结构力学 结构动力计算

Y st yt mg yt
⑶质点沿水平方向振动时，水平总线位移 Y yt
§10—2
运动方程为：
单自由度体系的自由振1 动
k
m
mY kY W 0
st
y(t)
Y(t)
因为 Y (t) st y(t) Y (t) y(t) -kY -mY
所以 my k[ y(t) st ] W
⑵阻尼力与质点速度平方成正比，固体在流体中运动受到的阻力。
⑶阻尼力与质点的速度无关，摩擦力属于此类。
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
关于阻尼力的理论很多，为计算方便我们选用粘滞阻尼理论。
理论假定：阻尼力的大小与质点的运动速度成正比，方向与质 点的 运动速度方向相反。即：
R
cv
c
dy dt
w
又 k st kW W
my ky(t) W W
my ky(t) 0
§10—2 单自由度体系的自由振动
可见，重力对动位移y (t ) 的运动方程无影响。 质量围绕静力平衡位置进行振动。
aa
a a
W mymax
l m
ymax st a (W mymax)
st
a
ymax
Mmax (W mymax)l
§10—2 单自由度体系的自由振动
单自由度体系的动力分析虽简单但很重要体现在两个方面：
⑴很多实际动力学问题，可按单自由度体系进行分析和计算，而所 得结果基本上能反映其实际的动力特点。
⑵单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力分析的基础。
一、振动模型的建立
对于各种单自由度体系的振动，都可以用一个弹簧质块模型的振动来描述， 因为它们有相同的运动规律和运动微分方程。
2. 质量越大，周期越大； 刚度越大，周期越小。
3. 固有频率和自振周期是结构本身所固有的动力特能。
§10—2 单自由度体系的自由振动
➢ 忽略质体的转角变形θ， 即把“质体”视为质点。
➢ 一般情况下忽略杆件的轴 向变形。
➢ 简化的质点数越多，其误 差相对越小，精度越高， 但自由度增加，计算就越 复杂。
m L
1
2
0.5mL
0.5mL
简化为2个质点
1
2
3
0.25mL 0.5mL
0.25mL
简化为3个质点
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
*要确定具有若干个集中质点体系的自由度数时，则需对质 点施加链杆约束，限制所有质点的位移。使整个体系完全 不能动，所施加的链杆数就是体系的自由度数。
2个自由度
1个自由度
2个自由度
4个自由度
2个自由度
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
注意：体系中集中质量的个数不一定等于体系振动的自由度 数，自由度数目与计算假定有关，而与集中质量数目和超静 定次数无关。
k
y
ky
m
2. （柔度法）列位移方程 以t时刻系统整体为研究对象
受力：惯性力： I my
则：m的位移： y I my
my
my
y m
1 k
§10—2 单自由度体系的自由振动
说明：
⑴对于实际的线弹性结构只需求出质点沿位移方向的刚度 系数和柔度系数直接套用上述结果。
⑵对于单自由度体系的竖向振动问题，若以重力平衡位置 为坐标原点建立坐标系，则运动微分方程与水平振动的 微分方程相同，若求竖向总线位移
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
⑸基本概念 ①自由振动：结构受到某种外界因素干扰而发生振动，在此后的振动过程
中不再受到外界干扰力的作用，结构此种无干扰的自由自在的振动称自 由振动。 ②自振频率：自由振动时结构上各质点每秒钟振动的次数。记作：“ f ” ③自振周期：自由振动时结构上各质点振动一次所用时间。记作：“ T ” ④固有频率：自由振动时结构上各质点2π时间内振动的次数。（圆频率）
y0
cost
自由振动的组成： 一部分由初始位移y0引起的；
另一部分由初始速度v0引起的。
方程的解也可以写成：
y(t) a sin(t )
根据初始条件可解得：
a y 2 v02
0
2
tg 1 y0
v0
§10—2 单自由度体系的自由振动
四、结构的自振特性
①由方程的解： y(t) a sin(t ) 知 位移按简谐规律振动是周期函数；
①结构材料内部的摩擦阻力。②周围介质对振动的阻力。
③支座、结点等构件联接处的摩擦力。④地基、土等的内摩擦力。
为了能反映振动过程中的能量损耗，在建立运动方程时必须引入造成能量损耗的 力—阻尼力。阻尼力对质点运动起阻碍作用，方向与质点的速度方向相反，数 值上与质点的速度的关系有如下不同情况：
⑴阻尼力与质点速度成正比这种阻尼力称粘滞阻尼力。相应的理论称伏伊特理论。
y
m
δ
k
y δk
前者质点所受弹性恢复力 由弹性结构提供
m 后者质块的振动，弹性恢
复力由弹簧提供
§10—2 单自由度体系的自由振动
其中 k—弹簧的刚度系数。（弹簧伸缩单位长度所产生的力。） k=1/δ δ—弹簧的柔度系数。（单位静力作用下弹簧伸缩的长度。）
对于线弹性结构的刚度系数和柔度系数： k—质点沿位移方向发生单位位移，所需施加在质点上的沿位移方向的力。 δ—质点在单位力作用下沿位移方向产生的位移。 二者分别称作质点沿位移方向的刚度系数和柔度系数。
记作：“ω” ω=2πf ⑤强迫振动：结构振动过程中始终受到外部干扰力作用。 *本章只讨论杆系结构在线弹性范围内微幅振动的动力计算问题。
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
二、动力荷载的种类
（1）简谐性周期荷载 指随时间按正弦或余弦规律改变大小和方向的周期性荷载。
Ex： FP (t) FP sin t FP (t )
δ
P=1
m
L
EI
11
l3 3EI
1
k
m
L EI
k11
k
3EI l3
§10—2 单自由度体系的自由振动
二、单自由度体系的自由振动微分方程
1. （刚度法）建立动力平衡方程
k
y m
以 t 时刻质块m为研究对象
y
受力：弹性力：-ky，与位移方向相反；
惯性力： my 与加速度方向相反；
根据达朗伯原理： my ky 0
自由度数5
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
此外确定自由度的方法还有
四、振动的衰减；阻尼力
广义坐标法（能量法解题） 有限元法 （矩阵法解题）
一般的结构受到干扰引起的自由振动，会随时间的增加其振幅逐渐减小以致为零， 此现象称自由振动的衰减。振幅随时间减小意味着在振动过程中有能量损耗，
引起能量损耗的原因有多种：
②静力计算中结构的内力和位移只依赖于静力荷载。
动力计算中，结构中的质量产生了加速度而具有惯性力的作用， 它对结构的内力和位移有着重要影响。
⑷动力计算的研究内容
①掌握强迫振动时的动力反应的计算原理和计算方法，确定它们 随时间的变化规律，求出它们的极值，作为结构的设计依据。
②计算结构的固有动力特性：固有频率和固有振型。
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
⑷非随机荷载 （确定性荷载） 荷载的变化规律可完全确定，可用确定的函数表示的荷载。 *动静荷载的区别：看能否将荷载作用引起的惯性力忽略掉。
三、动力计算中体系的自由度
动力计算中结构将产生弹性变形，其上的质点将随结构的变形而产生 振动，因此研究质量的位移将成为动力计算的前提，即动力计算中 以质量的位移作为动力体系的基本未知量。
(b) (a)
m2. EI=∞ m3.
m1.
α (t)
三个集中质量，一个自由度
一个集中质量，两个自由度
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
⑵确定自由度的方法
方法一: 可以运用附加链杆法，使质量不发生线位移所施加的附加 链杆数即为体系的计算自由度。
(a)
(b)
(c)
2个自由度
方法二: 对于复杂体系，当忽略杆件的轴向变形时，可以采用“铰化 刚结点和质点增加链杆法”——将所有刚结点和质点变为铰结点后， 使铰化后的体系成为几何不变体系所需要增加的链杆数即为体系的 自由度数。
⑴体系的自由度：结构变形后确定动力体系的全部质量于某一时
刻在空间或平面的位置，所需要的独立的几何坐标的数目。（几何 参变量的数目） 动力计算中体系中所有质点有几个独立的位移，体系就有几个未知量， 体系就有几个自由度。
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
实际上一切结构都具有分布质量，都是无限自由度体系，按无限自 由度体系计算较为麻烦，故在一定条件下可将体系的分布质量相对 集中为几个集中质量，把无限多个自由度体系简化成有限多个自由 度来计算。此法称—— 集中质量法
风荷载：脉动风压对高耸柔性结构可视为动荷载。
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
例如地震荷载及风荷载就是随机荷载。
下面是1940年美国塔克玛大桥由于风震而破坏的录相。
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
美国塔克玛大桥1940年11月7日早晨，在风速为78.8米/秒 的作用下引起剧烈扭转振动，使853米的主跨遭到破坏。
§10—2 单自由度体系的自由振动
三、自由振动微分方程的解
微分方程：
my ky 0 y 2 y 0
令： 2
k m
方程可改写为：
方程通解： y(t) C1sint C2 cost
根据初始条件：t=0时，y=y0, v=v0可确定
C1
v0
C2 y0
C1 ,
C2
方程的解：
y(t)
v0
sin t
自振周期T：质点振动一次需要的时间；单位:“s（秒）” 完成一次全振动所用时间。
T
2
2
m k
2
m
自振频率f：质点每秒钟振动的次数；单位:“Hz（赫兹）”
f
1 T
2
固有频率或圆频率：质点2 时间内的振动次数,单位:“弧度/s” ；
2
T
2f
k m
1
m
g st
自振周期的性质：
1. 自振周期仅与结构的质量和刚度有关；与外界的干扰力无关。
cy
R——阻尼力；负号表示阻尼力的方向与运动速度 的方向相反。 c——阻尼系数； v——质点运动的速度；
§10—2 单自由度体系的自由振动
本节共介绍六个问题
一、振动模型的建立 二、单自由度体系的自由振动微分方程 三、自由振动微分方程的解 四、结构的自振特性 五、自由振动动内力和动位移的计算 六、柔度系数和刚度系数的计算
第10章 结构动力计算
❖本章 主要介绍结构在动力荷载作 用下的结构的动力反应的计算原 理和计算方法以及结构本身固有 的动力特性，固有频率及振型的 计算。重点讨论集中质量质点的 振动。
本章主要内容
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度 §10—2 单自由度体系的自由振动 §10—3 单自由度体系的强迫振动 §10—4 阻尼对振动的影响 §10—5 两个自由度体系的自由振动 §10—6 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 §10—7 小结
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
一 、结构动力计算的特点和内容
⑴静力荷载：荷载的大小方向作用位置不随时间变化，或虽有变化， 变化极缓，不致引起结构上的质点产生加速度而具有惯性力的作用。
静力荷载作用下，结构始终处于相对的静止平衡状态，计算平衡 状态下结构的内力和变形问题叫静力计算。
⑵动力荷载：荷载的大小方向作用位置随时间迅速变化，由此引起结 构上的质点产生加速度而具有惯性力的作用，即结构不再保持其原 有的静止平衡状态，动力荷载又称干扰力。
FP
t
-FP
简谐荷载
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
（2）冲击荷载 指很快地把全部量值加于结构，但作用时间很短即行消失的荷载，它 对结构的作用取决于它的碰撞冲量。 如打桩机的桩锤对桩的冲击；射钉枪的子弹对墙体的冲击 。
（3）随机荷载 （非确定性荷载） 荷载的变化规律无法预先确知，无法用确定的函数表示的非确定性荷载。 如：地震荷载：地震时，由于建筑物基础的震动而引起的结构的振动。
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
2个自由度
方法二此例不适用 有 2个自由度
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
(a)
(b)
m1 m2 m3
2 1
自由度为2
例：若考虑各杆件的弯曲及柱的轴向变形，图示所示 体系的动力自由度数为多少？
m1
EI1=∞
m2
m1
EI1=∞
m2
EI
EI
EI
EI
随时间变化的内力和位移称动内力和动位移。统称为动力反应。 计算动力荷载下的动力反应问题称动力计算。
⑶动力计算的特点
与静力计算相比较动力计算主要有以下两个特点：
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
①静力荷载引起的结构各处的内力和位移虽不相同，但它们都不 随时间而变化。
动力荷载下结构产生振动，其内力和位移都随时间而变化，不 仅结构上各处的内力和位移不一样，就是结构上同一位置处的 内力和位移在不同时刻也不一样，可见动内力和动位移不仅是 位置的函数也是时间的函数。