§1-3-无穷小量和无穷大量

§1-3 无穷小量和无穷大量

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§1-3 无穷小量和无穷大量

牛顿-莱布尼茨的微积分中说的“无穷小数”同我们现在说的“无穷小量”是不同的。当

时说的“无穷小数”由于理论基础上的缺陷, 所以当时就陷入了没有结果的争论之中。这也是当时像罗尔（Rolle,M. 1652--1719）这样的一些数学家们不接受微积分的原因之一。近代微积分的奠基人柯西从严处理了微积分的基本概念, 并把“无穷小量”说成是极限为．．．0的变量．．．，即称变量y 为无穷小量，若它在无限变化过程中，总有那么一个时刻，在这个时刻以后，能够使绝对值y 小于预先给出的任何正数。例如，

数列

1,)

n n →∞和当0x →时的函数,sin ,tan n x x x 等

都是无穷小量。无穷小量在微积分中起的作用相当于常量数学中的“零”。可是，它不是常量[0)(≡x α是一个特例]，所以又不同于“零”。在某个极限过程（∞→n 或x →•）中的无穷小量就简记成)1(o [读作“小欧”，不能读作零]。小欧“o ”是牛顿当初用过的记号.

定理1-1 →•

=x f x C lim ()⇐⇒1()()()f x C o x =+→•.

(充分必要条件)

特别，

函数()f x 在点c 连续⇐⇒()()(1)()f x f c o x c =+→ （※）

证 若lim ()x f x C →•

=，则lim[()]0x f x C →•

-=，即

()(1)()-=→•f x C o x 或 ()(1)()f x C o x =+→•

反之，若()(1)()f x C o x =+→•，则

[]lim ()lim (1)0x x f x C o C C →•

→•

=+=+=

特别，当函数)(x f 在点c 连续时，因为lim ()()x c

f x f c →=，所以有结论(※).例如，当

x c →时，

(1)=+n n x c o ， sin sin (1)=+x c o ， cos cos (1)=+x c o

1.无穷小量的运算规则 利用极限的运算规则，容易证明无穷小量的下述运算规则：若

)1(o 是某一个极限过程(n →∞或x →•)中的无穷小量，根据极限的运算规则，则有

⑴ 11()

()O o o ?[其中O 是有界变量（*），特别它可以是常数]；

⑵ 111()()()o o o ±=，111()()()o o o ⋅=. 它们与常量的运算规则是不同的．．．．．．．．．．．．．．

！ 2.无穷小量的比较 在某一个极限过程中，把某一个不取0值的无穷小量α看作“基本无穷小量”，而把另一个无穷小量β与基本无穷小量α相比较.若有极限

（*）

记号O 读作“大欧”，也不能读作“零”。

第1章 函数的极限和连续函数

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lim

(0||)l l =≤<+∞β

α

则在这个极限过程中，

⑴当0≠l 时，称β与α为同阶无穷小量.特别，当1=l 时，称β与α为等价无穷小量，并记成≈βα或αβ≈.例如sin (0)x x x ≈→，tan (0)x x x ≈→，因为

00sin tan lim

1,lim 1x x x x

x x

→→==

⑵当0=l 时，β与α相比较，称β为高阶无穷小量，并记成()o =βα.例如，当0

x →时，32

2(),()x

o x x o x ==.

例8

1x →

1lim →=x

111x →=⋅

1

→=x

1→==x 注意，其中当1x →

时，≈定理1-2 设β和0α≠在某一个极限过程中是等价无穷小量，则在这个极限过程中，

lim ()lim()βγαγ⋅=⋅（等价无穷小量替换）

[和或差的极限lim()βγ±不能用等价无穷小量替换！]

证 ()()()()lim lim 1lim lim ⎡⎤⋅=⋅=⋅⋅=⋅⎢

⎥⎣⎦

β

βγαγαγαγα. 例如，当0x →时，因为22

22sin ,sin 22

x x x x ≈≈，所以 2

2

2

2222222200022sin 21cos 12lim lim lim

sin sin 2

x x x x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪-⎝⎭===⋅ 再如，当1x →

时，因为

≈，所以例8就可以简单地做成

11

x x x x →→→→==== 定理1-3 若0α≠在某一个极限过程中是基本无穷小量，则在这个极限过程中，有高阶无穷小量的运算规则:

⑴ ()()O o o αα⋅=（O 为有界变量，特别可以是常数）; ⑵ 1()()o o αα⋅=，其中1()o 是无穷小量; ⑶ ()()()o o o ααα±=；2

()()()o o o ααα⋅=.

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证明是简单的，譬如证⑶.根据极限的运算规则，因为

()()

()

()

lim

lim

lim

000o o o o ±=±=±=ααααα

α

α

所以()()()o o o ±=ααα；而因为

2

()()

()()lim

lim 000o o o o ⋅⎡⎤=⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦

ααααααα 所以2

()()()o o o ⋅=ααα.

定理1- 4 若β和0α≠都是同一个极限过程中的无穷小量，则在这个极限过程中，

()o βαβαα≈⇐⇒=+ [两个等价无穷小量相差一个高阶无穷小量]

证 )(⇒因为lim

1=βα

，

根据定理1-1，1(1)o =+β

α，所以(1)()o o =+=+βαααα. )(⇐因为()

lim

lim 101o +==+=βαααα

，所以≈βα. 例如，因为sin (0)x x x ≈→，所以可把它等价地写成sin ()(0)x x o x x =+→；同理，

tan ()(0)x x o x x =+→.

3.无穷大量(无穷极限) 称一个变量y 为无穷大量，若变量y 在无限变化过程中，总有那么一个时刻，在这个时刻以后，能够使绝对值y 大于预先给出的任何正数，简记成“y →∞”. 特别，若能够使y 大于预先给出的任何正数，则称变量y 为正无穷大量，简记成“y →+∞”；若能够使y 小于预先给出的任何负数，则称变量y 为负无穷大量，简记成“y →-∞”.

“无穷大量”与“无穷小量”是两个对偶的概念，因此有下面对偶的结论.设变量y 在某一个极限过程中不取数值0.

若变量y 是无穷大量，则倒数1y 就是无穷小量；反之，若变量y 是无穷小量，则倒数1

y 就是无穷大量.

具体到函数()y f x =，当自变量x 在某个极限过程x →•中，若函数()f x 是无穷大量或正无穷大量或负无穷大量，就依次记成

lim (),

lim (),

lim ()x x x f x f x f x →•

→•

→•

=∞=+∞=-∞

请读者注意．．．．．

，这些都是记号，有时口语上也说“极限是无穷大”，但它们没有前面说的那种有穷极限的含义和运算规则！

例9 求0101lim

(0,0)n

n n m m

x m

a a x a x a

b b b x b x →∞+++≠≠+++L L . 解 当n m =时，分子分母同除以n m x x =，则有