高三数学二轮专题复习教案――数列

高三数学二轮专题复习教案――数列 一、本章知识结构：

二、重点知识回顾

1．数列的概念及表示方法

（1)定义:按照一定顺序排列着的一列数.

(2）表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法)、图象法.

(３）分类:按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．

(4)n a 与n S 的关系：

11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨

-⎩≥． 2.等差数列和等比数列的比较

(1）定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数(不为0）的数列叫做等比数列． （2）递推公式：110n n n n a a d a a q q n *

++-==≠∈N ，·，，．

（３)通项公式：

111(1)n n n a a n d a a q n -*

=+-=∈N ，，.

（4）性质

等差数列的主要性质:

①单调性：0d ≥时为递增数列,0d ≤时为递减数列,0d =时为常数列．

②若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q *+=+∈N ，，，.特别地，当2m n p +=时，有2m n p a a a +=．

③

()()

n m a a n m d m n *-=-∈N ，．

④

232k k k k k S S S S S --，，，…

成等差数列.

等比数列的主要性质:

①单调性：当

1001

a q <⎧⎨

<<⎩，

或101a q >⎧⎨>⎩时，为递增数列;当101a q <⎧⎨>⎩，，,或1001a q >⎧⎨<<⎩时，为递减数列；当0q <时,为摆动数列;当

1q =时,为常数列．

②若m n p q +=+,则()m n p q a a a a m n p q *=∈N ··，，，．特别地，若2m n p +=,则2m n p

a a a =·.

③(0)n m n

m a q m n q a -*=∈≠N ，，.

④

232k k k k k

S S S S S --，，,…，当1q ≠-时为等比数列；当1q =-时，若k 为偶数，不是等比数列．若k 为奇数,是公

比为1-的等比数列.

三、考点剖析

考点一：等差、等比数列的概念与性质 例1. （2008深圳模拟)已知数列.

12}{2n n S n a n n -=项和的前

（1）求数列

}

{n a 的通项公式; (２）求数列

.

|}{|n n T n a 项和的前

解:(1)当

111112,12

11=-⨯===S a n 时;、 当

.

213])1()1(12[)12(,2221n n n n n S S a n n n n -=-----=-=≥-时，

.213111的形式也符合n a -=.213}{,n a a n n -=的通项公式为数列所以、

(2）令.

6,,0213*≤∈≥-=n n n a n 解得又N

当2

212112||||||,6n n S a a a a a a T n n n n n -==+++=+++=≤ 时；

ﻩ 当

|

|||||||||,67621n n a a a a a T n ++++++=> 时

n

a a a a a a ----+++= 87621

.

7212)12()6612(222226+-=---⨯⨯=-=n n n n S S n

综上，

⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=.6,7212,6,122

2

n n n n n n T n 点评:本题考查了数列的前n 项与数列的通项公式之间的关系,特别要注意ｎ＝1时情况，在解题时经常会忘记。第二问要分

情况讨论,体现了分类讨论的数学思想． 例2、(2008广东双合中学）已知等差数列}

{n a 的前n 项和为

n

S ,且

35

a =，

15225

S =. 数列

}

{n b 是等比数

列,

32325,128

b a a b b =+=(其中1,2,3,n =…）．

(I)求数列

}

{n a 和

{}

n b 的通项公式；（II)记

,{}n n n n n

c a b c n T =求数列前项和.

解：（I)公差为d ，

则⎩⎨⎧=⨯+=+,22571515,5211d a d a 1

2,2,

11-=⎩

⎨

⎧==∴n a d a n 故(1,2,3,n =)….

设等比数列}{n b 的公比为q ，ﻩ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=,128,

82

333q b q b b 则 .2,83==∴q b

ﻩn n n q b b 233=⋅=∴-(1,2,3,n =)

….

(II ）,

2)12(n n n c ⋅-=

2323252(21)2,

n n T n ∴=+⋅+⋅+

+-⋅

.2)12(2)32(2523221432+⋅-+⋅-++⋅+⋅+=n n n n n T

作差:

1

15432)12(22222++⋅--+++++=-n n n n T

ﻩ311

2(12)2(21)212n n n -+-=+--⋅-

31122122(21)(21)222822n n n n n n n -++++=+---⋅=+--+162(23)n n +=---⋅ 1(23)26n n T n +∴=-⋅+(1,2,3,n =)

…．

点评:本题考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前n 项和的解法，要抓住它的结特征,一个等差数列与一个等比数列之积,乘以2后变成另外的一个式子，体现了数学的转化思想。 考点二:求数列的通项与求和

例3.(2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵:

按照以上排列的规律，第n 行(3≥n )从左向右的第３个数为

解:前n －1 行共有正整数1＋2＋…+(ｎ-1)个,即22n n -个,因此第ｎ 行第 3 个数是全体正整数中第22n n

-＋3个，即为

26

2n n -+.

点评:本小题考查归纳推理和等差数列求和公式,难点在于求出数列的通项,解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。 例4.（２008深圳模拟）图(1）、（2）、（3）、(４)分别包含1个、５个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎含()f n 个“福娃迎迎”,按同样的方式构造图形，设第n 个图形包迎”,则(5)f = ；()(1)f n f n --=__＿＿

解：第1个图个数:1 第2个图个数:1＋3＋1

第3个图个数：1+3＋5+３+1

第4个图个数：1+3+5+7＋５+3+1

第5个图个数:1+３+５+７+9+７+5+3+1=41, 所以，f （5)=4１

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

………………