力学中的动态问题分析解题方法

动态平衡问题的分析和解题技巧

一． 知识清单：

(1）共点力的平衡

1.共点力：物体受到的各力的作用线或作用线的延长线能相交于一点的力.

2.平衡状态：在共点力的作用下，物体处于静止或匀速直线运动的状态.

3.共点力作用下物体的平衡条件：合力为零，即＝合F 0.

4.力的平衡：作用在物体上几个力的合力为零，这种情形叫做力的平衡.

(1)若处于平衡状态的物体仅受两个力作用，这两个力一定大小相等、方向相反、作用在一条直线上，即二力平衡.

(2)若处于平衡状态的物体受三个力作用，则这三个力中的任意两个力的合力一定与另一个力大小相等、方向相反、作用在一条直线上.

(3)若处于平衡状态的物体受到三个或三个以上的力的作用，则宜用正交分解法处理，此时的平衡方程可写成：⎩⎨⎧=∑=∑00y

x F F （2）物体的动态平衡问题

物体在几个力的共同作用下处于平衡状态，如果其中的某个力（或某几个力）的大小或方向，发生变化时，物体受到的其它力也会随之发生变化，如果在变化的过程中物体仍能保持平衡状态，我们就可以依据平衡条件，分析出物体受到的各力的变化情况。

二． 解题方法指导

（1）矢量三角形法

①如果物体在三个力作用下处于平衡状态，其中只有一个力的大小和方向发生变化，而另外两个力中，一个大小、方向均不变化；一个只有大小变化，方向不发生变化的情况。 ②如果物体在三个力作用下处于平衡状态，其中一个力的大小和方向发生变化时，物体受到的另外两个力中只有一个大小和方向保持不变，另一个力的大小和方向也会发生变化的情况下，考虑三角形的相似关系。

(2) 图解法：

对研究对象进行受力分析，再根据三角形定则画出不同状态下的力的矢量图（画在同一个图中），然后根据有向线段（表示力）的长度变化判断各力的变化情况。

图解法分析动态平衡问题，往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另一个力方向不变，但大小发生变化，第三个力则随外界条件的变化而变化，包括大小和方向都变化。 解答此类“动态型”问题时，一定要认清哪些因素保持不变，哪些因素是改变的，这是解答动态问题的关键

（3）相似三角形：正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）相似，则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的。

往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的大小和方向均发生变化，则此时用相似三角形分析。相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。

特征条件：①几何框架三角形中有两条边不变，②另一个物体动态轨迹是圆弧。

◆ 解题方法：相似形法最佳。（力矢量三角形跟几何框架三角形相似）

◆ 结论：一力单调变化，另一力不变。

（4）平衡方程式法： 平衡方程式法适用于三力以上力的平衡，且有一个恒力，通过它能够建立恒定不变的方程式。根据其中一个力的变化情况，求出另一个力的变化情况。

有不少三力平衡问题，既可从平衡的观点（根据平衡条件建立方程）求解——平衡法，也可从力的分解的观点（将某力按其作用效果分解）求解——分解法，两种方法可视具体问题灵活选用。但平衡法是求解平衡问题的基本方法，特别对三个以上力的平衡问题，分解法失效，平衡法照样适用；都是根据平衡点建立方程来推断力的变化情况。

三． 经典例题

【例1】、如图所示，轻绳AO 、BO 结于O 点，系住一个质量为m 的

物体，AO 与竖直方向成α角，BO 与竖直方向成β角，开始时（α

＋β）＜90°。现保持O 点位置不变，缓慢地移动B 端使绳BO 与竖

直方向的夹角β逐渐增大，直到BO 成水平方向，试讨论这一过程中

绳AO 及BO 上的拉力大小各如何变化?（用解析法和作图法两种方法求解）

解析：以O 点为研究对象，O 点受三个力：T 1、T 2和mg ，如下图所示，由于缓慢移动，可认为每一瞬间都是平衡状态。

（1）平衡方程法

x 方向：T 2sin β－T 1sin α＝0，（1）

y 方向：T 1cos α＋T 2cos β－mg ＝0。（2）

由式（1）得T T 12=

sin sin βα

· （3） 式（3）代入式（2），有sin cos sin cos βααβT T mg 220+-=， 化简得T 2＝)

sin(sin βαα+mg （4） 讨论：由于α角不变，从式（4）看出：当α＋β＜90°时，随β的增大，则T 2变小；当α＋β＝90°时，T 2达到最小值mgsin α；当α＋β＞90°时，随β的增大，T 2变大。 式（4）代入式（3），化简得

T 1＝α

βαβαβαββαααβcos sin sin cos cos sin sin )sin(sin ·sin sin +=+=+ctg mg mg mg 。 由于α不变，当β增大时，T 1一直在增大。

（2）作图法

由平行四边形法则推广到三角形法则，由于O 点始终处于

平衡状态，T 1、T 2、mg 三个力必构成封闭三角形，如图（a ）

所示，即T 1、T 2的合力必与重力的方向相反，大小相等。

由图（b ）看出，mg 大小、方向不变；T 1的方向不变；T 2

的方向和大小都改变。开始时，（α＋β）＜90°，逐渐增

大β角，T 2逐渐减小，当T 2垂直于T 1时，即（α＋β）＜

90°时，T 2最小（为mgsin α）；然后随着β的增大，T 2也随之增大，但T 1一直在增大。

封闭三角形关系始终成立.不难看出； 当T A 与垂直时，即a+θ=90时，T B 取最小值，因此，答案选C 。

【练习1】如图所示，两根等长的绳子AB 和BC 吊一重物静止，两根

绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB 与水平方向的夹角不变，

将绳子BC 逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC 的

拉力变化情况是( )

A ．增大

B ．先减小，后增大

C ．减小

D ．先增大，后减小

答案：B

1. 如图所示，电灯悬挂于两墙之间，更换绳OA ，使连接点A 向上移，

但保持O 点位置不变，则A 点向上移时，绳OA 的拉力( )

A ．逐渐增大

B ．逐渐减小

C ．先增大后减小

D ．先减小后增大

答案：D

【例2】、光滑半球面上的小球（可是为质点）被一通过定滑轮的力F 由底端缓慢拉到顶端的过程中（如图所示），试分析绳的拉力F 及半球面对小球的支持力F N 的变化情况。 解析：如图所示，作出小球的受力示意图，注意弹力F

N 总与球面垂

直，从图中可得到相似三角形。设球面半径为R ，定滑轮到球面的距

离为h ，绳长为L ，据三角形相似得：

F L mg h R F R mg h R

N =+=+ 由上两式得：绳中张力：F mg

L h R =+ 小球的支持力：

又因为拉动过程中，h 不变，R 不变，L 变小，所以F 变小，F N 不变。

说明：如果在对力利用平行四边形定则（或三角形法则）运算的过程中，

力三角形与几何三角形相似，则可根据相似三角形对应边成比例等性质

求解。

【练习1】一轻杆BO ，其O 端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO 上，B 端

挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A 处的光滑小滑轮，用力F 拉住，

如图2－4－4所示．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO 与杆AO 间的夹角

θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F 及杆BO 所受压力F N 的大小变化情

况是( )

A ．F N 先减小，后增大

B ．F N 始终不变

C ．F 先减小，后增大

D ．F 始终不变

答案：B

【练习2】如图2－4－5所示，两球A 、B 用劲度系数为k 1的轻弹簧相

连，球B 用长为L 的细绳悬于O 点，球A 固定在O 点正下方，且点O 、

A 之间的距离恰为L ，系统平衡时绳子所受的拉力为F 1.现把A 、

B 间的

弹簧换成劲度系数为k 2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉

力为F 2，则F 1与F2的大小之间的关系为( )

A ．F 1> F 2

B ．F 1＝F 2

C ．F 1< F 2

D ．无法确定

答案：B