨯矩阵，ij a 叫做第i 行第j 列元素。当m n =时，A 叫做n 阶方针，此时元素(1,2,,)ii a i n = 称为主对角线元素。

只有一行的矩阵11121(,,,)n a a a 称为行向量，只有一列的矩阵11211m a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

称为列向量。

有关矩阵的运算有 （1） 数乘矩阵

用标量t 乘A 的每一个元素而得的矩阵称为t 与A 的乘积，记为：t A

11

1212122212n n

m m mn

ta ta ta ta ta ta t ta ta ta =

A

（2） 矩阵的加法运算

设有两个m n ⨯矩阵A ，B ，将它们对应元素相加而得到的矩阵称为A 与B 的和，记为A +B

1111

1212112121

2222

2211

22n n

n n

m m m m mn mn

a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++=

+++A +B

（3） 矩阵的乘法运算

设有矩阵23()ij a ⨯=A ，32()ij b ⨯=B ，则此二矩阵相乘的积为矩阵C ：

111112211331111212221332211122212331211222222332a b a b a b

a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++⎛⎫= ⎪++++⎝⎭

C A B

可见，只有A 的列数等于B 的行数的时候，A B 才有意义。 矩阵运算有如下基本性质

（1） 数乘矩阵适合分配律和结合律

()t t t +=+A B A B ()t t =A B A B

1212()t t t t +=+A A A

1212()()t t t t =A A

（2） 矩阵加法适合结合律

+=+A B B A

()+=A B +C A +B +C

（3） 矩阵乘法对加法适合分配律

()()A B C =A B C

（4） 矩阵乘法不适合交换律，因为当两个矩阵A ，B 能够相乘时，B 与A 却未必能够相乘，即使A ，

B 都是方阵，A B 与B A 也未必相等。

()+=A B C A C+B C ()+=C A B C A +C B

在图形变换中还有用到如下的概念：

（1） 零矩阵及其运算

矩阵的所有元素均为零的矩阵称为零矩阵。一个m 行n 列的零矩阵记为m n ⨯0，对于任意的矩阵m n ⨯A 都与下式成立：

m n m n m n ⨯⨯⨯+=A 0A

（2） 单位矩阵

在一个方阵中，如果其主对角线元素全是1，而其余元素都是0，则称这样的矩阵为单位矩阵，记为n I 。对任意矩阵m n ⨯A ，有下式成立：

m n n m n ⨯⨯=A I A m m n m n ⨯⨯=I A A

（3） 逆矩阵

对于方阵A ，若存在矩阵B ，使得A B =I

，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆，记为-1

A （4） 转置矩阵

将()ij m n a ⨯=A 的行、列互换而得到的n m ⨯矩阵，称为A 的转置矩阵，记为T

A 。矩阵的转置有如下的性质：

()=T T A A

()=+T T T A +B A B

()t t =T T A A