数理逻辑史简析
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数理逻辑史简析
——直觉主义逻辑 ——直觉主义逻辑
2010.12.16
主要内容
• 数学背景 - 莱布尼茨 - 第三次数学危机 • 哲学背景
- 柏拉图主义 - 康德的哲学
• 三大学派
- 逻辑主义 - 直觉主义 - 形式主义
• 中国的哲学与数学
- 周公问数 密率、 - 密率、徽率 - 算经十书 - 太极
哲学背景: 德国古典哲学) 哲学背景: 康德 (德国古典哲学)
• 数是思维创造的抽象实体 • 康德把人的先天认识能力分为感性 知 康德把人的先天认识能力分为感性, 性和理性三种. 性和理性三种 感性是掌握数学知识的 能力, 知性是掌握物理学知识的能力, 能力 知性是掌握物理学知识的能力 理 性企图超越现象世界去认识 “ 什么自在 之物 ”, 结果什么也得不到 • 康德认为人的先天感性直观形式有两种 康德认为人的先天感性直观形式有两种: 时间和空间. 时间和空间 用先天的时间观念整理关 于事物的多与少的经验, 于事物的多与少的经验 便创造了数的 Kant (1724-1804, 德国 德国) 概念. 概念 用先天的空间概念整理关于事物 的形状的经验, 的形状的经验 便创造出了几何公理
莫比乌斯带
哲学背景: 哲学背景: 柏拉图主义
• 柏拉图 公元前 柏拉图( 公元前427 - 前347 年) 是有很 大影响的古希腊唯心主义哲学家 • 柏拉图主义 数学研究的对象尽管是抽 柏拉图主义: 象的, 但是却是客观存在的. 象的 但是却是客观存在的 而且它们 是不依赖于时间, 空间和人的思维而永 是不依赖于时间 恒存在的. 数学家提出的概念不是创造, 恒存在的 数学家提出的概念不是创造 而是对这种客观存在的描述 • 数学结论的客观性 一个方程有多少根 数学结论的客观性, 一个方程有多少根, Plato (前427－前347年, 希腊 前 － 年 希腊) 有哪几个根, 有哪几个根 是客观的
数学背景: 数学背景: 数理逻辑的创立
• 德国唯理论哲学家和数学家莱布尼茨 ( 1646 - 1716 ) 被认为是数理逻辑的创 始人 • 思维的演算: 遇到争论, 双方可以把笔 思维的演算: 遇到争论, 拿在手中说: 让我们来算一下 让我们来算一下”, 拿在手中说 “让我们来算一下 就可 以把问题解决 • 表意的符号语言和思维的演算是莱氏 提出的重要思想, 提出的重要思想 这二者也正是现代数 Leibniz (1588-1679, 德国 德国) 理逻辑的特征
数学背景: 数学背景: 第三次数学危机
• 1900 年在巴黎召开的第二次国际数学会议上 年在巴黎召开的第二次国际数学会议上, 庞加莱宣称: 数学的严格性到今天可以说已经 庞加莱宣称 “数学的严格性到今天可以说已经 达到了”, 达到了 因为利用集合论可以定义自然数与实 从而建立极限论, 数, 从而建立极限论 为数学分析奠定了基础 • 罗素 1872 - 1970 ), 英国著名的哲学家 数学家 罗素( 英国著名的哲学家, 和社会改革家在会上结识了皮亚诺并得到很大 的启发. 两年后, 罗素准备《数学原理》 的启发 两年后 罗素准备《数学原理》的书稿 发现一个悖论: 不以自己为元素的集合. 时, 发现一个悖论 不以自己为元素的集合 它 是不是自己的元素？ 是不是自己的元素？ 的元素 Russell (1872-1970, 英国 英国)
Brouwer (1881 – 1966, 荷兰 荷兰)
直觉主义
• 这种否定实无穷的观点, 最早可以追溯到亚里士多德. 在数学家当中, 这种否定实无穷的观点 最早可以追溯到亚里士多德 在数学家当中 康托尔的 老师柯朗尼克也反对无穷集的观点, 老师柯朗尼克也反对无穷集的观点 主张数学研究的对象一定要能够在有限 柯朗尼克也反对无穷集的观点 步骤之内构造出来. 构造不出来的就 的就不 步骤之内构造出来 构造不出来的就不存在 • • • 直觉主义逻辑否定了“ 直觉主义逻辑否定了 排中律 ”, “反证法 ” 反证法 布劳维尔在自己观点的指导下开始了庞大的工程 他建立了构造性的数学: 布劳维尔在自己观点的指导下开始了庞大的工程. 他建立了构造性的数学 构 在自己观点的指导下开始了庞大的工程 造性实数, 构造性集合论 构造性微积分 集合论, 造性实数 构造性集合论 构造性微积分 出来的具 在计算机出现后, 构造性数学有了大用场 因为计算机只处理可构造出来的具 计算机出现后 构造性数学有了大用场. 因为计算机只处理可构造出来 体符号串. 直觉主义派不但没使数学受到损害, 体符号串 直觉主义派不但没使数学受到损害 反而用构造性数学使这一领域 大大丰富了 大大丰富了 • 我国著名数学家吴文俊教授指出, 中国古代数学是构造性数学. 我国著名数学家吴文俊教授指出 中国古代数学是构造性数学 在每个问题中 都力求给出构造性的解答. 他还指出: 由于计算机技术的发展, 都力求给出构造性的解答 他还指出 由于计算机技术的发展 构造性数学将 构造性的解答 出现大发展, 甚至成为数学的主流 出现大发展 甚至成为数学的主流
三大学派
• 在1900 年后几年内 数学基础问题的讨论和争议已经 年后几年内, 展开. 当时主要的问题为: 展开 当时主要的问题为 (1) 如何解决已发现的悖论和如何进一步保证在公理系 统中不出现任何形式的自相矛盾 ？ 统中不出现任何形式的自相矛盾 (2) 如何理解 “ 数学的存在 ” ？ 如何理解 数学的 (3) 有没有实无穷和如何认识实无穷 ？ 有没有实无穷和如何认识实无穷 (4) 数学的基础是什么 ？ 数学的基础是什么
Fra Baidu bibliotek
数学背景: 数学背景: 悖论
• 悖论是一种认识矛盾 它既包括逻辑矛盾 语义 悖论是一种认识矛盾, 它既包括逻辑矛盾, 矛盾, 也包括思想方法上的矛盾. 矛盾 也包括思想方法上的矛盾 数学悖论作为 悖论的一种, 悖论的一种 主要发生在数学研究中 • 古希腊说谎者悖论 阿基里斯追龟悖论 古希腊说谎者悖论,阿基里斯追龟悖论 • 战国时期逻辑学家惠施（约370B.C. - 318B.C.） 战国时期逻辑学家惠施（ ） 日方中方睨, 一尺之棰, 的“日方中方睨 物方生方死 “一尺之棰 日取 日方中方睨 物方生方死”, 一尺之棰 其半, 万世不竭” 其半 万世不竭
数学背景: 数学背景: 数理逻辑的发展
• 第一阶段 用数学方法研究和处理形式逻辑 第一阶段: • 从17 世纪 年代的莱布尼茨到 世纪末叶的布尔 , 德摩根 施履德 世纪70 年代的莱布尼茨到19 德摩根, 等共延续了约二百年,其成果是逻辑代数和关系逻辑 等共延续了约二百年 其成果是逻辑代数和关系逻辑 • 第二阶段 研究数学思想方法和数学基础问题 第二阶段: • 19 世纪中叶起 康托尔 希尔伯特 弗雷格 皮亚诺 罗素 布劳维尔等 世纪中叶起, 康托尔, 希尔伯特, 弗雷格, 皮亚诺, 罗素, 人奠定了它的理论基础, 创建了特有的新方法, 成长为一门新学科. 人奠定了它的理论基础 创建了特有的新方法 成长为一门新学科 其 成果是集合论, 公理化方法, 逻辑演算, 成果是集合论 公理化方法 逻辑演算 证明论 • 第三阶段 研究逻辑系统的完全性 协调性 计算机理论等 第三阶段: 研究逻辑系统的完全性, 协调性, • 1931 年哥德尔发表不完备性定理至今 本阶段数理逻辑的主要内容大 年哥德尔发表不完备性定理至今. 致可以分为五个方面: 逻辑演算, 证明论, 公理集合论, 递归论, 致可以分为五个方面 逻辑演算 证明论 公理集合论 递归论 模型论
数学背景: 集合论(1870s) 数学背景: 集合论(1870s)
• 集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理 数学里遇到的无穷有: 无穷过程, 论. 数学里遇到的无穷有 无穷过程 无穷 小和无穷大 必须能作数学的处理, 小和无穷大. 必须能作数学的处理 能进行 无穷大 运算, 这样的无穷才能算作数学的对象 运算 这样的无穷才能算作数学的对象 • 对无穷集合来说 如果把一一对应作为是 对无穷集合来说, 否相等的标准, 否相等的标准 则一个无穷集就会和它自 己的真部分相等. 己的真部分相等 这是和有穷领域里人们 的常识以及数学知识 “ 全体大于部分 ” 相 矛盾的.如果以 和真部分一一对应 为悖论, 矛盾的 如果以“和真部分一一对应 为悖论 如果以 和真部分一一对应”为悖论 就必须否认实无穷 Cantor (1845-1918, 德国 德国)
Frege(1848-1925, 德国 德国)
直觉主义: 直觉主义: 数学概念是自主的智力活动
• 人具有先天的直觉能力, 人具有先天的直觉能力 能肯定这样能一个一个 地把自然数构造出来. 因此, 地把自然数构造出来 因此 数学对象是人靠智 力活动构造出来的 • 布劳维尔认为不能考虑自然数总体. 布劳维尔认为不能考虑自然数总体 因为直觉 可以不能想象构造出全体自然数的过程, 可以不能想象构造出全体自然数的过程 因为那 需要无穷的时间 • 直觉主义认为, 数学的对象, 直觉主义认为 数学的对象 必须能像自然数那 样明显地用有限步骤构造出来, 样明显地用有限步骤构造出来 才可以认为是存 在的. 全体自然数, 全体实数, 统统无法考虑, 在的 全体自然数 全体实数 统统无法考虑 因 为构造不出来. 因此, 为构造不出来 因此 他们主张一种 “ 构造性数 于是, 学 ”. 于是 直觉主义也被叫做构造主义
逻辑主义: 逻辑主义: 算术是逻辑的一部分
• 逻辑主义的主要人物是罗素和弗雷格都是柏 拉图主义的支持者 • 自然数是客观存在的. 自然数是客观存在的 在逻辑的基础上建立算 进而建立整个数学, 术, 进而建立整个数学 以证明数学是逻辑学 的一个分支 • 弗雷格的工作, 弗雷格的工作 由于罗素悖论的出现而受到挫 罗素和怀海德从头重新做起, 折. 罗素和怀海德从头重新做起 建立了庞大 的结构, 总算实现了把算术还原为逻辑, 的结构 总算实现了把算术还原为逻辑 或者 还原为集合论. 说, 还原为集合论 但为了使自己的层次理论 不太复杂, 罗素最后提出了一个“ 不太复杂 罗素最后提出了一个 可化归公 这样, 理 ”. 这样 就不是完全在逻辑上建立算术了
思考
• 数的本质是什么？ 数的本质是什么？ • 思想有什么样的作用？ 思想有什么样的作用？ • 西方世界在第三次数学危机后如何产生了计算机 理论？ 理论？ • 中国哲学有什么样的作用？ 中国哲学有什么样的作用？ • 直觉主义（构造主义）逻辑有什么样的作用？ 直觉主义（构造主义）逻辑有什么样的作用？
数学背景: 数学背景: 思想的启蒙
• 数理逻辑 一切用特制符号和数学方法来 数理逻辑: 研究处理演绎方法的理论,也被称为符号 研究处理演绎方法的理论 也被称为符号 逻辑 • 形式逻辑自亚里士多德起到 世纪后期 形式逻辑自亚里士多德起到17 Aristotle (前384-前322, 希腊 已有 希腊) 已有2000 余年的历史 前 前 • 英国的唯物主义哲学家霍布士1655 年就 英国的唯物主义哲学家霍布士 曾提出过这样的思想. 他说, 曾提出过这样的思想 他说 推理好像算术 中的加法和减法一样, 思维是可以计算的 中的加法和减法一样 • 符号逻辑这个名词是在数理逻辑发展的 初期19 世纪80 年代提出的( 1881 年英国 初期 世纪 年代提出的 Hobbes (1588-1679, 英国 英国) 逻辑学家文恩J. 逻辑学家文恩 Venn)
数学背景: 数学背景: 第三次数学危机
• 1902 年6 月, 他给致力于把算术化归于集合和逻辑的弗雷格写了一 封信, 叙述了他发现的悖论. 在集合论中存在着大漏洞. 封信 叙述了他发现的悖论 在集合论中存在着大漏洞 把集合论作 为算术的基础, 整个数学的基础, 为算术的基础 整个数学的基础 这一想法遭到严重的打击 • 弗雷格迅速给罗素回了信 他说 哎呀 算术动摇了 ”弗雷格后来 弗雷格迅速给罗素回了信. 他说:“ 哎呀! 算术动摇了. 弗雷格后来 甚至于放弃了他的从逻辑导出数学的说法 • 狄德金闻讯后 把他的《什么是数》的再版推迟 狄德金闻讯后, 把他的《什么是数》 • 罗素则直到 罗素则直到1908 年找到解决悖论的类型论后 才出版他的《数学 年找到解决悖论的类型论后, 才出版他的《 原理》 原理》
——直觉主义逻辑 ——直觉主义逻辑
2010.12.16
主要内容
• 数学背景 - 莱布尼茨 - 第三次数学危机 • 哲学背景
- 柏拉图主义 - 康德的哲学
• 三大学派
- 逻辑主义 - 直觉主义 - 形式主义
• 中国的哲学与数学
- 周公问数 密率、 - 密率、徽率 - 算经十书 - 太极
哲学背景: 德国古典哲学) 哲学背景: 康德 (德国古典哲学)
• 数是思维创造的抽象实体 • 康德把人的先天认识能力分为感性 知 康德把人的先天认识能力分为感性, 性和理性三种. 性和理性三种 感性是掌握数学知识的 能力, 知性是掌握物理学知识的能力, 能力 知性是掌握物理学知识的能力 理 性企图超越现象世界去认识 “ 什么自在 之物 ”, 结果什么也得不到 • 康德认为人的先天感性直观形式有两种 康德认为人的先天感性直观形式有两种: 时间和空间. 时间和空间 用先天的时间观念整理关 于事物的多与少的经验, 于事物的多与少的经验 便创造了数的 Kant (1724-1804, 德国 德国) 概念. 概念 用先天的空间概念整理关于事物 的形状的经验, 的形状的经验 便创造出了几何公理
莫比乌斯带
哲学背景: 哲学背景: 柏拉图主义
• 柏拉图 公元前 柏拉图( 公元前427 - 前347 年) 是有很 大影响的古希腊唯心主义哲学家 • 柏拉图主义 数学研究的对象尽管是抽 柏拉图主义: 象的, 但是却是客观存在的. 象的 但是却是客观存在的 而且它们 是不依赖于时间, 空间和人的思维而永 是不依赖于时间 恒存在的. 数学家提出的概念不是创造, 恒存在的 数学家提出的概念不是创造 而是对这种客观存在的描述 • 数学结论的客观性 一个方程有多少根 数学结论的客观性, 一个方程有多少根, Plato (前427－前347年, 希腊 前 － 年 希腊) 有哪几个根, 有哪几个根 是客观的
数学背景: 数学背景: 数理逻辑的创立
• 德国唯理论哲学家和数学家莱布尼茨 ( 1646 - 1716 ) 被认为是数理逻辑的创 始人 • 思维的演算: 遇到争论, 双方可以把笔 思维的演算: 遇到争论, 拿在手中说: 让我们来算一下 让我们来算一下”, 拿在手中说 “让我们来算一下 就可 以把问题解决 • 表意的符号语言和思维的演算是莱氏 提出的重要思想, 提出的重要思想 这二者也正是现代数 Leibniz (1588-1679, 德国 德国) 理逻辑的特征
数学背景: 数学背景: 第三次数学危机
• 1900 年在巴黎召开的第二次国际数学会议上 年在巴黎召开的第二次国际数学会议上, 庞加莱宣称: 数学的严格性到今天可以说已经 庞加莱宣称 “数学的严格性到今天可以说已经 达到了”, 达到了 因为利用集合论可以定义自然数与实 从而建立极限论, 数, 从而建立极限论 为数学分析奠定了基础 • 罗素 1872 - 1970 ), 英国著名的哲学家 数学家 罗素( 英国著名的哲学家, 和社会改革家在会上结识了皮亚诺并得到很大 的启发. 两年后, 罗素准备《数学原理》 的启发 两年后 罗素准备《数学原理》的书稿 发现一个悖论: 不以自己为元素的集合. 时, 发现一个悖论 不以自己为元素的集合 它 是不是自己的元素？ 是不是自己的元素？ 的元素 Russell (1872-1970, 英国 英国)
Brouwer (1881 – 1966, 荷兰 荷兰)
直觉主义
• 这种否定实无穷的观点, 最早可以追溯到亚里士多德. 在数学家当中, 这种否定实无穷的观点 最早可以追溯到亚里士多德 在数学家当中 康托尔的 老师柯朗尼克也反对无穷集的观点, 老师柯朗尼克也反对无穷集的观点 主张数学研究的对象一定要能够在有限 柯朗尼克也反对无穷集的观点 步骤之内构造出来. 构造不出来的就 的就不 步骤之内构造出来 构造不出来的就不存在 • • • 直觉主义逻辑否定了“ 直觉主义逻辑否定了 排中律 ”, “反证法 ” 反证法 布劳维尔在自己观点的指导下开始了庞大的工程 他建立了构造性的数学: 布劳维尔在自己观点的指导下开始了庞大的工程. 他建立了构造性的数学 构 在自己观点的指导下开始了庞大的工程 造性实数, 构造性集合论 构造性微积分 集合论, 造性实数 构造性集合论 构造性微积分 出来的具 在计算机出现后, 构造性数学有了大用场 因为计算机只处理可构造出来的具 计算机出现后 构造性数学有了大用场. 因为计算机只处理可构造出来 体符号串. 直觉主义派不但没使数学受到损害, 体符号串 直觉主义派不但没使数学受到损害 反而用构造性数学使这一领域 大大丰富了 大大丰富了 • 我国著名数学家吴文俊教授指出, 中国古代数学是构造性数学. 我国著名数学家吴文俊教授指出 中国古代数学是构造性数学 在每个问题中 都力求给出构造性的解答. 他还指出: 由于计算机技术的发展, 都力求给出构造性的解答 他还指出 由于计算机技术的发展 构造性数学将 构造性的解答 出现大发展, 甚至成为数学的主流 出现大发展 甚至成为数学的主流
三大学派
• 在1900 年后几年内 数学基础问题的讨论和争议已经 年后几年内, 展开. 当时主要的问题为: 展开 当时主要的问题为 (1) 如何解决已发现的悖论和如何进一步保证在公理系 统中不出现任何形式的自相矛盾 ？ 统中不出现任何形式的自相矛盾 (2) 如何理解 “ 数学的存在 ” ？ 如何理解 数学的 (3) 有没有实无穷和如何认识实无穷 ？ 有没有实无穷和如何认识实无穷 (4) 数学的基础是什么 ？ 数学的基础是什么
Fra Baidu bibliotek
数学背景: 数学背景: 悖论
• 悖论是一种认识矛盾 它既包括逻辑矛盾 语义 悖论是一种认识矛盾, 它既包括逻辑矛盾, 矛盾, 也包括思想方法上的矛盾. 矛盾 也包括思想方法上的矛盾 数学悖论作为 悖论的一种, 悖论的一种 主要发生在数学研究中 • 古希腊说谎者悖论 阿基里斯追龟悖论 古希腊说谎者悖论,阿基里斯追龟悖论 • 战国时期逻辑学家惠施（约370B.C. - 318B.C.） 战国时期逻辑学家惠施（ ） 日方中方睨, 一尺之棰, 的“日方中方睨 物方生方死 “一尺之棰 日取 日方中方睨 物方生方死”, 一尺之棰 其半, 万世不竭” 其半 万世不竭
数学背景: 数学背景: 数理逻辑的发展
• 第一阶段 用数学方法研究和处理形式逻辑 第一阶段: • 从17 世纪 年代的莱布尼茨到 世纪末叶的布尔 , 德摩根 施履德 世纪70 年代的莱布尼茨到19 德摩根, 等共延续了约二百年,其成果是逻辑代数和关系逻辑 等共延续了约二百年 其成果是逻辑代数和关系逻辑 • 第二阶段 研究数学思想方法和数学基础问题 第二阶段: • 19 世纪中叶起 康托尔 希尔伯特 弗雷格 皮亚诺 罗素 布劳维尔等 世纪中叶起, 康托尔, 希尔伯特, 弗雷格, 皮亚诺, 罗素, 人奠定了它的理论基础, 创建了特有的新方法, 成长为一门新学科. 人奠定了它的理论基础 创建了特有的新方法 成长为一门新学科 其 成果是集合论, 公理化方法, 逻辑演算, 成果是集合论 公理化方法 逻辑演算 证明论 • 第三阶段 研究逻辑系统的完全性 协调性 计算机理论等 第三阶段: 研究逻辑系统的完全性, 协调性, • 1931 年哥德尔发表不完备性定理至今 本阶段数理逻辑的主要内容大 年哥德尔发表不完备性定理至今. 致可以分为五个方面: 逻辑演算, 证明论, 公理集合论, 递归论, 致可以分为五个方面 逻辑演算 证明论 公理集合论 递归论 模型论
数学背景: 集合论(1870s) 数学背景: 集合论(1870s)
• 集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理 数学里遇到的无穷有: 无穷过程, 论. 数学里遇到的无穷有 无穷过程 无穷 小和无穷大 必须能作数学的处理, 小和无穷大. 必须能作数学的处理 能进行 无穷大 运算, 这样的无穷才能算作数学的对象 运算 这样的无穷才能算作数学的对象 • 对无穷集合来说 如果把一一对应作为是 对无穷集合来说, 否相等的标准, 否相等的标准 则一个无穷集就会和它自 己的真部分相等. 己的真部分相等 这是和有穷领域里人们 的常识以及数学知识 “ 全体大于部分 ” 相 矛盾的.如果以 和真部分一一对应 为悖论, 矛盾的 如果以“和真部分一一对应 为悖论 如果以 和真部分一一对应”为悖论 就必须否认实无穷 Cantor (1845-1918, 德国 德国)
Frege(1848-1925, 德国 德国)
直觉主义: 直觉主义: 数学概念是自主的智力活动
• 人具有先天的直觉能力, 人具有先天的直觉能力 能肯定这样能一个一个 地把自然数构造出来. 因此, 地把自然数构造出来 因此 数学对象是人靠智 力活动构造出来的 • 布劳维尔认为不能考虑自然数总体. 布劳维尔认为不能考虑自然数总体 因为直觉 可以不能想象构造出全体自然数的过程, 可以不能想象构造出全体自然数的过程 因为那 需要无穷的时间 • 直觉主义认为, 数学的对象, 直觉主义认为 数学的对象 必须能像自然数那 样明显地用有限步骤构造出来, 样明显地用有限步骤构造出来 才可以认为是存 在的. 全体自然数, 全体实数, 统统无法考虑, 在的 全体自然数 全体实数 统统无法考虑 因 为构造不出来. 因此, 为构造不出来 因此 他们主张一种 “ 构造性数 于是, 学 ”. 于是 直觉主义也被叫做构造主义
逻辑主义: 逻辑主义: 算术是逻辑的一部分
• 逻辑主义的主要人物是罗素和弗雷格都是柏 拉图主义的支持者 • 自然数是客观存在的. 自然数是客观存在的 在逻辑的基础上建立算 进而建立整个数学, 术, 进而建立整个数学 以证明数学是逻辑学 的一个分支 • 弗雷格的工作, 弗雷格的工作 由于罗素悖论的出现而受到挫 罗素和怀海德从头重新做起, 折. 罗素和怀海德从头重新做起 建立了庞大 的结构, 总算实现了把算术还原为逻辑, 的结构 总算实现了把算术还原为逻辑 或者 还原为集合论. 说, 还原为集合论 但为了使自己的层次理论 不太复杂, 罗素最后提出了一个“ 不太复杂 罗素最后提出了一个 可化归公 这样, 理 ”. 这样 就不是完全在逻辑上建立算术了
思考
• 数的本质是什么？ 数的本质是什么？ • 思想有什么样的作用？ 思想有什么样的作用？ • 西方世界在第三次数学危机后如何产生了计算机 理论？ 理论？ • 中国哲学有什么样的作用？ 中国哲学有什么样的作用？ • 直觉主义（构造主义）逻辑有什么样的作用？ 直觉主义（构造主义）逻辑有什么样的作用？
数学背景: 数学背景: 思想的启蒙
• 数理逻辑 一切用特制符号和数学方法来 数理逻辑: 研究处理演绎方法的理论,也被称为符号 研究处理演绎方法的理论 也被称为符号 逻辑 • 形式逻辑自亚里士多德起到 世纪后期 形式逻辑自亚里士多德起到17 Aristotle (前384-前322, 希腊 已有 希腊) 已有2000 余年的历史 前 前 • 英国的唯物主义哲学家霍布士1655 年就 英国的唯物主义哲学家霍布士 曾提出过这样的思想. 他说, 曾提出过这样的思想 他说 推理好像算术 中的加法和减法一样, 思维是可以计算的 中的加法和减法一样 • 符号逻辑这个名词是在数理逻辑发展的 初期19 世纪80 年代提出的( 1881 年英国 初期 世纪 年代提出的 Hobbes (1588-1679, 英国 英国) 逻辑学家文恩J. 逻辑学家文恩 Venn)
数学背景: 数学背景: 第三次数学危机
• 1902 年6 月, 他给致力于把算术化归于集合和逻辑的弗雷格写了一 封信, 叙述了他发现的悖论. 在集合论中存在着大漏洞. 封信 叙述了他发现的悖论 在集合论中存在着大漏洞 把集合论作 为算术的基础, 整个数学的基础, 为算术的基础 整个数学的基础 这一想法遭到严重的打击 • 弗雷格迅速给罗素回了信 他说 哎呀 算术动摇了 ”弗雷格后来 弗雷格迅速给罗素回了信. 他说:“ 哎呀! 算术动摇了. 弗雷格后来 甚至于放弃了他的从逻辑导出数学的说法 • 狄德金闻讯后 把他的《什么是数》的再版推迟 狄德金闻讯后, 把他的《什么是数》 • 罗素则直到 罗素则直到1908 年找到解决悖论的类型论后 才出版他的《数学 年找到解决悖论的类型论后, 才出版他的《 原理》 原理》