有限单元法讲义

（第二讲）
1、 弹性力学基础知识 应力、应变基本概念 平面弹性力学模型----平面应力、平面应变 平面弹性力学基本方程（平衡、几何、物理）和边界条件 平面弹性力学问题解法 虚功方程 2、 矩阵、线性代数 矩阵类型、基本运算（加减乘除、微积分） 、矩阵及行列式、矩阵求逆、二次型、特征 值与特征向量 线性代数方程组及解法、Gramer 法则、Gauss 消元法 3、 偏微分方程积分形式
作业：四边形 9 节点单元、10 节点三角形单元 3、等参元及其数值积分 4、线性方程组解法 5、其它
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第一讲
1、有限单法的形成
尽管我们已经建立了连续系统的基本方程， 由于边界条件的限制， 通常只能得到少数简 单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答，例如，图 1-3 所示 V6 引擎在工作中的温度分布。这为解决这个困难，工程师们和数学家们提出了许多近似方 法。 在寻找连续系统求解方法的过程中， 工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结 果，即有限元法。有限元法的形成可以回顾到二十世纪 50 年代，来源于固体力学中矩阵结 构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。 从固体力学的角度来看， 桁架结构等标准离 散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。 1956 年 M..J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp 在纽约举行的航空学会年会上介 绍了一种新的计算方法， 将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。 他们把结构划分成一个个 三角形和矩形的“单元” ，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单 元刚度矩阵。 1954-1955 年，J.H.Argyris 在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。 1960 年，Clough 在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次 提出了有限元（finite element）这一术语。 数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。 在 1963 年前后，经过 J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.H.Pian（卞 学磺）等许多人的工作，认识到有限元法就是变分原理中 Ritz 近似法的一种变形，发展了 用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。 1965 年 O.C.Zienkiewicz 和 Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能写成变分形式的所有场问 题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。 1969 年 B.A.Szabo 和 G.C.Lee 指出可以用加权余量法特别是 Galerkin 法， 导出标准的有 限元过程来求解非结构问题。 我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献， 其中比较著名的有： 陈伯 屏（结构矩阵方法） ，钱令希（余能原理） ，钱伟长（广义变分原理） ，胡海昌（广义变分原 理） ，冯康（有限单元法理论） 。遗憾的是，从 1966 年开始的近十年期间，我国的研究工作 受到阻碍。
1
9 9
选择形函数的基本原则（Pascal 三角形） 、Lagrangane 单元与高阶单元、局部坐标 （面积坐标）表示形函数的便捷。 形函数确定后相关变量表示以及单元矩阵推导。
Chapter3：固体力学有限单元法 1、 虚功方程、矩阵表示复习 2、 杆拉伸、平面杆系、梁变形有限元求解 3、 平面弹性力学问题有限元
) R = A(u) ≠ 0
相应的积分方程就变为
（1-5）
Ω
∫v
T
) ) A(u )dΩ + ∫ v T B(u )ds = ∫ v T RdΩ + ∫ v T Rds ≠ 0
∂Ω Ω ∂Ω
(1-6)
（3） 加权余量法的各种形式 取不同的权函数，就构成了不同形式的加权余量法格式： 1） Galerkin 方法 取权函数 v i = φ i ，则
例题：用加权余量法解PDE方程的近似解 （见教材P22 例 2-7）
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第二章
有限单元法基本方法、步骤
（第四讲）
1、有限单元法基本步骤 区域离散、单元形函数及特性矩阵分析、整体组装求解 2、2 个典型例题
d 2u +u + x = 0 例题 1： dx 2 u (0) = u (1) = 0
解： （1）单元划分 节 点：1,2,3
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第一章 有限单元法基础知识
（第三讲）
5、 加权余量法 （1Leabharlann Baidu 针对弱积分方程（1-3）设近似函数
) u = φ 0 + ∑ C iφi
i
（1-4）
其中，φ 0 , φi 为线性独立的基函数， C i 为待定常数。此外，近似函数（又称试函数）要满足 偏微分方程的边界条件。 （2） 余量或残差 对偏微分方程（1-1） ，当带入近似函数（1-4）时，定义余量或残差
3、 偏微分方程 PDE（Partial Differential Equation）及等效积分方程 IE（Integral Equation）
9 9 9 偏微分方程 3 种主要类型、边界条件 等效积分形式、分部积分、积分弱形式 弹性力学虚功方程
9 Galerkin 加权余量法、举例与比较 4、 矩阵与线性代数简介
Ω
∫φ
T
) A(u )dΩ = ∫ φ T RdΩ = 0
Ω
（1-7a）
2） 最小二乘方法 定义残差的平方和为
I = ∫ R 2 dΩ
Ω
上式残差平方和为待定系数 C1 , C 2 ,...C i 的函数，为使得 I 取极小值，有
∂I ∂R 2 ∂R =∫ dΩ = 2 ∫ R dΩ = 0 ∂C i Ω ∂C i ∂C i Ω
Ω ∂Ω ∂Ω
∂Q
∂P
（定理-2）
此即 2D 域 Green 公式。
5
2）广义分部积分
∫ ⋅ ⋅ ⋅ ∫ U ∂x
Ω
∂V
i
dx1 ⋅ ⋅ ⋅ dx n = − ∫ ⋅ ⋅ ⋅ ∫ V
Ω
∂U x1 ⋅ ⋅ ⋅ dx n + ∫ ⋅ ⋅ ⋅ ∫ VUcos (n, xi )ds ∂xi ∂Ω
∂u
（定理-3）
9 9 矩阵代数----矩阵运算（加减乘除、微积分、对角、对称、求逆、 、二次型、特征向 量） 代数方程、高斯消元法
Chapter2：有限单元法步骤、方法 1、 有限单元法基本步骤
区域离散、单元形函数及特性矩阵分析、整体组装求解
2、 2 个典型例题
d 2u +u + x = 0 例题 1： dx 2 u (0) = u (1) = 0
对 2D 情况则有：
∫ ∫ u ∂x dxdy = − ∫ ∫ v ∂x dxdy + ∫ vu cos(n, x)ds
Ω Ω ∂Ω
∂v
∂v ∂u ∫Ω ∫ u ∂y dxdy = − ∫ Ω ∫ v ∂y dxdy + ∂∫Ωvu cos(n, y)ds
即：
（定理-4）
∫ ∫ u∇vdxdy = − ∫ ∫ v∇udxdy + ∫ uvnds
即上式的权函数取为 3） 配点发 设权函数为 w i = δ ( x - xi ) 则加权积分方程为
∂R 形式。 ∂C i
(i = 1,2,..., n) ，具有如下性质：当 x ≠ xi 时， wi = 0 ，
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Ω
∫ w A(u )dΩ = ∫ δ ( x ) A(u )dΩ = A(u )
i i Ω
0 ≤ x ≥1
3、 例题 2：1D 杆拉伸变形有限元求解 4、 有限单元法实现几个问题
单元划分、单元形函数、整体矩阵组装、边界条件处理
5、 单元形函数
9 有限元的 2 个核心问题： 划区域整体求解为单元分片近似求解； 单元上应用多项式逼近函数近似表达未知待求函 数。因此，单元尺度上的多项式近似函数直接决定了 FEM 求解的成败或效果。
三角形单元（重点） ，四边形单元
Chapter4：有限单元法补充 1、有限单元法总结 基本内容：PDE 转换为积分方程 弹性力学基本方程、概念 有限元基本步骤：单元类型、形函数、有限元公式 其它：编程、算法、工程实践经验 2、单元形函数 （1）广义变量反求 （2）试凑法 Lagrangian 插值多项式复习、物理理解
)
)
)
x = xi
=0
实质上是另 PDE 方程在一系列孤立点（ xi ）上等于零。 4） 子域法
⎧0 在 n 个子域 Ω i 内，设 wi = ⎨ ⎩1 不在Ω i 在Ω i
，则加权积分方程变为
⎧ RdΩ = 0 ∫ ⎪Ω 1 ⎪ ∫ wRdΩ = ∑ ∫ wi RdΩ = ⎨... i Ωi Ω ⎪ ⎪ ∫ RdΩ = 0 ⎩Ω n 1
k
∂ 2T ∂ 2T + =Q k ∂x 2 ∂y 2
(inΩ) (inΓT ) (inΓq )
（例 1-1）
⎧T = T ⎪ ⎨ ∂T =q ⎪k ⎩ ∂n
积分形式方程
⎧ ∂ 2T ∂ 2T ⎫ + w k k ⎨ ⎬dΩ = 0 2 ∫ ∂y 2 ⎭ Ω ⎩ ∂x
（2） 2D 平面弹性力学虚功方程
2、有限元法的进展与应用
软件名称 MSC/Nastran MSC/Dytran 简介 著名结构分析程序，最初由 NASA 研制 动力学分析程序
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MSC/Marc ANSYS ADINA ABAQUS
非线性分析软件 通用结构分析软件 非线性分析软件 非线性分析软件
3、预备知识
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第一章 有限单元法基础知识
n
Li =
j =1, j ≠ i
∏
f j (ξ ) f j (ξi )
f j (ξ ) − 除i点外的其它节点方程； f j (ξi ) − 将i点带入上方程； （3）局部坐标 （4）实例研究
Case1：1D 线性单元、3 节点二次单元、坐标变换 Case2：2D 四边形线性单元 Case3：2D 四边形 8 节点单元 Case4：2D 三角形线性单元、6 节点三角形单元
有限单元法讲义
有限单元法讲课提纲（32 学时）
Chapter1：有限单元法预备知识 1、 绪论—多媒体介绍
有限元法基本概念、CAE 简介、工程应用、课程要求
2、 平面弹性力学简介
9 9 9 9 应力/应变状态 平面应力/平面应变概念 2D 平面弹性力学基本方程（平衡、物理、几何） 方程基本解法、张量/矩阵表示
∫⋅⋅⋅ ∫ ∑
Ω i
∂Pi dx1 dx2 ...dx n = ∫ ⋅ ⋅ ⋅ ∫ ∑ Pi cos(n, xi )ds ∂Ω ∂xi i
（定理-1）
对二维情况，取 x1 = x, x 2 = y; P 1 = Q, P 2 = − P ，则
∫ ∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = ∫ (Q cos(n, x) − P cos(n, y))ds = ∫ Pdx + Qdy
Ω Ω ∂Ω
r
3） 弱积分形式 在很多情况下可以对积分方程（1-2）进行分部积分运算，得到另一种形式
Ω
∫C
T
(v)D (u )dΩ + ∫ E T ( v)F (u )ds = 0
∂Ω
(1-3)
其中， C, D, E, F 为微分算子，它们中所包含的未知函数导数阶数较（1-2）中的 A 算子低， 这样对函数 u 只需要求较低阶的连续性就可以了。在（1-3）中降低函数 u 连续性的要求是 以提高 v 的连续性要求为代价的。 4、 例题 （1） 稳态热传导偏微分方程的积分方程 解：偏微分表达形式：
0 ≤ x ≥1
1 ① 图 2-1 2 ②
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节点坐标：0, 1/2, 1 单元①：节点编号 1,2 （2）单元特性分析 对任意单元 e (图 2-2)，设近似一阶线性函数 单元②：节点编号 2,3 i xi e
∂Ω
（1-2）
其中， v , v 分别为任意权函数向量，可证明（1-2）与（1-1）在数学意义上的等价性。 （2）弱积分形式： 1）n 维空间 Green 公式 设 Ω 为 n 维 空 间 区 域 ， ∂Ω 为 Ω 区 域 边 界 。 在 闭 区 域 Ω = Ω + ∂Ω 上 ， 函 数
P( x1 , x 2 ,..., x n ) 一阶可微连续，则
⎧ A1 (u ) ⎫ ⎪ ⎪ A(u) = ⎨⋅ ⋅ ⋅ ⎬ = 0 ⎪ A (u )⎪ ⎩ n ⎭ ⎧ B1 (u )⎫ ⎪ ⎪ B(u) = ⎨⋅ ⋅ ⋅ ⎬ = 0 ⎪ B (u ⎪ ⎩ n ⎭
（1）积分形式：
(inΩ)
（1-1）
(in ∂Ω)
Ω T T
∫v
T
A(u )dΩ + ∫ v T B(u )ds = 0