现代心理与教育统计学的复习重点

一二章、绪论

现代统计学之父：皮尔逊

描述统计与推断统计

描述统计主要研究如何整理、描述数据的特征。

推断统计主要研究如何通过局部数据所提供的信息推论总体特征。

变量类型

定类变量：如，性别、学号、颜色类别、教学方法。

特征：没有绝对零点，没有测量单位。变量值之间有“相等”和“不等”的关系，但没有大小之分，不能比较大小，更不能进行加、减、乘、除四则运算。

定序变量：程度、等级和水平。如，比赛名次、品质等级、喜爱程度

特征：既无零点、又无测量单位。变量的值之间具有“等于”或“不等于”关系、序关系(优于、先于、劣于、后于等)，四则运算没有意义。

定比变量：除了可以说出名称和排出大小，还能算出差异大小量的变量。 如温度、测验成绩、智商。

特征：有相等的测量单位，无绝对零点。考试成绩为零不表示没有一点知识。可进行加减运算，乘除运算则无意义。

定距变量：如身高、重量、学生人数。既有测量单位，又有绝对零点，可进行计算。

降低偏差：利用随机抽样 降低变异性：用大一点的样本

三、描述统计

一、频数：某一事件在某一类别中出现的次数。

频数分布类型：正态，正（负）偏态，正（反）J 形，U 形分布。 分布性质;集中（分散）程度，偏度和峰度不同。 偏态系数：数据的对称性 峰态系数：数据的峰度

二、集中量数：

包括算术平均数M 、中位数d M 、众数0M （用众数代表一组数据，可靠性较差，不过，众数不受极端数据的影响，并且求法简便）、加权平均数W M 、几何平均数g M 、调和平均数H M 。

组数据中有少数数据偏大或偏小，数据的分布呈偏态时，应用几何平均数。 算数平均数的性质（算法必须会）：

（1）每一个变量加减或乘除一个数之后，均值也相应增加。 （2）变量值与均值的离均差之和为零。

（3）变量值与均值的离均差平方和为最小值。

三、离散量数：全距R 、四分位差Q 、平均差A.D 、方差（样本统计量,2S 总体参数2σ）、标准差(s 或者SD)、百分位差

全距：全部数据中的最大值与最小值的差 ，描述了数据分布的范围 。 四分位差（Q ）：样本中间50%的人的全距的一半。是一个距离，Q 越大，表示样本中各样品越不整齐.

平均差：全部数据与均值绝对离均差的均值。

方差：各个数据偏离中心的程度。方差越大，数据波动越大。 标准差：方差的算术平方根。

自由度：自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的数据的个数。

标准分数：以标准差为单位表示一个原始分数在团体中所处的相对位置，即原始分数在均值以上或以下几个标准差的位置。

性质：标准分数的均值为0，标准差为1。没有实际单位。 应用： （1）、比较不同性质的观测值在各自数据分布中相对位置的高低。如身高与体重。 （2）计算不同质的观测值的总和或者均值，以表示在团体中的相对位置。如高考的标准分。

（3）做线性转换后，表示标准测验分数。如IQ 。

图表

条形图，用于定性数据。

直方图与多边图：用于定量数据 时序图：反映事物变化趋势

饼图：定性数据的多少或构成比例

散点图:两个变量的变化关系和变化方向。 茎叶图：保留小样本连续变量的原貌。

三线表的组成要素包括：表序、表题、项目栏、表体、表注

五、随机变量分布

正态分布),(2σμN X ≈------------------样本均值的分布

正态分布曲线下的面积：曲线高度是频数（Y ），曲线下面积则是累积频数P （也视作随机变量出现的概率）。X 轴上的截距为Z 。

其中，μ决定曲线的位置，σ决定曲线的“胖瘦”。

无论各分布的均值与标准差的值是多少，x 取值以下特定区域的概率(面积)是确定的，即：

正负一个标准差，占68.27%，两个95.45% ，三个99.73% 标准正态分布：均值为0，标准差为1.

总体服从正态分布N ~ (μ,2σ )时，来自该总体的所有容量为n 的样本的均值X 也服从正态分布，

X 的期望为μ，方差为σ2/n 。即

X ～N(μ,n

2

σ)

平均数的标准误N

X σ

σ=

标准误衡量了抽样误差(sampling error)的大小。所谓抽样误差是指由抽样引起的样本统计量与总体参数间的差异。

标准误越小，统计量与参数越接近，样本对总体越有代表性，用统计量推断参数的可靠度越大，所以，标准误是推断统计可靠性的重要指标。

卡方分布：变量相互独立，且服从)1,0(N 分布的随机变量。称随机变量服从自由度为为n 的卡方分布。记做)(2

2n x x ≅，∑==n

i i x x 1

22

卡方分布：样本方差的分布（样本方差的分布）

T 分布：随机变量X 服从N(0,1)，Y 服从)(2n x ，且相互独立，则随机变量服从自由度为n 的t 分布，记做t t(n).n

Y X

t =.

来自一个正态总体：1

)

(),1()

(2

--=-≈-=∑N X X S N t N

S X t 其中，μ

来自两个正态总体

2

)1()1(),

2()()(2122

221

1212

12

12121

-+-+-=

-+≈+---=N N S

N S N S N N t N N N N S X X t P P

其中，μμP S 为两样本的混合标准差。