非对称双连通区域Laplace问题的处理

对于内圆为冲头，外圆为板材外边界，则问题转化为双连通区域的Laplace 方程的解的问题，以内圆圆心为原点建立二维笛卡尔坐标系，当外圆圆心00(,)x y 不在原点时，则问题为非对称的双连通区域的Laplace 问题，解析解无法表示精确表示出来，用有限差分法的时候，由于[0,2]θπ∈的闭区间，无法正确定义边界条件，所以采用基本解的方法来求解。 内圆方程为

2221x y r +=

外圆方程为

222222()()x x y y r -+-=

设2

Ω⊂R 是二者围成的圆环区域，0Γ和1Γ分别是Ω的边界，即：0

1∂Ω=ΓΓ且

01ΓΓ=∅，则根据前面的推导可知

0W ∆=

Ω上Laplace 方程的问题是：

010||W W f W g

ΓΓ⎧∆=⎪

=⎨⎪

=⎩

其中f 和g 分别是内外边界上的Dirichlet 数据，在本问题中，由于忽略冲头接触部分的弹性变形，而且板边缘固定无位移，所以f d =-，0g =。 拉普拉斯方程的基本解形式为

1

ln |P Q |,2,2(,)1,3,

4||

d G P Q d P Q π

π⎧-=⎪⎪=⎨⎪-=-⎪⎩

P 和Q 是d R 空间内的点，||P Q -代表d R 空间内的欧几里得距离。

由基本解的思想，近似解()s n u P 可以用下面的线性组合表示：

1

()(,)s

s n n j j i u P G P Q λ==∑

其中1{Q }s n j j =是在求解域Ω外的假想边界上分布的点，1{}s n

j j λ=是待确定的未知系数。 对于多连通区域来说，用基本解方法时有些资源点应位于洞内。所以我们在内边界0Γ的内

部和外边界1Γ的外部分别选取m 个和n 个资源点{}m n Q +，在内边界0Γ和外边界1Γ上分别选取k 个和l 个配点，设要求的解为

1

()(,)m n

j j j u P G P Q λ+==∑

则由边界条件可得

b G G λ=

其中

[(,)]t j G G P Q = 1,2,...,;1,2,...,t k l j m n =+=+

()()i b k s f P G g P +⎛⎫= ⎪⎝

⎭1,2,...,;1,2,...,i k s l ==

解出λ，代入原方程即可得到满足0W ∆=在Ω上的解。

最速下降法求非对称情况下n 面为曲面时的空间轨迹 函数为

1

(,)(,,)m n

j j j u x y G x y Q λ+==∑

则函数的梯度为

1

1

(,,)

(,,)

(,)(,)m n

m n

j j j

j

j j G x y Q G x y Q u x y x

y

λλ++==∂∂∇=∂∂∑∑

选择冲头边缘的一点作为初始点，按照梯度的方向更新自变量。若第k 次迭代的坐标点为

()()(,)k k x y ，则下一个迭代点的坐标(1)(1)(,)k k x y ++可由下式求出：

()()(1)

()

1(,,)

k k m n

j k k j

j G x y Q x

x

x αλ++=∂=-∂∑

()()(1)()1

(,,)

k k m n j k k j

j G x y Q y y y

αλ++=∂=-∂∑

其中α为步长，表示每次迭代自变量变化的大小

一直按照上式更新自变量，直到坐标点到达圆板的边界区域，将得到的坐标点连成线，即得到了n 面在空间的投影。

t 为单位向量且为b 和n 的双法线，必过n 线围成的圆的圆心

坐标原点O ，n 线围成的圆的圆心为(,)O x y '''，(,)P x y 为n 线围成的圆上的任意一点，则

%O P OP OO O P O P ''''

-===''t

u u ∂⋅∇=

∂t t

%1

(,,)

(,,)

[

()(m n

j j j j G x y Q G x y Q u x x y y x

y

λ+=∂∂''⋅∇=

-+

-∂∂∑t

对于同一条n 线围成的圆上的任意一点，挠度均相等，tan u θ=⋅∇t 对于曲面上一点，法向矢量为(,,1)u u

x y

∂∂'=-

-∂∂B ，与b 轴正向夹角为θ，则有

cos θ=

则2

tan θ= 应变21

ln[1()]2

t b u εε=-=

+⋅∇t %则对于圆上的所有点满足(,)(,)p p p p p p u x y u x y '''⋅∇=⋅∇t t

P 和P '是n 圆上的不同点

%24(,)p p p n

F kT

uds kT O P u x y π'=⋅∇=⋅∇⎰

t t

%1

(,,)

(,,)

4[

()()]m n p p j p p j j p p j G x y Q G x y Q F kT x x y y x

y

πλ+=∂∂''=-+

-∂∂∑