2016届山东省烟台市牟平一中高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年山东省烟台市牟平一中高三（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合M={﹣2，﹣1，0，1，2}，N={x|x2＜3}，则M∩N等于（）
A．∅B．{﹣1，1} C．{﹣2，2} D．{﹣1，0，1} 【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．
【解答】解：由N中不等式解得：﹣＜x＜，即N=（﹣，），
∵M={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴M∩N={﹣1，0，1}，
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．设向量与的夹角为60°，且，则等于（）
A．B．C．D．6
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】根据向量数量积的定义计算．
【解答】解：．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．
3．直线（1﹣2a）x﹣2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，则实数a的值为（）
A．B．C．D．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】由题意可得3（1﹣2a）﹣2=0，解方程可得．
【解答】解：∵直线（1﹣2a）x﹣2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，
∴3（1﹣2a）﹣2=0，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查直线的一般式方程和直线的垂直关系，属基础题．
4．下列函数中，不是偶函数的是（）
A．y=x2+4 B．y=|tanx| C．y=cos2x D．y=3x﹣3﹣x 【考点】函数奇偶性的判断．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】逐一判断各个选项中所给函数的奇偶性，从而得出结论．
【解答】解：对于所给的4个函数，它们的定义域都关于原点对称，
选项A、B、C中的函数都满足f（﹣x）=f（x），故他们都是偶函数，
对于选项D中的函数，满足f（﹣x）=﹣f（x），故此函数为奇函数，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．
5．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=6，a1=4，则S5等于（）
A．﹣2 B．0 C．5 D．10
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】根据题意，利用等差数列的通项公式与前n项和公式，即可求出S5的值．【解答】解：根据题意，设等差数列的公差为d，
则且a3=a1+2d，
又a1=4，
解得d=﹣2，a3=0；
所以S5=5a3=5×0=0．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式的应用问题，是基础题目．
6．设a，b，l均为不同直线，α，β均为不同平面，给出下列3个命题：
①若α⊥β，a⊂β，则a⊥α；
②若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a⊥b可能成立；
③若a⊥l，b⊥l，则a⊥b不可能成立．
其中，正确的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】在①中，a与α平行、相交或a⊂α；在②中，a，b有可能异面垂直；在③中，由正方体中过同一顶点的三条棱得到a⊥b有可能成立．
【解答】解：由a，b，l均为不同直线，α，β均为不同平面，得：
在①中，若α⊥β，α⊂β，则a与α平行、相交或a⊂α，故①错误；
在②中，若α∥β，a⊂α，b⊂β，
则a，b有可能异面垂直，故a⊥b可能成立，故②正确；
在③中，若a⊥l，b⊥l，则a⊥b有可能成立，
例如正方体中过同一顶点的三条棱，故③错误．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）
A．B．2 C．D．3
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．
【分析】几何体为正方体与三棱柱的组合体．
【解答】解：由三视图可知该几何体是一个正方体与三棱柱的组合体，
正方体的棱长为1，三棱柱的底面为等腰直角三角形，直角边为1，棱柱的高为1．
所以几何体的体积V=13+=．
故选A．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，结构特征和体积计算，属于基础题．
8．圆C：（x+2）2+y2=32与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A、B两点，若直线AB恰好经过抛物线的焦点，则p等于（）
A．B．C．2 D．4
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意可得A（），代入圆的方程求得p值．
【解答】解：∵直线AB恰好经过抛物线的焦点，
∴A，B的横坐标为，不妨设A（），则由A（）在圆C：（x+2）2+y2=32上，
得，即5p2+8p﹣112=0，
解得：p=或p=4，
∵p＞0，∴p=4．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查了圆与圆锥曲线位置关系的应用，是中档题．
9．已知函数的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（）
A．ω=2
B．
C．函数f（x）的图象关于（﹣，0）对称
D．函数f（x）的图象向右平移个单位后得到y=Asinωx的图象
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，再根据y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，从而得出结论．
【解答】解：根据函数的部分图象如图所示，
可知，A=2，，∴，
再根据f（0）=Asinφ=2sinφ=1，且，∴，∴，
∴
，故函数f （x ）的图象不关于
对称，
易得f （x ）的图象向右平移个单位后得到y=Asin ωx 的图象，
故选：C ．
【点评】本题主要考查利用y=Asin （ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
10．若关于x 的方程|x 4﹣x 3|=ax 在R 上存在4个不同的实根，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】根据方程和函数的关系转化为函数，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：当x=0时，0=0，∴0为方程的一个根． 当x ＞0时，方程|x 4﹣x 3|=ax 等价为a=|x 3﹣x 2|，
令f （x ）=x 3﹣x 2，f ′（x ）=3x 2﹣2x ，
由f ′（x ）＜0得0＜x ＜，由f ′（x ）＞0得x ＜0或x ＞，
∴f （x ）在上递减，在上递增，又f （1）=0，
∴当x=时，函数f （x ）取得极小值f （）=﹣，则|f （x ）|取得极大值|f （）|=，
∴设
的图象如下图所示，
则由题可知当直线y=a 与g （x ）的图象有3个交点时0＜a ＜， 此时方程|x 4﹣x 3|=ax 在R 上存在4个不同的实根，
故．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合以及导数法是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11．已知函数则f（f（2））=．
【考点】函数的值；分段函数的应用．
【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．
【分析】由已知中函数，将x=2代入可得答案．
【解答】解：∵函数，
∴f（2）==，
∴f（f（2））=f（）==．
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．
12．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n =8a n ﹣1，则=
．
【考点】数列递推式． 【专题】等差数列与等比数列．
【分析】利用递推关系、等比数列的性质即可得出． 【解答】解：∵S n =8a n ﹣1， ∴当n=1时，a 1=8a 1﹣1，解得a 1=．
当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（8a n ﹣1）﹣（8a n ﹣1﹣1），化为
．
∴==．
故答案为：．
【点评】本题考查了递推关系的应用、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．若x ，y 满足约束条件则目标函数z=﹣2x+y 的最小值为 ﹣4 ．
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；作图题；数形结合；数形结合法；不等式．
【分析】由题意作平面区域，化目标函数z=﹣2x+y 为y=2x+z ，从而利用截距求最值．
【解答】解：由题意作平面区域如下，
，
目标函数z=﹣2x+y可化为y=2x+z，
故结合图象可知，
当过点B（3，2）时，
z有最小值为﹣2×3+2=﹣4；
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了简单线性规划的一般解法，注意作图要认真，注意实线与虚线．
14．若双曲线的实轴长是离心率的2倍，则m=．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用离心率公式，建立方程，即可求得双曲线的实轴长．
【解答】解：∵，且m＞0，
∴，解得或（舍去）．
故答案为：
【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
15．设向量．若对任意
恒成立，则的取值范围为
．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】数形结合；转化思想；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．
【分析】由于，即m2+m+6≤8cosθ对任意m∈[﹣1，0]恒成立．当m∈[﹣1，0]，利用二次函数的单调性可得（m2+m+6）max，再利用三角函数的单调性即可得出．
【解答】解：，
∴，
即m2+m+6≤8cosθ对任意m∈[﹣1，0]恒成立．
当m∈[﹣1，0]，（m2+m+6）max=6，
∴8cosθ≥6，∴，∴cosθ∈（0，1]，
∴，∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量的数量积运算性质、二次函数的单调性、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，C=60°，3sinA=sinB．
（1）若△ABC的面积为，求b的值；
（2）求cosB的值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．
【分析】（1）由正弦定理化简已知可得3a=b，利用三角形面积公式可得
，进而解得a，b的值．
（2）由余弦定理可得，进而利用余弦定理即可解得cosB的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）在△ABC中，∵3sinA=sinB，
∴由正弦定理得，3a=b，
∴，
∴a=2，b=6．…（6分）
（2）由余弦定理得，
∴，
∴．…（12分）
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
17．在等差数列{a n}中，公差d≠0，a1=7，且a2，a5，a10成等比数列．
（1）求数列{a n}的通项公式及其前n项和S n；
（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”即可得出．
【解答】解：（1）∵a2，a5，a10成等比数列，
∴（7+d）（7+9d）=（7+4d）2，
又∵d≠0，∴d=2，
∴．…（7分）
（2）由（1）可得，
∴．…（12分）
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥B1D，BB1⊥底面ABCD，E、F、H分别为AD、CD、DD1的中点，EF与BD交于点G．
（1）证明：平面ACD1⊥平面BB1D；
（2）证明：GH∥平面ACD1．
【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．
【分析】（1）由BB1⊥平面ABCD得AC⊥BB1，又AC⊥B1D，所以AC⊥平面BB1D．所以平面ACD1⊥平面BB1D；
（2）设AC∩BD=O，连OD1，由相似三角形得G为OD中点，由中位线定理得HG∥OD1，故GH∥平面ACD1．
【解答】证明：（1）∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥BB1，又AC⊥B1D，BB1⊂平面BB1D，B1D⊂平面BB1D，BB1∩B1D=B1，
∴AC⊥平面BB1D．∵AC⊂平面ACD1，
∴平面ACD1⊥平面BB1D．
（2）设AC∩BD=O，连OD1，
∵E、F分别为AD、CD的中点，
∴△DEF∽△DAC，
∴，
∴G为OD的中点．∵H为DD1的中点，
∴HG∥OD1，∵GH⊄平面ACD1，OD1⊂平面ACD1，
∴GH∥平面ACD1．
【点评】本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，属于中档题．
19．设函数的最小正周期为π，设向量
，，．
（1）求函数f（x）的递增区间；
（2）求函数g（x）在区间上的最大值和最小值；
（3）若x∈[0，2016π]，求满足的实数x的个数．
【考点】平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．
【专题】数形结合；转化思想；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．
【分析】（1）利用，可得ω．再利用正弦函数的单调性即可得出．
（2）利用数量积运算性质、正弦函数的单调性最值即可得出．
（3）利用向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：（1）∵，∴ω=2．
∴，
令，解得
，
此即为f （x ）的递增区间．
（2）
=．
∵，∴
，∴，
∴．
（3）若
，则
，∴g （x ）=4sin2x=0，∴
，
又x ∈[0，2016π]，
∴
，
即k ∈[0，4032]，k ∈Z ，∴k 的值有4033个，
即x 有4033个．
【点评】本题考查了数量积运算性质、正弦函数的单调性最值、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．已知椭圆
的离心率为
，直线l ：y=x+2与以原点O 为圆
心，椭圆的短轴长为直径的圆O 相切． （1）求椭圆C 的方程；
（2）求椭圆C 与直线y=kx （k ＞0）在第一象限的交点为A ．
①设
，且
，求k 的值；
②若A 与D 关于x 的轴对称，求△AOD 的面积的最大值． 【考点】椭圆的简单性质．
【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）求得圆O 的方程，运用直线和相切的条件：d=r ，求得b ，再由离心率公式和a ，b ，c 的关系，可得a ，进而得到椭圆方程；
（2）设出A的坐标，代入椭圆方程，求得交点A的坐标，①运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值；
②由三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到所求最大值．
【解答】解：（1）由题设可知，圆O的方程为x2+y2=b2，
因为直线l：x﹣y+2=0与圆O相切，故有，
所以．
因为，所以有a2=3c2=3（a2﹣b2），即a2=3．
所以椭圆C的方程为．
（2）设点A（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则y0=kx0．
由解得，
①∵，∴（k=0舍去）．
②∵，
（当且仅当时取等号），
∴S△AOD的最大值为．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和直线与圆相切的条件：d=r，同时考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，考查向量的数量积的坐标表示和基本不等式求最值的方法，属于中档题．
21．设a，b∈R，函数f（x）=ax2+lnx+b的图象在点（1，f（1））处的切线方程为4x+4y+1=0．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）证明：f（x）＜x3﹣2x2．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】转化思想；分析法；导数的概念及应用；导数的综合应用．
【分析】（1）求出导数，求出切线的斜率和切点，可得f（x）的解析式，求出单调区间、极值和最值；
（2）设出h（x）=f（x）﹣（x3﹣2x2），求出导数，求得单调区间，可得极大值，也为最大值，进而得到证明．
【解答】解：（1）∵，
由在点（1，f（1））处的切线方程为4x+4y+1=0，
∴解得，
∴．
，令f'（x）=0，得，
令f′（x）＞0，得，此时f（x）单调递增；
令f′（x）＜0，得，此时f（x）单调递减．
∴．
（2）证明：设，
，
令h′（x）=0，得x=1，
令h′（x）＞0，得0＜x＜1，此时h（x）单调递增；
令h′（x）＜0，得x＞1，此时h（x）单调递减．
∴，
∴h（x）＜0．
从而f（x）＜x3﹣2x2．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用构造法，求出最值，考查运算能力，属于中档题．。